Från tidsdomän till komplext plan
Z-transformationen avbildar en sekvens x_n till en funktion X(z) av en komplex variabel:
X(z) = Σ_{n=−∞}^{∞} x_n · z^{−n}
Variabeln z parametriserar det komplexa planet. Olika områden i detta plan motsvarar olika kvalitativa beteenden hos filtret.
Geometriska områden
| Område | z | Beteende | ||
|---|---|---|---|---|
| Innanför enhetscirkeln | < 1 | Stabila poler: avtagande respons | ||
| Enhetscirkeln | = 1 | Frekvenaxel: z = e^{i2πf} | ||
| Utanför enhetscirkeln | > 1 | Instabila poler: växande respons |
Enhetscirkeln spelar samma roll för diskret-tid-stabilitet som den imaginära axeln spelar för kontinuerlig-tid (Laplace) stabilitet.
Förhållande till Laplace-transformationen
För kontinuerlig-tid system använder Laplace-transformationen variabeln s. Den imaginära axeln s = iω är där frekvensresponsen finns. Stabilitet: poler måste ha Re(s) < 0 (vänster halvplan).
Den bilinjära transformationen avbildar s → z: z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2). Detta avbildar det vänstra halvplanet till insidan av enhetscirkeln — den geometriska tolkningen av 'vänster halvplan stabil' till 'innanför enhetscirkel stabil.'
Den bilinjära transformationen som konform avbildning
Den bilinjära transformationen z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2) är en Möbius-transformation — en konform (vinkelbevarande) avbildning av det komplexa planet.
Dess viktiga geometriska egenskaper:
- Avbildar s = iω (imaginär axel) till |z| = 1 (enhetscirkel)
- Avbildar Re(s) < 0 (vänster halvplan) till |z| < 1 (innanför enhetscirkel)
- Avbildar Re(s) > 0 (höger halvplan) till |z| > 1 (utanför enhetscirkel)
- Frekvenskompression: avbildningen ω → f är icke-linjär — ω_analog = (2/T)·tan(πf_digital)
Denna kompression packar höga frekvenser mot Nyquist-punkten. Designers kompenserar för detta genom att förvänd den analoga specifikationen innan den bilinjära transformationen tillämpas.
Butterworth-poler: Cirkulär polplats
Butterworth-filter uppnår maximalt plant passband genom att placera analoga poler på en cirkel med radien ω_c i s-planet.
För ett N:te ordningens Butterworth-filter sitter polerna på:
s_k = ω_c · e^{iπ(2k+N−1)/(2N)} för k = 0, 1, …, N−1
Detta placerar dem jämnt fördelade på den vänstra halvan av en cirkel med radien ω_c. (Poler på den högra halvan skulle vara instabila; endast polerna i det vänstra halvplanet behålls.)
Varför cirkulär polplats → maximalt plant passband?
Butterworth-polynomet |B_N(jω)|² = 1 + (ω/ω_c)^{2N} har alla sina poler på |s| = ω_c. Villkoret om lika radie betyder att alla poler bidrar lika mycket till magnitudresponsen vid ω = ω_c. Satsen om maximal planhet: bland alla N:te ordningens polynom med poler på denna cirkel, har Butterworth-polynomet flest derivator lika med noll vid ω = 0.
Chebyshev-poler: Elliptisk polplats
Chebyshev-poler ligger på en ellips i s-planet (inte en cirkel). Ellipsen har stor och liten halvaxel bestämda av ripple-parametern ε. Det lika-ripple passband uppkommer från Chebyshev-polynomens ekvioscillationsegenskap.
Elliptiska poler: Elliptisk funktions polplats
Elliptiska (Cauer) filterpoler ligger också på en ellips — men med både poler OCH nollställen som bidrar till frekvensresponsen. Nollställena sitter på den imaginära axeln (finit dämpning av poler i stoppbandet). Den elliptiska funktionsmappningen fördelar optimalt nollställena för att uppnå lika ripple i båda banden samtidigt.
Beräkning av Butterworth-polplatser
För ett 4:e ordningens Butterworth-filter med ω_c = 1 (normaliserad) sitter polerna på:
s_k = e^{iπ(2k+3)/8} för k = 0, 1, 2, 3
k=0: s₀ = e^{i3π/8} (i vänster halvplan)
k=1: s₁ = e^{i5π/8} (i vänster halvplan)
k=2: s₂ = e^{i7π/8} (i vänster halvplan)
k=3: s₃ = e^{i9π/8} (i vänster halvplan)
Dessa fyra poler sitter på lika vinkelbild på enhetscirkeln, alla med negativa realdelar (vänster halvplan).
Avstånd från poler till enhetscirkeln
Teoretisk stabilitet kräver |p| < 1. I praktiken uppstår två ytterligare bekymmer.
Stabilitetsreserv
Stabilitetsreserven för ett IIR-filter är det minsta avståndet från någon pol till enhetscirkeln: min_k (1 − |p_k|).
En pol på |p| = 0,99 är tekniskt stabil men lämnar endast 1% reserv. Aritmetik med begränsad precision (avrundning i koefficientrepresentation & ackumulering av avrundningsfel) kan effektivt flytta poler. Om koefficientkvantisering förskjuter en pol från 0,99 till 1,001 blir filtret instabilt.
Geometrisk följd
Poler mycket nära enhetscirkeln producerar mycket skarpa toppar i frekvensresponsen — smalbandiga resonatorer. Men smalbandiga resonatorer kräver hög precision: små koefficientfel flyttar toppfrekvensen betydligt.
Den geometriska avvägningen: toppskärpa ∝ 1 / (1 − |p|). När |p| → 1 är skärpa → ∞ men stabilitetsreserv → 0 och känslighet för koefficientfel → ∞.
Andra ordningens avsnitt
Ett högordnings-IIR-filter implementerat som ett enda polynom är numeriskt känsligt — avrundning av en enda koefficient kan flytta många poler. Standardlösningen: implementera som en kaskad av andra ordningens avsnitt (biquads), var och en med endast ett konjugerat polpar och ett konjugerat nollpar. Fel i ett avsnitt kan inte störa poler i andra.