დროის დომენიდან კომპლექსური სიბრტყეში
Z-ტრანსფორმაცია ითავსებს მიმდევრობას x_n ფუნქციაში X(z) კომპლექსური ცვლადის:
X(z) = Σ_{n=−∞}^{∞} x_n · z^{−n}
ცვლადი z პარამეტრიზებს კომპლექსურ სიბრტყეს. ამ სიბრტყის სხვადსხვა რეგიონები შეესაბამება ფილტრის სხვადსხვა თვისობრივ ქცევას.
გეომეტრიული რეგიონები
| რეგიონი | z | ქცევა | ||
|---|---|---|---|---|
| ერთეულის წრის შიგნით | < 1 | სტაბილური პოლები: დაშორებული პასუხი | ||
| ერთეულის წრე | = 1 | სიხშირის ღერძი: z = e^{i2πf} | ||
| ერთეულის წრის გარეთ | > 1 | არასტაბილური პოლები: იზრდებადი პასუხი |
ერთეულის წრე დისკრეტული დროის სტაბილურობაში იმავე როლს თამაშობს, რა როლი აქვს წარმოსახვითი ღერძს უწყვეტი დროის (Laplace) სტაბილურობაში.
კავშირი Laplace-ის ტრანსფორმაციასთან
უწყვეტი დროის სისტემებისთვის, Laplace-ის ტრანსფორმაცია იყენებს ცვლადს s. წარმოსახვითი ღერძი s = iω არის სადაც სიხშირის პასუხი ცხოვრობს. სტაბილურობა: პოლებმა უნდა ჰქონდეს Re(s) < 0 (მარცხენა ნახევარი-სიბრტყე).
ორწრფივი ტრანსფორმაცია აკავშირებს s → z: z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2). ეს აკავშირებს მარცხენა ნახევარი-სიბრტყეს ერთეულის წრის შიგნით — გეომეტრიული თარგმნა 'მარცხენა ნახევარი-სიბრტყე სტაბილური'-დან 'ერთეულის წრის შიგნით სტაბილური'-ში.
ორწრფივი ტრანსფორმაცია, როგორც კონფორმული დაკავშირება
ორწრფივი ტრანსფორმაცია z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2) არის Möbius ტრანსფორმაცია — კონფორმული (კუთხე-შემნახველი) დაკავშირება კომპლექსური სიბრტყის.
მისი მთავარი გეომეტრიული თვისებები:
- აკავშირებს s = iω (წარმოსახვითი ღერძი) |z| = 1 (ერთეულის წრე)-ზე
- აკავშირებს Re(s) < 0 (მარცხენა ნახევარი-სიბრტყე) |z| < 1 (ერთეულის წრის შიგნით)-ზე
- აკავშირებს Re(s) > 0 (მარჯვენა ნახევარი-სიბრტყე) |z| > 1 (ერთეულის წრის გარეთ)-ზე
- სიხშირის დამახრეჩა: დაკავშირება ω → f არის არაწრფივი — ω_analog = (2/T)·tan(πf_digital)
ეს დამახრეჩა ზღვრული სიხშირეებს Nyquist წერტილისკენ. დიზაინერები ითვალისწინებენ მას ორწრფივი ტრანსფორმაციის გამოყენებამდე ანალოგური სპეციფიკაციის წინასწარი დამახრეჩით.
Butterworth-ის პოლები: წრის ლოკუსი
Butterworth ფილტრები მიღწევენ მაქსიმალურად ჩალის passband-ს პოლების მოთავსებით წრეზე რადიუსით ω_c s-სიბრტყეში.
N-ე რიგის Butterworth ფილტრისთვის, პოლები მდებარეობენ:
s_k = ω_c · e^{iπ(2k+N−1)/(2N)} for k = 0, 1, …, N−1
ეს ათავსებს მათ თანაბრად გაშორებულად წრის მარცხენა ნახევარზე რადიუსით ω_c. (მარჯვენა ნახევარზე პოლები იყოს არასტაბილური; შენახული იყვნება მხოლოდ მარცხენა ნახევარი-სიბრტყის პოლები.)
რატომ წრის ლოკუსი → მაქსიმალურად ჩალი passband?
Butterworth პოლინომი |B_N(jω)|² = 1 + (ω/ω_c)^{2N} აქვს ყველა პოლი |s| = ω_c-ზე. თანაბარი რადიუსის დამცველი ნიშნავს, რომ ყველა პოლი თანაბრად ხელს შეუწყობს magnitude response-ს ω = ω_c-ზე. მაქსიმალური ჩალიანობის თეორემა: N-ე რიგის ყველა პოლინომის შორის წრეზე პოლებით, Butterworth პოლინომი აქვს ყველაზე მეტი წარმოებული ტოლი ნულის ω = 0-ზე.
