Du Domaine Temporel au Plan Complexe
La transformée en Z mappe une séquence x_n vers une fonction X(z) d'une variable complexe :
X(z) = Σ_{n=−∞}^{∞} x_n · z^{−n}
La variable z paramétrise le plan complexe. Différentes régions de ce plan correspondent à des comportements qualitatifs différents du filtre.
Régions Géométriques
| Région | z | Comportement | ||
|---|---|---|---|---|
| À l'intérieur du cercle unité | < 1 | Pôles stables : réponse décroissante | ||
| Cercle unité | = 1 | Axe de fréquence : z = e^{i2πf} | ||
| À l'extérieur du cercle unité | > 1 | Pôles instables : réponse croissante |
Le cercle unité joue le même rôle dans la stabilité en temps discret que l'axe imaginaire dans la stabilité en temps continu (Laplace).
Relation avec la Transformée de Laplace
Pour les systèmes en temps continu, la transformée de Laplace utilise la variable s. L'axe imaginaire s = iω est le domaine de la réponse en fréquence. Stabilité : les pôles doivent avoir Re(s) < 0 (demi-plan gauche).
La transformée bilinéaire mappe s → z ; z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2). Cela mappe le demi-plan gauche à l'intérieur du cercle unité ; la traduction géométrique de « stable en demi-plan gauche » vers « stable à l'intérieur du cercle unité ».
La Transformée Bilinéaire comme Application Conforme
La transformée bilinéaire z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2) est une transformation de Möbius ; une application conforme (préservant les angles) du plan complexe.
Ses propriétés géométriques clés :
- Mappe s = iω (axe imaginaire) vers |z| = 1 (cercle unité)
- Mappe Re(s) < 0 (demi-plan gauche) vers |z| < 1 (intérieur du cercle unité)
- Mappe Re(s) > 0 (demi-plan droit) vers |z| > 1 (extérieur du cercle unité)
- Distorsion de fréquence ; le mappage ω → f est nonlinéaire ; ω_analog = (2/T)·tan(πf_digital)
Cette distorsion comprime les hautes fréquences vers le point de Nyquist. Les concepteurs en tiennent compte en pré-déformant la spécification analogique avant d'appliquer la transformée bilinéaire.
Pôles de Butterworth : Lieu Circulaire
Les filtres de Butterworth réalisent une bande passante maximalement plate en plaçant les pôles analogiques sur un cercle de rayon ω_c dans le plan s.
Pour un filtre de Butterworth d'ordre N, les pôles sont situés à :
s_k = ω_c · e^{iπ(2k+N−1)/(2N)} pour k = 0, 1, …, N−1
Cela les place espacés régulièrement sur la moitié gauche d'un cercle de rayon ω_c. (Les pôles sur la moitié droite seraient instables ; seuls les pôles du demi-plan gauche sont conservés.)
Pourquoi le lieu circulaire → bande passante maximalement plate ?
Le polynôme de Butterworth |B_N(jω)|² = 1 + (ω/ω_c)^{2N} a tous ses pôles à |s| = ω_c. La contrainte de rayon égal signifie que tous les pôles contribuent également à la réponse en magnitude à ω = ω_c. Le théorème de maximalité de la platitude : parmi tous les polynômes d'ordre N avec pôles sur ce cercle, le polynôme de Butterworth a le plus de dérivées égales à zéro à ω = 0.
Pôles de Chebyshev : Lieu Elliptique
Les pôles de Chebyshev se trouvent sur une ellipse dans le plan s (pas un cercle). L'ellipse a des axes semi-majeur et semi-mineur déterminés par le paramètre d'ondulation ε. La bande passante d'ondulation égale émerge de la propriété d'équioscillation des polynômes de Chebyshev.
Pôles Elliptiques : Lieu de la Fonction Elliptique
Les pôles des filtres elliptiques (Cauer) se trouvent aussi sur une ellipse ; mais avec à la fois des pôles ET des zéros contribuant à la réponse en fréquence. Les zéros se trouvent sur l'axe imaginaire (pôles d'atténuation finie dans la bande d'arrêt). Le mappage de fonction elliptique distribue optimalement les zéros pour réaliser une ondulation égale dans les deux bandes simultanément.
Calcul des Emplacements des Pôles de Butterworth
Pour un filtre de Butterworth de 4e ordre avec ω_c = 1 (normalisé), les pôles sont situés à :
s_k = e^{iπ(2k+3)/8} pour k = 0, 1, 2, 3
k=0 : s₀ = e^{i3π/8} (dans le demi-plan gauche)
k=1 : s₁ = e^{i5π/8} (dans le demi-plan gauche)
k=2 : s₂ = e^{i7π/8} (dans le demi-plan gauche)
k=3 : s₃ = e^{i9π/8} (dans le demi-plan gauche)
Ces quatre pôles sont situés à espacement angulaire égal sur le cercle unité, tous avec des parties réelles négatives (demi-plan gauche).
Distance des Pôles au Cercle Unité
La stabilité théorique demande |p| < 1. En pratique, deux préoccupations supplémentaires surgissent.
Marge de Stabilité
La marge de stabilité d'un filtre RII est la distance minimale de n'importe quel pôle au cercle unité ; min_k (1 − |p_k|).
Un pôle à |p| = 0,99 est techniquement stable mais ne laisse qu'une marge de 1%. L'arithmétique en précision finie (arrondi dans la représentation des coefficients & accumulation des erreurs d'arrondi) peut effectivement déplacer les pôles. Si la quantification des coefficients déplace un pôle de 0,99 à 1,001, le filtre devient instable.
Conséquence Géométrique
Les pôles très proches du cercle unité produisent des pics de réponse en fréquence très pointus ; des résonateurs à bande passante étroite. Mais les résonateurs étroits demandent une haute précision : de petites erreurs de coefficients déplacent la fréquence de pic significativement.
Le compromis géométrique : acuité de pic ∝ 1 / (1 − |p|). Tandis que |p| → 1, acuité → ∞ mais marge de stabilité → 0 et sensibilité aux erreurs de coefficients → ∞.
Sections du Deuxième Ordre
Un filtre RII d'ordre élevé implémenté comme un seul polynôme est numériquement sensible ; l'arrondi d'un seul coefficient peut déplacer beaucoup de pôles. La solution standard : implémentation comme cascade de sections du deuxième ordre (biquads), chacune avec seulement une paire de pôles conjugués et une paire de zéros conjugués. Les erreurs dans une section ne peuvent pas perturber les pôles dans les autres.