Przestrzeń projektowa Z
Przemianowanie Z przekształca sekwencję współczynników filtru w wielomian (lub funkcję ułamkową) w zmiennych zespolonych. Funkcja przejścia H(z) ma:
- Zera: wartości z_k, gdzie H(z_k) = 0
- Bieguny: wartości p_k, gdzie H(z) → ∞ (korzeni liczby mieniące dla filtrów rekurencyjnych)
Ewaluacja H(z) na okręgu jednostki z = e^{i2πf} daje odpowiedź na częstotliwość H(f). Okrąg jednostki jest granicą, gdzie analiza czasowa i częstotliwościowa krzyżują się.
Wzór na odległość-mnożenie
|H(f)| = ∏_k |e^{i2πf} − z_k| / ∏_k |e^{i2πf} − p_k|
Odczytywanie odpowiedzi z diagramu:
- Zero na okręgu: odległość = 0 → całkowite zanulowanie
- Zero Wewnętrzne okręgu: odległość > 0 → częściowe osłabienie w tym kącie
- Biegun BLISKI okręgu: mały mianownik → duży wzrost (wzmożenie)
- Biegun ZAOKRĄG: filtr niestabilny (Tylko IIR)
Projektowanie Zer dla Zanulowania
Aby całkowicie zanulować częstotliwość f_0: umieść zero w z_0 = e^{i2πf_0}.
Aby zanulować zarówno f_0, jak i jego koniugowaną częstotliwość (dla filtru o współczynnikach rzeczywistych): umieść zera w e^{±i2πf_0}. Zera zespolone muszą występować w parach koniugowanej dla współczynników rzeczywistych.
Każde zero dodaje jeden czynnik do licznika: (z − z_0). Filtr, który zanuluje N częstotliwości, ma N zera.
Polary Zwiększają Odpowiedź
Część z z = p przyczynia się do czynnika 1/(z − p) w H(z). Blisko punktu koła jednostkowego najbliższego p, |e^{i2πf} − p| jest małe, co sprawia, że |H(f)| jest duże. The closer the pole to the unit circle, the sharper the peak.
Granica Stabilności
Dla filtru rekurencyjnego (IIR), system jest stabilny tylko wtedy, gdy wszystkie pola znajdują się ścisło wewnątrz koła jednostkowego (|p| < 1). Pole o |p| = 1 powoduje trwałe drgania (marginalnie stabilne). Pole o |p| > 1 powoduje rosnące drgania (niestabilne).
Koło jednostkowe stanowi granicę stabilności w plansie Z, tak jak os oznakowania służy jako granica stabilności w plansie Laplace'a dla systemów ciągłych czasu.
Historia Hamminga Z Powrotu Odpowiadania
Hamming ilustrował stabilność historią z prysznicem. Musiał znaleźć odpowiednią temperaturę. Opóźnienie rury oznaczał, że jego poprawki przybywały późno - nadmiernie korygował. Pętla zwrotu stała się niestabilna. IIR filtry również ryzykują: zbyt dużo zwrotu (pole zbyt blisko lub na zewnątrz koła jednostkowego) i wyjście zaczyna się rozprzestrzeniać.
Stabilność z Lokalizacji Poli
Filtr IIR drugiego rzędu ma funkcję przejścia:
H(z) = 1 / (1 − a₁z⁻¹ − a₂z⁻²) = z² / (z² − a₁z − a₂)
Pola są korzeniami z² − a₁z − a₂ = 0.
Stabilność: |p₁| < 1 i |p₂| < 1 dla obu korzeni.
Metoda Projektowania Graficznego
Doświadczeni projektanci filtrów rysują diagramy biegunów i zer przed obliczeniem jakiegokolwiek parametru. Geometria odkrywa kształt odpowiedzi natychmiast.
Prawa Łączące
1. Zerowanie na niepożądanych częstotliwościach: umieść zera na okręgu jednostkowym pod tymi kątami.
2. Pasmow z zyskiem: umieść biegunów blisko (ale wewnętrznie) okręgu jednostkowego na pożądanym pasmie kątowym.
3. Rzeczywiste współczynniki: upewnij się, że wszystkie złożone zera i biegunów pojawiają się jako pary koniugowane.
4. Sprawdzenie stabilności: upewnij się, że wszystkie biegunów spełniają warunek |p| < 1 przed obliczeniem współczynników.
5. Szerokość przejścia: bieguny bliżej okręgu jednostkowego → szersze przejście ale mniejszy margines stabilności.
Metoda graficzna konwertuje specyfikację inżynierską (prześlij te częstotliwości, zatrzymaj te, z tym zakłóceniem) na ograniczenie geometryczne (umieść biegunów i zera tutaj), a następnie odczytuje współczynniki wielomianu.