Dari Domain Waktu ke Bidang Kompleks
Z-transform memetakan urutan x_n ke fungsi X(z) dari variabel kompleks:
X(z) = Σ_{n=−∞}^{∞} x_n · z^{−n}
Variabel z meparameterisasi bidang kompleks. Wilayah berbeda dari bidang ini sesuai dengan perilaku kualitatif filter yang berbeda.
Wilayah Geometris
| Wilayah | z | Perilaku | ||
|---|---|---|---|---|
| Di dalam lingkaran satuan | < 1 | Kutub stabil: respons menurun | ||
| Lingkaran satuan | = 1 | Sumbu frekuensi: z = e^{i2πf} | ||
| Di luar lingkaran satuan | > 1 | Kutub tidak stabil: respons tumbuh |
Lingkaran satuan memainkan peran yang sama dalam stabilitas waktu-diskrit seperti yang dimainkan sumbu imajiner dalam stabilitas waktu-kontinu (Laplace).
Hubungan dengan Transformasi Laplace
Untuk sistem waktu-kontinu, transformasi Laplace menggunakan variabel s. Sumbu imajiner s = iω adalah tempat respon frekuensi berada. Stabilitas: kutub harus memiliki Re(s) < 0 (setengah bidang kiri).
Transformasi bilinear memetakan s → z: z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2). Ini memetakan setengah bidang kiri ke dalam lingkaran satuan — terjemahan geometris dari 'setengah bidang kiri stabil' menjadi 'di dalam lingkaran satuan stabil.'
Transformasi Bilinear sebagai Peta Konformal
Transformasi bilinear z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2) adalah transformasi Möbius — peta konformal (menjaga sudut) dari bidang kompleks.
Sifat geometri utamanya:
- Memetakan s = iω (sumbu imajiner) ke |z| = 1 (lingkaran satuan)
- Memetakan Re(s) < 0 (setengah bidang kiri) ke |z| < 1 (di dalam lingkaran satuan)
- Memetakan Re(s) > 0 (setengah bidang kanan) ke |z| > 1 (di luar lingkaran satuan)
- Distorsi frekuensi: pemetaan ω → f bersifat nonlinear — ω_analog = (2/T)·tan(πf_digital)
Distorsi ini mengompresi frekuensi tinggi menuju titik Nyquist. Desainer memperhitungkannya dengan pre-warping spesifikasi analog sebelum menerapkan transformasi bilinear.
Kutub Butterworth: Locus Lingkaran
Filter Butterworth mencapai passband yang paling datar dengan menempatkan kutub analog pada lingkaran dengan jari-jari ω_c di bidang s.
Untuk filter Butterworth orde N-th, kutub duduk di:
s_k = ω_c · e^{iπ(2k+N−1)/(2N)} untuk k = 0, 1, …, N−1
Ini menempatkan mereka dengan spasi sama di setengah kiri lingkaran dengan jari-jari ω_c. (Kutub di setengah kanan akan tidak stabil; hanya kutub di setengah bidang kiri yang disimpan.)
Mengapa locus melingkar → passband paling datar?
Polinom Butterworth |B_N(jω)|² = 1 + (ω/ω_c)^{2N} memiliki semua kutubnya di |s| = ω_c. Batasan jari-jari sama berarti semua kutub berkontribusi sama terhadap respons magnitudo pada ω = ω_c. Teorema kelancaran maksimum: di antara semua polinom orde N-th dengan kutub pada lingkaran ini, polinom Butterworth memiliki turunan paling banyak yang sama dengan nol di ω = 0.
Kutub Chebyshev: Locus Elips
Kutub Chebyshev terletak pada elips di bidang s (bukan lingkaran). Elips memiliki sumbu semi-mayor dan semi-minor yang ditentukan oleh parameter ripple ε. Passband ripple sama muncul dari sifat equioscillation polinom Chebyshev.
Kutub Eliptik: Locus Fungsi Eliptik
Kutub filter eliptik (Cauer) juga terletak pada elips — tetapi dengan KEDUA kutub DAN nol yang berkontribusi pada respons frekuensi. Nol duduk pada sumbu imajiner (kutub atenuasi berhingga di stopband). Pemetaan fungsi eliptik secara optimal mendistribusikan nol untuk mencapai ripple sama di kedua band secara bersamaan.
Menghitung Lokasi Kutub Butterworth
Untuk filter Butterworth orde ke-4 dengan ω_c = 1 (ternormalisasi), kutub duduk di:
s_k = e^{iπ(2k+3)/8} untuk k = 0, 1, 2, 3
k=0: s₀ = e^{i3π/8} (di setengah bidang kiri)
k=1: s₁ = e^{i5π/8} (di setengah bidang kiri)
k=2: s₂ = e^{i7π/8} (di setengah bidang kiri)
k=3: s₃ = e^{i9π/8} (di setengah bidang kiri)
Keempat kutub ini duduk dengan spasi sudut sama pada lingkaran satuan, semua dengan bagian nyata negatif (setengah bidang kiri).
Jarak dari Kutub ke Lingkaran Satuan
Stabilitas teori memerlukan |p| < 1. Dalam praktik, dua perhatian tambahan muncul.
Margin Stabilitas
Margin stabilitas filter IIR adalah jarak minimum dari kutub mana pun ke lingkaran satuan: min_k (1 − |p_k|).
Kutub di |p| = 0,99 secara teknis stabil tetapi menyisakan hanya margin 1%. Aritmetika presisi terbatas (pembulatan dalam representasi koefisien & akumulasi kesalahan pembulatan) dapat secara efektif menggerakkan kutub. Jika kuantisasi koefisien menggeser kutub dari 0,99 ke 1,001, filter menjadi tidak stabil.
Konsekuensi Geometris
Kutub sangat dekat dengan lingkaran satuan menghasilkan puncak respons frekuensi yang sangat tajam — resonator bandwidth sempit. Tetapi resonator sempit memerlukan presisi tinggi: kesalahan koefisien kecil menggerakkan frekuensi puncak secara signifikan.
Trade-off geometris: ketajaman puncak ∝ 1 / (1 − |p|). Saat |p| → 1, ketajaman → ∞ tetapi margin stabilitas → 0 dan sensitivitas terhadap kesalahan koefisien → ∞.
Bagian Orde Kedua
Filter IIR orde tinggi yang diimplementasikan sebagai polinom tunggal sensitif secara numerik — pembulatan satu koefisien dapat menggerakkan banyak kutub. Solusi standar: implementasikan sebagai cascade bagian orde kedua (biquad), masing-masing dengan hanya satu pasangan kutub konjugat dan satu pasangan nol konjugat. Kesalahan di satu bagian tidak dapat mengganggu kutub di bagian lain.