从时间域到复平面
Z变换将序列x_n映射到复变量z的函数X(z)：
X(z) = Σ_{n=−∞}^{∞} x_n · z^{−n}
变量z参数化复平面。该平面的不同区域对应滤波器的不同定性行为。
几何区域
| 区域 | z | 行为 | ||
|---|---|---|---|---|
| 单位圆内 | < 1 | 稳定极点：衰减响应 | ||
| 单位圆 | = 1 | 频率轴：z = e^{i2πf} | ||
| 单位圆外 | > 1 | 不稳定极点：增长响应 |
单位圆在离散时间稳定性中扮演的角色与虚轴在连续时间（Laplace）稳定性中扮演的角色相同。
与Laplace变换的关系
对于连续时间系统，Laplace变换使用变量s。虚轴s = iω是频率响应所在的位置。稳定性：极点必须满足Re(s) < 0（左半平面）。
双线性变换映射s → z：z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2)。这将左半平面映射到单位圆内部——这是"左半平面稳定"到"单位圆内部稳定"的几何翻译。
双线性变换作为保角映射
双线性变换z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2)是一个Möbius变换——复平面的保角（保角度）映射。
其关键几何性质：
- 将s = iω（虚轴）映射到|z| = 1（单位圆）
- 将Re(s) < 0（左半平面）映射到|z| < 1（单位圆内部）
- 将Re(s) > 0（右半平面）映射到|z| > 1（单位圆外部）
- 频率扭曲：映射ω → f是非线性的——ω_analog = (2/T)·tan(πf_digital)
这种扭曲将高频压缩到Nyquist点。设计人员通过在应用双线性变换之前对模拟规格进行预扭曲来解决这个问题。
Butterworth极点：圆形轨迹
Butterworth滤波器通过将模拟极点放置在s平面中的圆形上来实现通带最平坦。
对于N阶Butterworth滤波器，极点位于：
s_k = ω_c · e^{iπ(2k+N−1)/(2N)} 对于k = 0, 1, …, N−1
这使它们均匀分布在半径为ω_c的圆的左半部分。（右半部分的极点将不稳定；仅保留左半平面极点。）
为什么圆形轨迹→通带最平坦？
Butterworth多项式|B_N(jω)|² = 1 + (ω/ω_c)^{2N}的所有极点都在|s| = ω_c处。等半径约束意味着所有极点以相同的方式对ω = ω_c处的幅度响应做出贡献。最大平坦性定理：在该圆上有极点的所有N阶多项式中，Butterworth多项式在ω = 0处有最多导数等于零。
Chebyshev极点：椭圆轨迹
Chebyshev极点位于s平面中的椭圆上（不是圆）。椭圆的长短轴由纹波参数ε确定。等纹波通带由Chebyshev多项式的等振荡性质产生。
椭圆极点：椭圆函数轨迹
椭圆（Cauer）滤波器极点也位于椭圆上——但极点和零点都对频率响应有贡献。零点位于虚轴上（阻带中的有限衰减极点）。椭圆函数映射优化地分布零点，以同时在两个频带中实现等纹波。
计算Butterworth极点位置
对于ω_c = 1（归一化）的4阶Butterworth滤波器，极点位于：
s_k = e^{iπ(2k+3)/8} 对于k = 0, 1, 2, 3
k=0: s₀ = e^{i3π/8}（在左半平面）
k=1: s₁ = e^{i5π/8}（在左半平面）
k=2: s₂ = e^{i7π/8}（在左半平面）
k=3: s₃ = e^{i9π/8}（在左半平面）
这四个极点在单位圆上等角分布，所有极点都有负实部（左半平面）。
极点到单位圆的距离
理论稳定性要求|p| < 1。实际上，还有两个额外的顾虑。
稳定性裕度
IIR滤波器的稳定性裕度是任何极点到单位圆的最小距离：min_k (1 − |p_k|)。
位于|p| = 0.99的极点在技术上是稳定的，但仅留下1%的裕度。有限精度算术（系数表示中的舍入和误差累积）可以有效地移动极点。如果系数量化将极点从0.99移动到1.001，滤波器变得不稳定。
几何结果
非常接近单位圆的极点会产生非常尖锐的频率响应峰值——窄带宽谐振器。但窄谐振器需要高精度：小的系数误差会显著改变峰值频率。
几何权衡：峰值尖锐度 ∝ 1 / (1 − |p|)。当|p| → 1时，尖锐度 → ∞，但稳定性裕度 → 0，系数误差敏感性 → ∞。
二阶部分
作为单一多项式实现的高阶IIR滤波器在数值上很敏感——舍入单一系数可以移动许多极点。标准解决方案：实现为二阶部分（双二次）的级联，每个部分仅有一对共轭极点和一对共轭零点。一个部分中的误差不能扰乱其他部分中的极点。