Від часової області до комплексної площини
Z-перетворення відображує послідовність x_n у функцію X(z) комплексної змінної:
X(z) = Σ_{n=−∞}^{∞} x_n · z^{−n}
Змінна z параметризує комплексну площину. Різні області цієї площини відповідають різним якісним поведінкам фільтра.
Геометричні області
| Область | z | Поведінка | ||
|---|---|---|---|---|
| Всередину одиничного кола | < 1 | Стійкі полюси: затухаюча реакція | ||
| Одиничне коло | = 1 | Вісь частоти: z = e^{i2πf} | ||
| Поза одиничним колом | > 1 | Нестійкі полюси: зростаюча реакція |
Одиничне коло грає ту саму роль у стійкості дискретного часу, що й уявна вісь у стійкості неперервного часу (Лаплас).
Зв'язок з перетворенням Лапласу
Для систем неперервного часу перетворення Лапласу використовує змінну s. Уявна вісь s = iω — це місце, де живе частотна реакція. Стійкість: полюси повинні мати Re(s) < 0 (ліва напівплощина).
Двилінійне перетворення відображує s → z: z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2). Це відображує ліву напівплощину на внутрішню частину одиничного кола — геометричний переклад 'стійка ліва напівплощина' у 'стійка всередину одиничного кола'.
Двилінійне перетворення як конформне відображення
Двилінійне перетворення z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2) є перетворенням Мебіуса — конформним (кутозберігаючим) відображенням комплексної площини.
Його ключові геометричні властивості:
- Відображує s = iω (уявна вісь) на |z| = 1 (одиничне коло)
- Відображує Re(s) < 0 (ліва напівплощина) на |z| < 1 (всередину одиничного кола)
- Відображує Re(s) > 0 (права напівплощина) на |z| > 1 (поза одиничним колом)
- Деформація частоти: відображення ω → f нелінійне — ω_analog = (2/T)·tan(πf_digital)
Ця деформація стискає високі частоти до точки Найквіста. Конструктори враховують це, попередньо деформуючи аналогову специфікацію перед застосуванням двилінійного перетворення.
Полюси Батворта: геометричне місце кола
Фільтри Батворта досягають максимально плоского смуги пропускання, розміщуючи аналогові полюси на колі радіуса ω_c в s-площині.
Для фільтра Батворта N-го порядку полюси розташовуються в:
s_k = ω_c · e^{iπ(2k+N−1)/(2N)} for k = 0, 1, …, N−1
Це розміщує їх з рівним інтервалом на лівій половині кола радіуса ω_c. (Полюси на правій половині були б нестійкими; зберігаються лише полюси лівої напівплощини.)
Чому геометричне місце кола → максимально плоска смуга пропускання?
Поліном Батворта |B_N(jω)|² = 1 + (ω/ω_c)^{2N} має всі свої полюси в |s| = ω_c. Обмеження рівного радіуса означає, що всі полюси однаково сприяють відповіді величини при ω = ω_c. Теорема максимальної плоскості: серед усіх поліномів N-го порядку з полюсами на цьому колі поліном Батворта має найбільше похідних, рівних нулю при ω = 0.
Полюси Чебишева: геометричне місце еліпса
Полюси Чебишева лежать на еліпсі в s-площині (не на колі). Еліпс має напіввеликі й напівмалі осі, визначені параметром пульсації ε. Смуга пропускання з рівною пульсацією виникає з властивості рівноколивання поліномів Чебишева.
Еліптичні полюси: геометричне місце еліптичної функції
Полюси еліптичного (Кауера) фільтра також лежать на еліпсі — але ОБИДВА полюси І нулі сприяють частотній відповіді. Нулі розташовуються на уявній осі (полюси скінченного послаблення в смузі затримання). Відображення еліптичної функції оптимально розподіляє нулі, щоб досягти рівної пульсації в обох смугах одночасно.
Обчислення розташувань полюсів Батворта
Для фільтра Батворта 4-го порядку з ω_c = 1 (нормалізований) полюси розташовуються в:
s_k = e^{iπ(2k+3)/8} for k = 0, 1, 2, 3
k=0: s₀ = e^{i3π/8} (в лівій напівплощині)
k=1: s₁ = e^{i5π/8} (в лівій напівплощині)
k=2: s₂ = e^{i7π/8} (в лівій напівплощині)
k=3: s₃ = e^{i9π/8} (в лівій напівплощині)
Ці чотири полюси розташовуються з рівним кутовим інтервалом на одиничному колі, всі з негативними дійсними частинами (ліва напівплощина).
Відстань від полюсів до одиничного кола
Теоретична стійкість вимагає |p| < 1. На практиці виникають два додаткові питання.
Запас стійкості
Запас стійкості фільтра IIR — це мінімальна відстань від будь-якого полюса до одиничного кола: min_k (1 − |p_k|).
Полюс при |p| = 0.99 технічно стійкий, але залишає лише 1% запасу. Арифметика обмеженої точності (округлення в поданні коефіцієнта й накопичення помилок округлення) може ефективно переміщувати полюси. Якщо квантування коефіцієнта зміщує полюс з 0,99 на 1,001, фільтр стає нестійким.
Геометричні наслідки
Полюси дуже близько до одиничного кола створюють дуже гострі піки частотної реакції — резонатори вузької смуги пропускання. Але резонатори вузької смуги потребують високої точності: невеликі помилки коефіцієнтів значно переміщують частоту піка.
Геометричний компроміс: гострота піка ∝ 1 / (1 − |p|). Оскільки |p| → 1, гострота → ∞, але запас стійкості → 0 і чутливість до помилок коефіцієнтів → ∞.
Секції другого порядку
Фільтр IIR високого порядку, реалізований як один поліном, числово чутливий — округлення одного коефіцієнта може переміщувати багато полюсів. Стандартне рішення: реалізація як каскад секцій другого порядку (біквадів), кожна з однією парою спряжених полюсів і однією парою спряжених нулів. Помилки в одній секції не можуть збурити полюси в інших.