Từ Miền Thời gian đến Mặt phẳng Phức
Z-transform ánh xạ một chuỗi x_n thành một hàm X(z) của một biến phức:
X(z) = Σ_{n=−∞}^{∞} x_n · z^{−n}
Biến z tham số hóa mặt phẳng phức. Các vùng khác nhau của mặt phẳng này tương ứng với các hành vi định tính khác nhau của bộ lọc.
Các Vùng Hình học
| Vùng | z | Hành vi | ||
|---|---|---|---|---|
| Bên trong vòng tròn đơn vị | < 1 | Cực ổn định: phản ứng suy giảm | ||
| Vòng tròn đơn vị | = 1 | Trục tần số: z = e^{i2πf} | ||
| Bên ngoài vòng tròn đơn vị | > 1 | Cực không ổn định: phản ứng tăng trưởng |
Vòng tròn đơn vị đóng vai trò tương tự trong tính ổn định thời gian rời rạc như trục ảo trong tính ổn định liên tục (Laplace).
Mối liên hệ với Biến đổi Laplace
Đối với các hệ thống liên tục, biến đổi Laplace sử dụng biến s. Trục ảo s = iω là nơi phản ứng tần số tồn tại. Tính ổn định: các cực phải có Re(s) < 0 (nửa mặt phẳng trái).
Biến đổi song tuyến ánh xạ s → z: z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2). Điều này ánh xạ nửa mặt phẳng trái vào bên trong vòng tròn đơn vị — phiên bản hình học của 'ổn định nửa mặt phẳng trái' thành 'ổn định bên trong vòng tròn đơn vị.'.
Biến đổi Song tuyến như Ánh xạ Tương ứng
Biến đổi song tuyến z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2) là một biến đổi Möbius — một ánh xạ tương ứng (bảo toàn góc) của mặt phẳng phức.
Các tính chất hình học chính của nó:
- Ánh xạ s = iω (trục ảo) đến |z| = 1 (vòng tròn đơn vị)
- Ánh xạ Re(s) < 0 (nửa mặt phẳng trái) đến |z| < 1 (bên trong vòng tròn đơn vị)
- Ánh xạ Re(s) > 0 (nửa mặt phẳng phải) đến |z| > 1 (bên ngoài vòng tròn đơn vị)
- Bozukluk tần số: ánh xạ ω → f là phi tuyến — ω_analog = (2/T)·tan(πf_digital)
Bozukluk này nén các tần số cao về phía điểm Nyquist. Các nhà thiết kế giải thích bằng cách pre-warping thông số tương tự trước khi áp dụng biến đổi song tuyến.
Cực Butterworth: Quỹ tích Vòng tròn
Các bộ lọc Butterworth đạt được passband tối đa bằng cách đặt các cực tương tự trên một vòng tròn có bán kính ω_c trong mặt phẳng s.
Đối với một bộ lọc Butterworth bậc N, các cực ngồi tại:
s_k = ω_c · e^{iπ(2k+N−1)/(2N)} cho k = 0, 1, …, N−1
Điều này đặt chúng cách đều nhau trên nửa trái của một vòng tròn có bán kính ω_c. (Các cực trên nửa phải sẽ không ổn định; chỉ các cực nửa mặt phẳng trái được giữ lại.)
Tại sao quỹ tích vòng tròn → passband tối đa bằng phẳng?
Đa thức Butterworth |B_N(jω)|² = 1 + (ω/ω_c)^{2N} có tất cả các cực của nó tại |s| = ω_c. Ràng buộc bán kính bằng nhau có nghĩa là tất cả các cực đóng góp bằng nhau vào phản ứng độ lớn tại ω = ω_c. Định lý độ phẳng tối đa: trong tất cả các đa thức bậc N với các cực trên vòng tròn này, đa thức Butterworth có nhiều đạo hàm bằng không nhất tại ω = 0.
Cực Chebyshev: Quỹ tích Ellipse
Các cực Chebyshev nằm trên một ellipse trong mặt phẳng s (không phải vòng tròn). Ellipse có các trục bán chính và bán phụ được xác định bởi tham số gợn sóng ε. Passband gợn sóng bằng nhau xuất hiện từ tính chất equioscillation của đa thức Chebyshev.
Cực Elliptic: Quỹ tích Hàm Elliptic
Các cực bộ lọc elliptic (Cauer) cũng nằm trên một ellipse — nhưng với CẢ các cực VÀ các không điểm đóng góp vào phản ứng tần số. Các không điểm nằm trên trục ảo (cực suy giảm hữu hạn trong dải dừng). Ánh xạ hàm elliptic phân bố tối ưu các không điểm để đạt được gợn sóng bằng nhau trong cả hai dải cùng một lúc.
Tính toán Vị trí Cực Butterworth
Đối với một bộ lọc Butterworth bậc 4 với ω_c = 1 (chuẩn hóa), các cực ngồi tại:
s_k = e^{iπ(2k+3)/8} cho k = 0, 1, 2, 3
k=0: s₀ = e^{i3π/8} (ở nửa mặt phẳng trái)
k=1: s₁ = e^{i5π/8} (ở nửa mặt phẳng trái)
k=2: s₂ = e^{i7π/8} (ở nửa mặt phẳng trái)
k=3: s₃ = e^{i9π/8} (ở nửa mặt phẳng trái)
Bốn cực này ngồi tại khoảng cách góc bằng nhau trên vòng tròn đơn vị, tất cả với phần thực âm (nửa mặt phẳng trái).
Khoảng cách Từ các Cực đến Vòng tròn Đơn vị
Tính ổn định lý thuyết yêu cầu |p| < 1. Trong thực tế, hai mối quan tâm bổ sung phát sinh.
Lề Ổn định
Lề ổn định của một bộ lọc IIR là khoảng cách tối thiểu từ bất kỳ cực nào đến vòng tròn đơn vị: min_k (1 − |p_k|).
Một cực tại |p| = 0.99 về mặt kỹ thuật là ổn định nhưng chỉ để lại lề 1%. Số học có độ chính xác hữu hạn (làm tròn trong biểu diễn hệ số & tích lũy các lỗi làm tròn) có thể di chuyển các cực một cách hiệu quả. Nếu lượng tử hóa hệ số dịch chuyển một cực từ 0.99 đến 1.001, bộ lọc trở nên không ổn định.
Hệ quả Hình học
Các cực rất gần với vòng tròn đơn vị tạo ra các đỉnh phản ứng tần số rất sắc nét — những resonator tính rộng dải hẹp. Nhưng những resonator hẹp đòi hỏi độ chính xác cao: những lỗi hệ số nhỏ di chuyển tần số đỉnh một cách đáng kể.
Sự đánh đổi hình học: độ sắc nét đỉnh ∝ 1 / (1 − |p|). Khi |p| → 1, sắc nét → ∞ nhưng lề ổn định → 0 và độ nhạy cảm với lỗi hệ số → ∞.
Phần Bậc hai
Một bộ lọc IIR bậc cao được thực hiện như một đa thức duy nhất có độ nhạy cảm về số học — làm tròn một hệ số duy nhất có thể di chuyển nhiều cực. Giải pháp tiêu chuẩn: triển khai dưới dạng một cascade của phần bậc hai (biquads), mỗi phần chỉ có một cặp cực liên hợp và một cặp không điểm liên hợp. Các lỗi trong một phần không thể làm biến động các cực trong các phần khác.