Chebyshev პოლები: ელიფსის ლოკუსი
Chebyshev პოლები დევს ელიფსზე s-სიბრტყეში (არა წრეზე). ელიფსი აქვს ნახევარი-მეორე და ნახევარი-მცირე ღერძი განსაზღვრული ripple პარამეტრით ε. თანაბარი-ripple passband გამოჩნდება Chebyshev პოლინომების equioscillation თვისებიდან.
ელიფსური პოლები: ელიფსური ფუნქციის ლოკუსი
ელიფსური (Cauer) ფილტრის პოლები ასევე დევს ელიფსზე — მაგრამ BOTH პოლებით AND ნულებით უწყობენ ხელს frequency response-ს. ნულები იჯდებიან წარმოსახვით ღერძზე (finite attenuation poles stopband-ში). ელიფსური ფუნქციის დაკავშირება ოპტიმალურად ანაწილებს ნულებს განტოლებით ripple-ის ორივე ბენდში.
Butterworth-ის პოლის მდებარეობების გამოთვლა
4-ე რიგის Butterworth ფილტრისთვის ω_c = 1-ით (ნორმალიზებული), პოლები იჯდებიან:
s_k = e^{iπ(2k+3)/8} for k = 0, 1, 2, 3
k=0: s₀ = e^{i3π/8} (მარცხენა ნახევარი-სიბრტყეში)
k=1: s₁ = e^{i5π/8} (მარცხენა ნახევარი-სიბრტყეში)
k=2: s₂ = e^{i7π/8} (მარცხენა ნახევარი-სიბრტყეში)
k=3: s₃ = e^{i9π/8} (მარცხენა ნახევარი-სიბრტყეში)
ეს ოთხი პოლი იჯდება თანაბარი კუთხოვანი გაშორებით ერთეულის წრეზე, ყველა უარყოფითი რეალური ნაწილით (მარცხენა ნახევარი-სიბრტყე).
მანძილი პოლებიდან ერთეულის წრემდე
თეორიული სტაბილურობა მოითხოვს |p| < 1. პრაქტიკაში, ორი დამატებითი ფრთხიანობა წარმოიქმნება.
სტაბილურობის ზღვარი
IIR ფილტრის სტაბილურობის ზღვარი არის მინიმალური მანძილი ნებისმიერი პოლიდან ერთეულის წრემდე: min_k (1 − |p_k|).
პოლი |p| = 0.99-ზე ტექნიკურად სტაბილურია მაგრამ ტოვებს მხოლოდ 1% ზღვარს. სასრული სიზუსტის არითმეტიკა (კოეფიციენტის წარმოდგენაში დამრგვალება & roundoff შეცდომების დაგროვება) შეიძლება ეფექტურად გადაბრუნოს პოლები. თუ კოეფიციენტის კვანტიზაცია დაგაბრუნოს პოლი 0.99-დან 1.001-ზე, ფილტრი არასტაბილური გახდება.
გეომეტრიული შედეგი
პოლები ერთეულის წრის ძალიან ახლოს ქმნის ძალიან მკაცრ frequency response peaks — ვიწრო bandwidth resonators. მაგრამ ვიწრო resonators ითხოვს მაღალი სიზუსტე: მცირე კოეფიციენტის შეცდომები მნიშვნელოვნად გადაბრუნებს peak სიხშირეს.
გეომეტრიული ვაჭრობა
peak სიმკვეთრე ∝ 1 / (1 − |p|). |p| → 1-ისას, სიმკვეთრე → ∞ მაგრამ სტაბილურობის ზღვარი → 0 & კოეფიციენტის შეცდომებისადმი მგრძნობიარობა → ∞.
მეორე რიგის სექციები
მაღალი რიგის IIR ფილტრი, რომელიც განხორციელებულია როგორც ერთი პოლინომი, რიცხობრივად მგრძნობიარეა — ერთი კოეფიციენტის დამრგვალება შეიძლება გადაბრუნოს მრავალი პოლი. სტანდარტული გამოსავალი: განხორციელება როგორც მეორე რიგის სექციების (biquads) კასკადა, თითოეული მხოლოდ ერთი კონიუგატული პოლის წყვილით და ერთი კონიუგატული ნულის წყვილით. ერთი სექციის შეცდომები არ შეიძლება აშკარა გახდეს სხვა სექციების პოლებს.