Dal Dominio del Tempo al Piano Complesso
La trasformata Z mappa una sequenza x_n a una funzione X(z) di una variabile complessa:
X(z) = Σ_{n=−∞}^{∞} x_n · z^{−n}
La variabile z parametrizza il piano complesso. Diverse regioni di questo piano corrispondono a diversi comportamenti qualitativi del filtro.
Regioni Geometriche
| Regione | z | Comportamento | ||
|---|---|---|---|---|
| All'interno del cerchio unitario | < 1 | Poli stabili: risposta decrescente | ||
| Cerchio unitario | = 1 | Asse di frequenza: z = e^{i2πf} | ||
| All'esterno del cerchio unitario | > 1 | Poli instabili: risposta crescente |
Il cerchio unitario gioca lo stesso ruolo nella stabilità del tempo discreto che l'asse immaginario gioca nella stabilità del tempo continuo (Laplace).
Relazione con la Trasformata di Laplace
Per i sistemi a tempo continuo, la trasformata di Laplace utilizza la variabile s. L'asse immaginario s = iω è dove la risposta in frequenza risiede. Stabilità: i poli devono avere Re(s) < 0 (semipiano sinistro).
La trasformata bilineare mappa s → z: z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2). Questo mappa il semipiano sinistro all'interno del cerchio unitario — la traduzione geometrica di 'stabile nel semipiano sinistro' in 'stabile all'interno del cerchio unitario'.
La Trasformata Bilineare come Mappa Conforme
La trasformata bilineare z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2) è una trasformazione di Möbius — una mappa conforme (che preserva gli angoli) del piano complesso.
Le sue proprietà geometriche chiave:
- Mappa s = iω (asse immaginario) a |z| = 1 (cerchio unitario)
- Mappa Re(s) < 0 (semipiano sinistro) a |z| < 1 (all'interno del cerchio unitario)
- Mappa Re(s) > 0 (semipiano destro) a |z| > 1 (all'esterno del cerchio unitario)
- Warping di frequenza: la mappa ω → f è non lineare — ω_analog = (2/T)·tan(πf_digital)
Questo warping comprime le alte frequenze verso il punto di Nyquist. I progettisti lo compensano pre-warpando la specifica analogica prima di applicare la trasformata bilineare.
Poli di Butterworth: Locus Circolare
I filtri di Butterworth raggiungono una banda passante massimamente piatta posizionando poli analogici su un cerchio di raggio ω_c nel piano s.
Per un filtro di Butterworth di ordine N, i poli si trovano a:
s_k = ω_c · e^{iπ(2k+N−1)/(2N)} per k = 0, 1, …, N−1
Questo li posiziona equidistanziati sulla metà sinistra di un cerchio di raggio ω_c. (I poli sulla metà destra sarebbero instabili; solo i poli nel semipiano sinistro vengono mantenuti.)
Perché locus circolare → banda passante massimamente piatta?
Il polinomio di Butterworth |B_N(jω)|² = 1 + (ω/ω_c)^{2N} ha tutti i suoi poli a |s| = ω_c. Il vincolo di raggio uguale significa che tutti i poli contribuiscono ugualmente alla risposta in ampiezza a ω = ω_c. Il teorema di massima piattezza: tra tutti i polinomi di ordine N con poli su questo cerchio, il polinomio di Butterworth ha il maggior numero di derivate uguali a zero a ω = 0.
Poli di Chebyshev: Locus Ellittico
I poli di Chebyshev si trovano su un'ellisse nel piano s (non un cerchio). L'ellisse ha assi semimaggiore e semiminore determinati dal parametro di ondulazione ε. La banda passante con ondulazione uguale emerge dalla proprietà di equioscillazione dei polinomi di Chebyshev.
Poli Ellittici: Locus della Funzione Ellittica
I poli del filtro ellittico (Cauer) si trovano anche su un'ellisse — ma con ENTRAMBI i poli E gli zeri che contribuiscono alla risposta in frequenza. Gli zeri si trovano sull'asse immaginario (poli di attenuazione finita nella banda di arresto). La mappa della funzione ellittica distribuisce ottimamente gli zeri per raggiungere un'ondulazione uguale in entrambe le bande contemporaneamente.
Calcolo delle Posizioni dei Poli di Butterworth
Per un filtro di Butterworth di 4° ordine con ω_c = 1 (normalizzato), i poli si trovano a:
s_k = e^{iπ(2k+3)/8} per k = 0, 1, 2, 3
k=0: s₀ = e^{i3π/8} (nel semipiano sinistro)
k=1: s₁ = e^{i5π/8} (nel semipiano sinistro)
k=2: s₂ = e^{i7π/8} (nel semipiano sinistro)
k=3: s₃ = e^{i9π/8} (nel semipiano sinistro)
Questi quattro poli si trovano a una spaziatura angolare uguale sul cerchio unitario, tutti con parti reali negative (semipiano sinistro).
Distanza dai Poli al Cerchio Unitario
La stabilità teorica richiede |p| < 1. In pratica, sorgono due ulteriori preoccupazioni.
Margine di Stabilità
Il margine di stabilità di un filtro IIR è la distanza minima da qualsiasi polo al cerchio unitario: min_k (1 − |p_k|).
Un polo a |p| = 0.99 è tecnicamente stabile ma lascia solo un margine dell'1%. L'aritmetica a precisione finita (arrotondamento nella rappresentazione dei coefficienti & accumulo di errori di arrotondamento) può spostare efficacemente i poli. Se la quantizzazione dei coefficienti sposta un polo da 0.99 a 1.001, il filtro diventa instabile.
Conseguenza Geometrica
I poli molto vicini al cerchio unitario producono picchi di risposta in frequenza molto acuti — risonatori a banda stretta. Ma i risonatori a banda stretta richiedono alta precisione: piccoli errori nei coefficienti spostano significativamente la frequenza di picco.
Il compromesso geometrico: acutezza del picco ∝ 1 / (1 − |p|). Mentre |p| → 1, acutezza → ∞ ma margine di stabilità → 0 e sensibilità agli errori dei coefficienti → ∞.
Sezioni di Secondo Ordine
Un filtro IIR di ordine elevato implementato come un singolo polinomio è numericamente sensibile — l'arrotondamento di un singolo coefficiente può spostare molti poli. La soluzione standard: implementare come cascata di sezioni di secondo ordine (biquad), ciascuna con una sola coppia di poli coniugati e una coppia di zeri coniugati. Gli errori in una sezione non possono perturbare i poli in altre.