Z평면을 설계 공간으로
Z 변환은 필터의 계수 수열을 복소 변수 z의 다항식(또는 유리 함수)으로 변환합니다. 전달 함수 H(z)는 다음을 가집니다:
- 영점: H(z_k) = 0인 값 z_k
- 극점: H(z) → ∞인 값 p_k (재귀 필터의 분모 근)
단위원 z = e^{i2πf}에서 H(z)를 계산하면 주파수 응답 H(f)가 나옵니다. 단위원은 시간 영역 안정성 & 주파수 영역 분석이 만나는 경계입니다.
거리-곱 공식
|H(f)| = ∏_k |e^{i2πf} − z_k| / ∏_k |e^{i2πf} − p_k|
그래프에서 응답 읽기:
- 영점이 원 위에 있음: 거리 = 0 → 완전 소거
- 영점이 원 내부: 거리 > 0 → 그 각도 근처에서 부분 감쇠
- 극점이 원 근처: 작은 분모 → 큰 이득 (피크)
- 극점이 원 외부: 필터 불안정 (IIR만 해당)
소거를 위한 영점 설계
주파수 f_0을 완전히 소거하려면: z_0 = e^{i2πf_0}에 영점을 놓으세요.
f_0 & 그 켤레 주파수 모두를 소거하려면 (실수 계수 필터의 경우): e^{±i2πf_0}에 영점을 놓으세요. 복소 영점은 실수 계수를 위해 켤레쌍으로 나타나야 합니다.
각 영점은 분자에 한 인수를 추가합니다: (z − z_0). N개의 주파수를 소거하는 필터는 N개의 영점을 가집니다.
극점이 응답을 증폭하다
z = p에서의 극점은 H(z)에 1/(z − p)의 인수를 기여합니다. p에 가장 가까운 단위원 지점 근처에서 |e^{i2πf} − p|는 작으므로 |H(f)|는 큽니다. 극점이 단위원에 가까울수록, 피크는 더 날카롭습니다.
안정성 경계
재귀(IIR) 필터의 경우, 시스템은 모든 극점이 단위원 내부에 엄격히 위치할 때만(|p| < 1) 안정적입니다. |p| = 1에서의 극점은 유지된 진동(한계적 안정)을 생성합니다. |p| > 1에서의 극점은 증가하는 진동(불안정)을 생성합니다.
단위원은 Z평면의 안정성 경계를 제공하며, 연속 시간 시스템을 위한 라플라스 s평면의 허수축과 동일한 역할을 합니다.
해밍의 샤워 이야기
해밍은 올바른 온도를 찾아야 하는 샤워로 안정성을 설명했습니다. 파이프 지연은 그의 수정이 늦게 도착했다는 것을 의미했습니다 — 그는 계속 과도하게 조정했습니다. 피드백 루프는 불안정해졌습니다. IIR 필터는 동일한 위험에 직면합니다: 너무 많은 피드백(극점이 단위원 너무 가깝거나 외부)은 출력이 발산되게 합니다.
극점 위치로부터의 안정성
2차 IIR 필터는 전달 함수를 가집니다:
H(z) = 1 / (1 − a₁z⁻¹ − a₂z⁻²) = z² / (z² − a₁z − a₂)
극점은 z² − a₁z − a₂ = 0의 근입니다.
안정성: |p₁| < 1 & |p₂| < 1 (두 근 모두).
그래픽 설계 방법
경험 많은 필터 설계자는 무엇이든 계산하기 전에 극점-영점 그래프를 스케치합니다. 기하학은 응답 형태를 즉시 보여줍니다.
설계의 경험 규칙
1. 원치 않는 주파수에서의 소거: 해당 각도의 단위원에 영점을 놓으세요.
2. 이득을 가진 통과 대역: 원하는 통과 대역 각도의 단위원 근처(내부)에 극점을 놓으세요.
3. 실수 계수: 모든 복소 영점 & 극점이 켤레쌍으로 나타나는지 확인하세요.
4. 안정성 확인: 계수를 계산하기 전에 모든 극점이 |p| < 1을 만족하는지 확인하세요.
5. 전이 폭: 단위원에 가까운 극점 → 더 날카로운 전이이지만 안정성 여유는 적음.
그래픽 방법은 엔지니어링 사양(이러한 주파수를 통과, 저것들을 정지, 이러한 리플 포함)을 기하학적 제약(극점 & 영점을 여기에 놓으세요)으로 변환한 후 다항식 계수를 읽어냅니다.