Z-planet som designutrymme
Z-transformationen konverterar en filters koefficientsekvens till ett polynom (eller rationell funktion) i den komplexa variabeln z. Överföringsfunktionen H(z) har:
- Nollor: värden z_k där H(z_k) = 0
- Poler: värden p_k där H(z) → ∞ (nämnares rötter för rekursiva filter)
Att utvärdera H(z) på enhetscirkeln z = e^{i2πf} ger frekvensresponsen H(f). Enhetscirkeln är gränsen där tiddomänstabilitet & frekvensdomänanalys möts.
Avstånd-produktformeln
|H(f)| = ∏_k |e^{i2πf} − z_k| / ∏_k |e^{i2πf} − p_k|
Läsa respons från plotten:
- Nolla PÅ cirkeln: avstånd = 0 → fullständig nolla
- Nolla INUTI cirkeln: avstånd > 0 → partiell dämpning nära den vinkeln
- Pol NÄRA cirkeln: liten nämnare → stor förstärkning (topp)
- Pol UTANFÖR cirkeln: filter instabilt (endast IIR)
Designa nollor för nollningar
För att helt eliminera frekvensen f_0: placera en nolla vid z_0 = e^{i2πf_0}.
För att eliminera både f_0 & dess konjugerade frekvens (för ett filter med reella koefficienter): placera nollor vid e^{±i2πf_0}. Komplexa nollor måste komma i konjugerade par för reella koefficienter.
Varje nolla lägger till en faktor till täljaren: (z − z_0). Ett filter som eliminerar N frekvenser har N nollor.
Poler förstärker respons
En pol vid z = p bidrar med en faktor 1/(z − p) till H(z). Nära enhetscirkelns punkt närmast p, |e^{i2πf} − p| är liten, vilket gör |H(f)| stor. Ju närmare polen är enhetscirkeln, desto skarpare är toppen.
Stabilitetsgräns
För ett rekursivt (IIR) filter, systemet är stabilt om & endast om alla poler ligger strikt inuti enhetscirkeln (|p| < 1). En pol vid |p| = 1 producerar sustained oscillation (marginalt stabil). En pol vid |p| > 1 producerar växande oscillation (instabil).
Enhetscirkeln tjänar som stabilitetsgränsen i Z-planet, precis som den imaginära axeln tjänar som stabilitetsgränsen i Laplace s-planet för kontinuerliga tidssystem.
Hammings feedbackduschistoria
Hamming illustrerade stabilitet med en dusch som krävde att hitta rätt temperatur. Förseningarna i röret gjorde att hans korrigeringar kom för sent — han överskjutade ständigt. Feedbackslingorna blev instabil. IIR-filter står inför samma risk: för mycket feedback (poler för nära eller utanför enhetscirkeln) och utgången divergerar.
Stabilitet från polernas placering
Ett andra ordningens IIR-filter har överföringsfunktionen:
H(z) = 1 / (1 − a₁z⁻¹ − a₂z⁻²) = z² / (z² − a₁z − a₂)
Polerna är rötterna till z² − a₁z − a₂ = 0.
Stabilitet: |p₁| < 1 och |p₂| < 1 för båda rötterna.
Den grafiska designmetoden
Erfarna filterdesigners skissar pol-noll-plot innan de beräknar något. Geometrin avslöjar responsformen direkt.
Tumregler för design
1. Nollor vid oönskade frekvenser: placera nollor på enhetscirkeln vid dessa vinklar.
2. Passband med förstärkning: placera poler nära (men inuti) enhetscirkeln vid den önskade passbandsvinkeln.
3. Reella koefficienter: säkerställ att alla komplexa nollor & poler förekommer i konjugerade par.
4. Stabilitetskontroll: kontrollera att alla poler uppfyller |p| < 1 innan koefficienter beräknas.
5. Övergångsbredd: poler närmare enhetscirkeln → skarpare övergång men mindre stabilitetsmarginal.
Den grafiska metoden konverterar konstruktionsspecifikationen (passa dessa frekvenser, stoppa de andra, med denna rippel) till en geometrisk begränsning (placera poler & nollor här), och läser sedan av polynomkoefficienterna.