Del Dominio del Tiempo al Plano Complejo
La Z-transformada mapea una secuencia x_n a una función X(z) de una variable compleja:
X(z) = Σ_{n=−∞}^{∞} x_n · z^{−n}
La variable z parameteriza el plano complejo. Diferentes regiones de este plano corresponden a diferentes comportamientos cualitativos del filtro.
Regiones Geométricas
| Región | z | Comportamiento | ||
|---|---|---|---|---|
| Dentro del círculo unitario | < 1 | Polos estables: respuesta decayente | ||
| Círculo unitario | = 1 | Eje de frecuencia: z = e^{i2πf} | ||
| Fuera del círculo unitario | > 1 | Polos inestables: respuesta creciente |
El círculo unitario juega el mismo papel en la estabilidad de tiempo discreto que el eje imaginario en la estabilidad de tiempo continuo (Laplace).
Relación con la Transformada de Laplace
Para sistemas de tiempo continuo, la transformada de Laplace usa la variable s. El eje imaginario s = iω es donde vive la respuesta de frecuencia. Estabilidad: los polos deben tener Re(s) < 0 (semiplano izquierdo).
La transformada bilineal mapea s → z: z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2). Este mapeo transforma el semiplano izquierdo al interior del círculo unitario — la traducción geométrica de 'estable en semiplano izquierdo' a 'estable dentro del círculo unitario.'
La Transformada Bilineal como Mapa Conforme
La transformada bilineal z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2) es una transformación de Möbius — un mapa conforme (que preserva ángulos) del plano complejo.
Sus propiedades geométricas clave:
- Mapea s = iω (eje imaginario) a |z| = 1 (círculo unitario)
- Mapea Re(s) < 0 (semiplano izquierdo) a |z| < 1 (dentro del círculo unitario)
- Mapea Re(s) > 0 (semiplano derecho) a |z| > 1 (fuera del círculo unitario)
- Deformación de frecuencia: el mapeo ω → f es no lineal — ω_análogo = (2/T)·tan(πf_digital)
Esta deformación comprime las frecuencias altas hacia el punto de Nyquist. Los diseñadores la compensan pre-deformando la especificación analógica antes de aplicar la transformada bilineal.
Polos de Butterworth: Locus Circular
Los filtros Butterworth logran pasabanda máximamente plana colocando polos analógicos en un círculo de radio ω_c en el s-plano.
Para un filtro Butterworth de orden N-ésimo, los polos se ubican en:
s_k = ω_c · e^{iπ(2k+N−1)/(2N)} para k = 0, 1, …, N−1
Esto los coloca equidistantes en la mitad izquierda de un círculo de radio ω_c. (Los polos en la mitad derecha serían inestables; solo se mantienen los polos del semiplano izquierdo.)
¿Por qué locus circular → pasabanda máximamente plana?
El polinomio de Butterworth |B_N(jω)|² = 1 + (ω/ω_c)^{2N} tiene todos sus polos en |s| = ω_c. La restricción de radio igual significa que todos los polos contribuyen equitativamente a la respuesta de magnitud en ω = ω_c. El teorema de máxima planitud: entre todos los polinomios de orden N-ésimo con polos en este círculo, el polinomio de Butterworth tiene la mayoría de derivadas iguales a cero en ω = 0.
Polos de Chebyshev: Locus Elíptico
Los polos de Chebyshev se ubican en una elipse en el s-plano (no en un círculo). La elipse tiene semiejes mayores y menores determinados por el parámetro de ondulación ε. La ondulación igual en el pasabanda surge de la propiedad de equioscilación de los polinomios de Chebyshev.
Polos Elípticos: Locus de Función Elíptica
Los polos de filtro elíptico (Cauer) también se ubican en una elipse — pero con AMBOS polos Y ceros contribuyendo a la respuesta de frecuencia. Los ceros se ubican en el eje imaginario (polos de atenuación finita en la banda de parada). El mapeo de función elíptica distribuye óptimamente los ceros para lograr ondulación igual en ambas bandas simultáneamente.
Calculando Ubicaciones de Polos de Butterworth
Para un filtro Butterworth de orden 4 con ω_c = 1 (normalizado), los polos se ubican en:
s_k = e^{iπ(2k+3)/8} para k = 0, 1, 2, 3
k=0: s₀ = e^{i3π/8} (en semiplano izquierdo)
k=1: s₁ = e^{i5π/8} (en semiplano izquierdo)
k=2: s₂ = e^{i7π/8} (en semiplano izquierdo)
k=3: s₃ = e^{i9π/8} (en semiplano izquierdo)
Estos cuatro polos se ubican con espaciamiento angular igual en el círculo unitario, todos con partes reales negativas (semiplano izquierdo).
Distancia de Polos al Círculo Unitario
La estabilidad teórica requiere |p| < 1. En la práctica, surgen dos preocupaciones adicionales.
Margen de Estabilidad
El margen de estabilidad de un filtro IIR es la distancia mínima de cualquier polo al círculo unitario: min_k (1 − |p_k|).
Un polo en |p| = 0.99 es técnicamente estable pero deja solo un margen del 1%. La aritmética de precisión finita (redondeo en la representación de coeficientes & acumulación de errores de redondeo) puede efectivamente mover polos. Si la cuantización de coeficientes desplaza un polo de 0.99 a 1.001, el filtro se vuelve inestable.
Consecuencia Geométrica
Los polos muy cerca del círculo unitario producen picos de respuesta de frecuencia muy agudos — resonadores de ancho de banda estrecho. Pero los resonadores estrechos requieren alta precisión: errores pequeños en coeficientes mueven la frecuencia del pico significativamente.
El trade-off geométrico: agudeza del pico ∝ 1 / (1 − |p|). Conforme |p| → 1, agudeza → ∞ pero margen de estabilidad → 0 & sensibilidad a errores de coeficientes → ∞.
Secciones de Segundo Orden
Un filtro IIR de alto orden implementado como un polinomio único es numéricamente sensible — redondear un único coeficiente puede mover muchos polos. La solución estándar: implementar como una cascada de secciones de segundo orden (biquads), cada una con solo un par de polos conjugados y un par de ceros conjugados. Los errores en una sección no pueden perturbar polos en otras.