時間領域から複素平面へ
Z変換は数列 x_n を複素変数 z の関数 X(z) に写像する:
X(z) = Σ_{n=−∞}^{∞} x_n · z^{−n}
変数 z は複素平面をパラメータ化する。この平面の異なる領域はフィルタの異なる定性的動作に対応する。
幾何学的領域
| 領域 | z | 動作 | ||
|---|---|---|---|---|
| 単位円内 | < 1 | 安定極: 減衰応答 | ||
| 単位円 | = 1 | 周波数軸: z = e^{i2πf} | ||
| 単位円外 | > 1 | 不安定極: 増大応答 |
単位円は離散時間の安定性において、虚軸が連続時間(ラプラス)の安定性で果たす役割と同じ役割を果たす。
ラプラス変換との関係
連続時間システムでは、ラプラス変換は変数 s を使用する。虚軸 s = iω は周波数応答が存在する場所である。安定性: 極は Re(s) < 0 (左半平面) を持つ必要がある。
双線形変換は s → z を写像する: z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2)。これは左半平面を単位円の内側に写像する — 「左半平面安定」から「単位円内安定」への幾何学的な翻訳である。
双線形変換を等角写像として
双線形変換 z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2) はメビウス変換 — 複素平面の等角(角度を保存する)写像である。
その主要な幾何学的性質は:
- s = iω (虚軸) を |z| = 1 (単位円) に写像する
- Re(s) < 0 (左半平面) を |z| < 1 (単位円内) に写像する
- Re(s) > 0 (右半平面) を |z| > 1 (単位円外) に写像する
- 周波数ワーピング: ω → f の写像は非線形である — ω_analog = (2/T)·tan(πf_digital)
このワーピングは高周波数をナイキスト点方向に圧縮する。設計者は双線形変換を適用する前にアナログ仕様を事前ワーピングすることでこれを考慮する。
バターワース極: 円軌跡
バターワースフィルタは、s平面において半径ω_cの円上にアナログ極を配置することで、通過帯域を最大平坦にする。
N次バターワースフィルタについて、極は以下の位置にある:
s_k = ω_c · e^{iπ(2k+N−1)/(2N)} for k = 0, 1, …, N−1
これは半径ω_cの円の左半分に等間隔で配置される。(右半分の極は不安定であり、左半平面の極のみが保持される。)
なぜ円軌跡 → 最大平坦通過帯域?
バターワース多項式 |B_N(jω)|² = 1 + (ω/ω_c)^{2N} はすべての極を |s| = ω_c に持つ。等半径制約は、すべての極が ω = ω_c における大きさ応答に等しく寄与することを意味する。最大平坦性定理: この円上に極を持つすべてのN次多項式の中で、バターワース多項式は ω = 0 で最も多くの導関数がゼロに等しい。
チェビシェフ極: 楕円軌跡
チェビシェフ極は s 平面の楕円上にある(円ではない)。楕円は波紋パラメータ ε によって決定される長軸と短軸を持つ。等波紋通過帯域はチェビシェフ多項式の等振動性から生じる。
楕円フィルタ極: 楕円関数軌跡
楕円(カウアー)フィルタ極も楕円上にある — しかし極と零点の両方が周波数応答に寄与する。零点は虚軸上に位置する(通過帯域外の有限減衰極)。楕円関数写像は両帯域での等波紋を同時に達成するために最適に零点を分布する。
バターワース極の位置の計算
ω_c = 1 (正規化)の4次バターワースフィルタについて、極は以下の位置にある:
s_k = e^{iπ(2k+3)/8} for k = 0, 1, 2, 3
k=0: s₀ = e^{i3π/8} (左半平面内)
k=1: s₁ = e^{i5π/8} (左半平面内)
k=2: s₂ = e^{i7π/8} (左半平面内)
k=3: s₃ = e^{i9π/8} (左半平面内)
これら4つの極は単位円上で等角間隔に配置され、すべて負の実部を持つ(左半平面)。
極から単位円までの距離
理論的な安定性は |p| < 1 を必要とする。実務では、2つの追加の懸念が生じる。
安定性マージン
IIRフィルタの安定性マージンは、いずれかの極から単位円までの最小距離である: min_k (1 − |p_k|)。
|p| = 0.99 の極は理論的には安定であるが、わずか1%のマージンのみを残す。有限精度演算(係数表現の四捨五入&丸め誤差の蓄積)は有効に極を動かす。係数の量子化が極を0.99から1.001に動かすと、フィルタは不安定になる。
幾何学的結果
単位円に非常に近い極は、非常にシャープな周波数応答ピークを生成する — 狭帯域レゾナータ。しかし、狭いレゾナータは高精度を必要とする: 小さな係数エラーはピーク周波数を大きく動かす。
幾何学的トレードオフ: ピークシャープネス ∝ 1 / (1 − |p|)。|p| → 1 のように、シャープネス → ∞ だが、安定性マージン → 0 であり、係数エラーの感度 → ∞ である。
2次セクション
高次IIRフィルタを1つの多項式として実装する場合は、数値的に敏感である — 単一の係数を四捨五入すると多くの極を動かす。標準的なソリューション: **2次セクション(バイクアッド)のカスケードとして実装し、各セクションは1つの共役極対と1つの共役零点対のみを持つ。1つのセクションのエラーは他のセクションの極を乱すことはできない。