समय डोमेन से जटिल समतल तक
Z-रूपांतर एक अनुक्रम x_n को जटिल चर का कार्य X(z) में नक्शा करता है:
X(z) = Σ_{n=−∞}^{∞} x_n · z^{−n}
चर z जटिल समतल को पैरामीटर करता है। इस समतल के विभिन्न क्षेत्र फिल्टर के विभिन्न गुणात्मक व्यवहार के अनुरूप हैं।
ज्यामितीय क्षेत्र
| क्षेत्र | z | व्यवहार | ||
|---|---|---|---|---|
| इकाई सर्कल के अंदर | < 1 | स्थिर ध्रुव: क्षयकारी प्रतिक्रिया | ||
| इकाई सर्कल | = 1 | आवृत्ति अक्ष: z = e^{i2πf} | ||
| इकाई सर्कल के बाहर | > 1 | अस्थिर ध्रुव: बढ़ती प्रतिक्रिया |
इकाई सर्कल असतत-समय स्थिरता में वही भूमिका निभाता है जो काल्पनिक अक्ष निरंतर-समय (लाप्लास) स्थिरता में निभाता है।
लाप्लास रूपांतर के साथ संबंध
निरंतर-समय सिस्टम के लिए, लाप्लास रूपांतर चर s का उपयोग करता है। काल्पनिक अक्ष s = iω वह जगह है जहां आवृत्ति प्रतिक्रिया रहती है। स्थिरता: ध्रुव का Re(s) < 0 (बाएं आधे-समतल) होना चाहिए।
द्विरेखीय रूपांतर s → z को नक्शा करता है: z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2)। यह बाएं आधे-समतल को इकाई सर्कल के अंदर नक्शा करता है — 'बाएं आधे-समतल स्थिर' का 'इकाई सर्कल के अंदर स्थिर' में ज्यामितीय अनुवाद।
द्विरेखीय रूपांतर एक अनुरूप नक्शा के रूप में
द्विरेखीय रूपांतर z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2) एक मोबियस रूपांतर है — जटिल समतल का एक अनुरूप (कोण-संरक्षण) नक्शा।
इसके मुख्य ज्यामितीय गुण:
- s = iω (काल्पनिक अक्ष) को |z| = 1 (इकाई सर्कल) पर नक्शा करता है
- Re(s) < 0 (बाएं आधे-समतल) को |z| < 1 (इकाई सर्कल के अंदर) पर नक्शा करता है
- Re(s) > 0 (दाएं आधे-समतल) को |z| > 1 (इकाई सर्कल के बाहर) पर नक्शा करता है
- आवृत्ति विकृति: नक्शा ω → f गैर-रेखीय है — ω_analog = (2/T)·tan(πf_digital)
यह विकृति उच्च आवृत्तियों को न्यक्विस्ट बिंदु की ओर संपीड़ित करता है। डिजाइनर द्विरेखीय रूपांतर लागू करने से पहले अनुरूप विनिर्देश को पूर्व-विकृत करके इसे ध्यान में रखते हैं।
बटरवर्थ ध्रुव: सर्कल लोकस
बटरवर्थ फिल्टर सर्वाधिक फ्लैट पासबैंड प्राप्त करते हैं s-समतल में s-समतल में त्रिज्या ω_c के सर्कल पर अनुरूप ध्रुव रखकर।
N-वें क्रम के बटरवर्थ फिल्टर के लिए, ध्रुव बैठते हैं:
s_k = ω_c · e^{iπ(2k+N−1)/(2N)} k = 0, 1, …, N−1 के लिए
यह उन्हें त्रिज्या ω_c के सर्कल के बाएं आधे पर समान दूरी पर रखता है। (दाएं आधे पर ध्रुव अस्थिर होंगे; केवल बाएं आधे-समतल ध्रुव रखे जाते हैं।)
क्यों सर्कल लोकस → सर्वाधिक फ्लैट पासबैंड?
