Z平面作为设计空间
Z变换将滤波器的系数序列转换为复变量z的多项式（或有理函数）。传递函数H(z)具有：
- 零点：使H(z_k) = 0的值z_k
- 极点：使H(z) → ∞的值p_k（递归滤波器的分母根）
在单位圆上计算H(z)，其中z = e^{i2πf}，得到频率响应 H(f)。单位圆是时域稳定性和频域分析相交的边界。
距离-乘积公式
|H(f)| = ∏_k |e^{i2πf} − z_k| / ∏_k |e^{i2πf} − p_k|
从图中读取响应：
- 零点在圆上：距离= 0 → 完全零值
- 零点在圆内：距离> 0 → 该角度附近的部分衰减
- 极点靠近圆：小分母→ 大增益（峰值）
- 极点在圆外：滤波器不稳定（仅IIR）
设计零点以实现零值
要完全消除频率f_0：在z_0 = e^{i2πf_0}处放置一个零点。
要消除f_0及其共轭频率（对于实系数滤波器）：在e^{±i2πf_0}处放置零点。对于实系数滤波器，复零点必须成共轭对出现。
每个零点向分子添加一个因子：(z − z_0)。消除N个频率的滤波器有N个零点。
极点增强响应
z = p处的极点对H(z)贡献一个因子1/(z − p)。在单位圆上最接近p的点附近，|e^{i2πf} − p|很小，使|H(f)|很大。极点越接近单位圆，峰值越尖锐。
稳定性边界
对于递归（IIR）滤波器，系统稳定当且仅当所有极点严格位于单位圆内（|p| < 1）。|p| = 1处的极点产生持续振荡（临界稳定）。|p| > 1处的极点产生增长振荡（不稳定）。
单位圆在Z平面中充当稳定性边界，就像虚轴在连续时间系统的拉普拉斯s平面中充当稳定性边界一样。
哈明的反馈淋浴故事
哈明用需要找到正确温度的淋浴来说明稳定性。管道延迟意味着他的纠正来得太晚 — 他不断超调。反馈环路变得不稳定。IIR滤波器面临相同的风险：过多反馈（极点太接近或在单位圆外）和输出发散。
从极点位置判断稳定性
二阶IIR滤波器具有传递函数：
H(z) = 1 / (1 − a₁z⁻¹ − a₂z⁻²) = z² / (z² − a₁z − a₂)
极点是z² − a₁z − a₂ = 0的根。
稳定性：|p₁| < 1且|p₂| < 1对两个根都成立。
图形设计方法
有经验的滤波器设计师在计算任何东西之前先绘制极点-零点图。几何立即显示响应形状。
经验设计规则
1. 不需要的频率处的零值：在这些角度处在单位圆上放置零点。
2. 带有增益的通带：在所需通带角度处在单位圆附近（但内部）放置极点。
3. 实系数：确保所有复零点和极点成共轭对出现。
4. 稳定性检查：在计算系数之前验证所有极点满足|p| < 1。
5. 过渡宽度：极点更接近单位圆 → 更尖锐的过渡但稳定性余量较小。
图形方法将工程规范（通过这些频率，停止那些，有这个纹波）转换为几何约束（在这里放置极点和零点），然后读取多项式系数。