設計空間としてのZ平面
Z変換は、フィルタの係数列を複素変数zの多項式（または有理関数）に変換します。伝達関数H(z)は以下を有します：
- 零点：H(z_k) = 0となるz_k の値
- 極：H(z) → ∞（再帰フィルタの分母根）となるp_k の値
単位円z = e^{i2πf}上でH(z)を評価すると、周波数応答H(f)が得られます。単位円は、時間領域の安定性と周波数領域の解析が交差する境界です。
距離・積の公式
|H(f)| = ∏_k |e^{i2πf} − z_k| / ∏_k |e^{i2πf} − p_k|
プロットから応答を読み取る：
- 零点が円の上：距離 = 0 → 完全なヌル
- 零点が円の内側：距離 > 0 → その角度付近で部分的な減衰
- 極が円に近い：分母が小さい → 大きなゲイン（ピーク）
- 極が円の外側：フィルタ不安定（IIRのみ）
ヌルのための零点設計
周波数f_0を完全にヌルにするには：零点をz_0 = e^{i2πf_0}に配置します。
f_0とその共役周波数の両方をヌルにする（実係数フィルタの場合）：零点をe^{±i2πf_0}に配置します。複素零点は、実係数を保つため必ず共役ペアで現れます。
各零点は分子に1つの因子を追加します：(z − z_0)。N個の周波数をヌルにするフィルタはN個の零点を持ちます。
極は応答を増幅する
極z = pは、H(z)に因子1/(z − p)を寄与します。pに最も近い単位円点の近くで、|e^{i2πf} − p|は小さくなり、|H(f)|は大きくなります。極が単位円に近いほど、ピークはより鋭くなります。
安定性境界
再帰型（IIR）フィルタの場合、システムが安定するのは すべての極が単位円の厳密に内側に位置する場合のみです（|p| < 1）。|p| = 1の極は持続的な振動（周辺安定）を生じます。|p| > 1の極は増幅する振動（不安定）を生じます。
単位円は、連続時間システムのラプラス平面でs虚軸が安定性境界となるように、Z平面での安定性境界として機能します。
ハミングのフィードバックシャワーの話
ハミングは、適切な温度を見つけることが必要なシャワーで安定性を説明しました。配管の遅延は彼の修正が遅れて到着することを意味しました — 彼は常に行き過ぎていました。フィードバックループは不安定になりました。IIRフィルタは同じリスクに直面しています：フィードバックが多すぎる（極が単位円に近すぎるか外側）と、出力は発散します。
極の位置からの安定性
2次のIIRフィルタの伝達関数：
H(z) = 1 / (1 − a₁z⁻¹ − a₂z⁻²) = z² / (z² − a₁z − a₂)
極はz² − a₁z − a₂ = 0の根です。
安定性：両方の根に|p₁| < 1と|p₂| < 1が必要です。
グラフィカル設計法
経験を積んだフィルタ設計者は、何かを計算する前に極・零点プロットをスケッチします。幾何学は応答形状を即座に明らかにします。
設計経験則
1. 不要な周波数でのヌル：その角度の単位円上に零点を配置します。
2. ゲイン付きの通過帯域：目的の通過帯域角度で（ただし内側の）単位円の近くに極を配置します。
3. 実係数：すべての複素零点と極が共役ペアで現れることを確認します。
4. 安定性チェック：係数を計算する前に、すべての極が|p| < 1を満たすことを確認します。
5. 遷移幅：極が単位円に近い → より鋭い遷移だが安定性マージンが減る。
グラフィカル法は、エンジニアリング仕様（これらの周波数を通す、それらを止める、このリップル付き）を幾何学的制約（極と零点をここに配置）に変換し、多項式係数を読み取ります。