從時域到複數平面
Z轉換將序列x_n映射到複數變數z的函數X(z):
X(z) = Σ_{n=−∞}^{∞} x_n · z^{−n}
變數z參數化複數平面。這個平面的不同區域對應於濾波器的不同定性行為。
幾何區域
| 區域 | z | 行為 | ||
|---|---|---|---|---|
| 單位圓內部 | < 1 | 穩定極點:衰減響應 | ||
| 單位圓 | = 1 | 頻率軸:z = e^{i2πf} | ||
| 單位圓外部 | > 1 | 不穩定極點:增長響應 |
單位圓在離散時間穩定性中所起的作用與虛軸在連續時間(拉普拉斯)穩定性中所起的作用相同。
與拉普拉斯變換的關係
對於連續時間系統,拉普拉斯變換使用變數s。虛軸s = iω是頻率響應所在的地方。穩定性:極點必須滿足Re(s) < 0(左半平面)。
雙線性變換映射s → z:z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2)。這將左半平面映射到單位圓內部:「左半平面穩定」到「單位圓內部穩定」的幾何轉譯。
作為共形映射的雙線性變換
雙線性變換z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2)是一個莫比烏斯變換:複數平面的共形(保角)映射。
其關鍵的幾何性質:
- 將s = iω(虛軸)映射到|z| = 1(單位圓)
- 將Re(s) < 0(左半平面)映射到|z| < 1(單位圓內部)
- 將Re(s) > 0(右半平面)映射到|z| > 1(單位圓外部)
- 頻率扭曲:映射ω → f是非線性的:ω_analog = (2/T)·tan(πf_digital)
這種扭曲將高頻壓縮到奈奎斯特點。設計者通過在應用雙線性變換前對類比規格進行預扭曲來考慮這一點。
巴特沃斯極點:圓軌跡
巴特沃斯濾波器通過在s平面上半徑為ω_c的圓上放置類比極點來實現最大平坦通帶。
對於N階巴特沃斯濾波器,極點位於:
s_k = ω_c · e^{iπ(2k+N−1)/(2N)} for k = 0, 1, …, N−1
這將它們等間距放置在半徑為ω_c的圓的左半部分。(右半部分的極點將不穩定;只保留左半平面的極點。)
為什麼圓軌跡→最大平坦通帶?
巴特沃斯多項式|B_N(jω)|² = 1 + (ω/ω_c)^{2N}的所有極點都位於|s| = ω_c。等半徑約束意味著所有極點對在ω = ω_c處的幅度響應的貢獻相等。最大平坦定理:在所有在這個圓上有極點的N階多項式中,巴特沃斯多項式在ω = 0處有最多導數等於零。
切比雪夫極點:橢圓軌跡
切比雪夫極點在s平面上位於橢圓上(不是圓)。橢圓的長軸和短軸由漣波參數ε決定。等漣波通帶源於切比雪夫多項式的等振盪性質。
橢圓極點:橢圓函數軌跡
橢圓(考爾)濾波器極點也位於橢圓上:但極點及零點都對頻率響應有貢獻。零點位於虛軸上(阻帶中的有限衰減極點)。橢圓函數映射最優地分佈零點,以同時在兩個帶中實現等漣波。
計算巴特沃斯極點位置
對於ω_c = 1(歸一化)的4階巴特沃斯濾波器,極點位於:
s_k = e^{iπ(2k+3)/8} for k = 0, 1, 2, 3
k=0:s₀ = e^{i3π/8}(在左半平面)
k=1:s₁ = e^{i5π/8}(在左半平面)
k=2:s₂ = e^{i7π/8}(在左半平面)
k=3:s₃ = e^{i9π/8}(在左半平面)
這四個極點在單位圓上等角間距,所有極點都有負實部(左半平面)。
極點到單位圓的距離
理論穩定性要求|p| < 1。實際上,會出現另外兩個問題。
穩定性裕度
IIR濾波器的穩定性裕度是任何極點到單位圓的最小距離:min_k (1 − |p_k|)。
在|p| = 0.99的極點在技術上是穩定的,但只留下1%的裕度。有限精度算術(係數表示的捨入及舍入誤差的累積)可以有效地移動極點。如果係數量化將極點從0.99移動到1.001,濾波器將變得不穩定。
幾何後果
非常接近單位圓的極點產生非常尖銳的頻率響應峰值:窄帶寬共振器。但窄帶寬共振器需要高精度:小的係數誤差會顯著改變峰值頻率。
幾何折衷:峰值銳度∝ 1 / (1 − |p|)。當|p| → 1時,銳度→ ∞但穩定性裕度→ 0且對係數誤差的敏感度→ ∞。
二階段
作為單個多項式實現的高階IIR濾波器在數值上很敏感:舍入單個係數可能會移動許多極點。標準解決方案:實現為二階段(雙次濾波器)的級聯,每個都只有一個共軛極點對和一個共軛零點對。一個段中的誤差不能擾動其他段中的極點。