Von der Zeitebene zur komplexen Ebene
Die Z-Transformation bildet eine Sequenz x_n auf eine Funktion X(z) einer komplexen Variablen ab:
X(z) = Σ_{n=−∞}^{∞} x_n · z^{−n}
Die Variable z parametrisiert die komplexe Ebene. Verschiedene Regionen dieser Ebene entsprechen verschiedenen qualitativen Verhaltensweisen des Filters.
Geometrische Bereiche
| Bereich | z | Verhalten | ||
|---|---|---|---|---|
| Innerhalb des Einheitskreises | < 1 | Stabile Pole: gedämpfte Antwort | ||
| Einheitskreis | = 1 | Frequenzachse: z = e^{i2πf} | ||
| Außerhalb des Einheitskreises | > 1 | Instabile Pole: wachsende Antwort |
Der Einheitskreis spielt die gleiche Rolle in der Stabilität diskreter Zeit wie die imaginäre Achse in der Stabilität kontinuierlicher Zeit (Laplace).
Beziehung zur Laplace-Transformation
Bei kontinuierlichen Zeitsystemen verwendet die Laplace-Transformation die Variable s. Die imaginäre Achse s = iω ist dort, wo die Frequenzantwort liegt. Stabilität: Pole müssen Re(s) < 0 haben (linke Halbebene).
Die bilineare Transformation bildet s → z ab: z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2). Dies bildet die linke Halbebene auf das Innere des Einheitskreises ab — die geometrische Übersetzung von 'linke Halbebene stabil' in 'innerhalb des Einheitskreises stabil'.
Die bilineare Transformation als konforme Abbildung
Die bilineare Transformation z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2) ist eine Möbius-Transformation — eine konforme (winkelerhaltende) Abbildung der komplexen Ebene.
Seine wichtigsten geometrischen Eigenschaften:
- Bildet s = iω (imaginäre Achse) auf |z| = 1 (Einheitskreis) ab
- Bildet Re(s) < 0 (linke Halbebene) auf |z| < 1 (Inneres des Einheitskreises) ab
- Bildet Re(s) > 0 (rechte Halbebene) auf |z| > 1 (Äußeres des Einheitskreises) ab
- Frequenzverzerrung: die Abbildung ω → f ist nichtlinear — ω_analog = (2/T)·tan(πf_digital)
Diese Verzerrung komprimiert hohe Frequenzen zum Nyquist-Punkt. Designer berücksichtigen dies durch Vor-Verzerrung der analogen Spezifikation vor Anwendung der bilinearen Transformation.
Butterworth-Pole: Kreislocus
Butterworth-Filter erreichen einen maximally flat Durchlassbereich, indem sie analoge Pole auf einem Kreis mit Radius ω_c in der s-Ebene platzieren.
Für einen Filter der N-ten Ordnung sitzen die Pole bei:
s_k = ω_c · e^{iπ(2k+N−1)/(2N)} für k = 0, 1, …, N−1
Dies platziert sie gleichmäßig verteilt auf der linken Hälfte eines Kreises mit Radius ω_c. (Pole auf der rechten Hälfte würden instabil sein; nur die Pole der linken Halbebene werden beibehalten.)
Warum Kreislocus → maximally flat Durchlassbereich?
Das Butterworth-Polynom |B_N(jω)|² = 1 + (ω/ω_c)^{2N} hat alle seine Pole bei |s| = ω_c. Die Beschränkung auf gleichen Radius bedeutet, dass alle Pole gleichermaßen zur Magnitudenreaktion bei ω = ω_c beitragen. Der Satz der maximalen Flachheit: Unter allen Polynomen der N-ten Ordnung mit Polen auf diesem Kreis hat das Butterworth-Polynom die meisten Ableitungen gleich Null bei ω = 0.
Chebyshev-Pole: Ellipsenlocus
Chebyshev-Pole liegen auf einer Ellipse in der s-Ebene (nicht auf einem Kreis). Die Ellipse hat Halbachsen, die durch den Welligkeit-Parameter ε bestimmt werden. Der gleich-Welligkeit Durchlassbereich entsteht aus der Äquioszillationseigenschaft von Chebyshev-Polynomen.
Elliptische Pole: Elliptischer Funktionslocus
Elliptische (Cauer) Filter-Pole liegen auch auf einer Ellipse — aber mit BEIDEN Polen UND Nullstellen, die zur Frequenzantwort beitragen. Die Nullstellen sitzen auf der imaginären Achse (endliche Dämpfungspole im Sperrbereich). Die elliptische Funktionsabbildung verteilt die Nullstellen optimal, um gleiche Welligkeit in beiden Bändern gleichzeitig zu erreichen.
Berechnung von Butterworth-Polpositionen
Für einen Filter 4. Ordnung mit ω_c = 1 (normalisiert) sitzen die Pole bei:
s_k = e^{iπ(2k+3)/8} für k = 0, 1, 2, 3
k=0: s₀ = e^{i3π/8} (in linker Halbebene)
k=1: s₁ = e^{i5π/8} (in linker Halbebene)
k=2: s₂ = e^{i7π/8} (in linker Halbebene)
k=3: s₃ = e^{i9π/8} (in linker Halbebene)
Diese vier Pole sitzen mit gleichen Winkelabständen auf dem Einheitskreis, alle mit negativen Realteilen (linke Halbebene).
Abstand von Polen zum Einheitskreis
Theoretische Stabilität erfordert |p| < 1. In der Praxis entstehen zwei weitere Bedenken.
Stabilitätsmarge
Die Stabilitätsmarge eines IIR-Filters ist der minimale Abstand von jedem Pol zum Einheitskreis: min_k (1 − |p_k|).
Ein Pol bei |p| = 0,99 ist technisch stabil, lässt aber nur 1% Marge. Arithmetik mit endlicher Genauigkeit (Rundung bei Koeffizientendarstellung & Anhäufung von Rundungsfehlern) kann Pole effektiv verschieben. Wenn Quantisierung eines Koeffizienten einen Pol von 0,99 auf 1,001 verschiebt, wird der Filter instabil.
Geometrische Folge
Pole sehr nahe am Einheitskreis erzeugen sehr scharfe Spitzen der Frequenzantwort — Resonatoren mit schmaler Bandbreite. Aber enge Resonatoren erfordern hohe Präzision: kleine Fehler bei Koeffizienten verschieben die Peakfrequenz erheblich.
Der geometrische Kompromiss: Peakschärfe ∝ 1 / (1 − |p|). Wenn |p| → 1, Schärfe → ∞ aber Stabilitätsmarge → 0 und Empfindlichkeit gegenüber Koeffizientenfehlern → ∞.
Abschnitte zweiter Ordnung
Ein IIR-Filter hoher Ordnung, der als ein einziges Polynom implementiert wird, ist numerisch empfindlich — Rundung eines einzelnen Koeffizienten kann viele Pole verschieben. Die Standardlösung: Implementierung als Kaskade von Abschnitten zweiter Ordnung (Biquads), jeder mit nur einem konjugiert komplexen Polpaar und einem konjugiert komplexen Nullstellen-Paar. Fehler in einem Abschnitt können Pole in anderen nicht beeinflussen.