बटरवर्थ बहुपद |B_N(jω)|² = 1 + (ω/ω_c)^{2N} के सभी ध्रुव |s| = ω_c पर हैं। समान-त्रिज्या बाधा का अर्थ है सभी ध्रुव ω = ω_c पर परिमाण प्रतिक्रिया में समान रूप से योगदान करते हैं। अधिकतम समतलता प्रमेय: इस सर्कल पर ध्रुव के साथ सभी N-वें क्रम बहुपदों में, बटरवर्थ बहुपद के पास ω = 0 पर सर्वाधिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर हैं।
चेबीशेव ध्रुव: दीर्घवृत्त लोकस
चेबीशेव ध्रुव s-समतल में एक दीर्घवृत्त पर स्थित हैं (सर्कल नहीं)। दीर्घवृत्त के अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु अक्ष लहर पैरामीटर ε द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। समान-लहर पासबैंड चेबीशेव बहुपदों की समविचलन संपत्ति से उभरता है।
दीर्घवृत्त ध्रुव: दीर्घवृत्त फंक्शन लोकस
दीर्घवृत्त (कॉयर) फिल्टर ध्रुव भी एक दीर्घवृत्त पर स्थित हैं — लेकिन ध्रुव और शून्य दोनों आवृत्ति प्रतिक्रिया में योगदान करते हैं। शून्य काल्पनिक अक्ष पर बैठते हैं (स्टॉपबैंड में परिमित क्षीणन ध्रुव)। दीर्घवृत्त फंक्शन नक्शा अनुकूल रूप से शून्यों को वितरित करता है दोनों बैंड में एक साथ समान लहर प्राप्त करने के लिए।
बटरवर्थ ध्रुव स्थान की गणना
ω_c = 1 (सामान्यीकृत) के साथ 4-वें क्रम बटरवर्थ फिल्टर के लिए, ध्रुव बैठते हैं:
s_k = e^{iπ(2k+3)/8} k = 0, 1, 2, 3 के लिए
k=0: s₀ = e^{i3π/8} (बाएं आधे-समतल में)
k=1: s₁ = e^{i5π/8} (बाएं आधे-समतल में)
k=2: s₂ = e^{i7π/8} (बाएं आधे-समतल में)
k=3: s₃ = e^{i9π/8} (बाएं आधे-समतल में)
ये चार ध्रुव इकाई सर्कल पर समान कोणीय दूरी पर बैठते हैं, सभी नकारात्मक वास्तविक भागों के साथ (बाएं आधे-समतल)।
ध्रुव से इकाई सर्कल तक दूरी
सैद्धांतिक स्थिरता को |p| < 1 की आवश्यकता है। व्यावहारिक रूप से, दो अतिरिक्त चिंताएं उठती हैं।
स्थिरता मार्जिन
एक IIR फिल्टर का स्थिरता मार्जिन किसी भी ध्रुव से इकाई सर्कल तक की न्यूनतम दूरी है: min_k (1 − |p_k|)।
एक ध्रुव |p| = 0.99 पर तकनीकी रूप से स्थिर है लेकिन केवल 1% मार्जिन छोड़ता है। परिमित-सटीकता अंकगणित (गुणांक प्रतिनिधित्व में गोलाई & गोलाई त्रुटियों का संचय) ध्रुवों को प्रभावी ढंग से स्थानांतरित कर सकता है। यदि गुणांक परिमाणीकरण एक ध्रुव को 0.99 से 1.001 तक स्थानांतरित करता है, तो फिल्टर अस्थिर हो जाता है।
ज्यामितीय परिणाम
इकाई सर्कल के बहुत करीब ध्रुव बहुत तीव्र आवृत्ति प्रतिक्रिया चोटियों का उत्पादन करते हैं — संकीर्ण बैंडविड्थ अनुनाद। लेकिन संकीर्ण अनुनाद उच्च सटीकता की आवश्यकता है: छोटी गुणांक त्रुटियां चोटी आवृत्ति को महत्वपूर्ण रूप से स्थानांतरित करती हैं।
ज्यामितीय व्यापार-बंद
चोटी की तीव्रता ∝ 1 / (1 − |p|)। जैसे |p| → 1, तीव्रता → ∞ लेकिन स्थिरता मार्जिन → 0 और गुणांक त्रुटियों के प्रति संवेदनशीलता → ∞।
दूसरे-क्रम के सेक्शन
एक उच्च-क्रम IIR फिल्टर को एक एकल बहुपद के रूप में लागू करना संख्यात्मक रूप से संवेदनशील है — एक एकल गुणांक को गोल करने से कई ध्रुव स्थानांतरित हो सकते हैं। मानक समाधान: दूसरे-क्रम के सेक्शन (biquads) के एक कैस्केड के रूप में लागू करें, प्रत्येक में केवल एक संयुग्म ध्रुव जोड़ी और एक संयुग्म शून्य जोड़ी। एक सेक्शन में त्रुटियां दूसरों में ध्रुवों को परेशान नहीं कर सकती हैं।