من مجال الزمن إلى منطقة المربعة المعقدة
تخلق الخريطة Z-ترانسفورم سلسلة x_n إلى وظيفة X(z) من متغير معقد:
X(z) = Σ_{n=−∞}^{∞} x_n · z^{−n}
متغير z ي параметر المنطقة المربعة المعقدة. تتوافق مناطق مختلفة من هذه المنطقة مع سلوكيات نوعية مختلفة للفلاتر.
المناطق الجبرية
| المنطقة | |z| | السلوك |
|--------|-----|---------|
| داخل دائرة الوحدة | < 1 | قواسم مستقر: الاستجابة المتقلصة |
| دائرة الوحدة | = 1 | محور التردد: z = e^{i2πf} |
| خارج دائرة الوحدة | > 1 | قواسم غير مستقرة: الاستجابة المتزايدة |
تؤدي دائرة الوحدة نفس الدور في الاستقرارية الزمنية الذي يقوم به المحور المعقد في الاستقرارية ongoing (Laplace) stability.
العلاقة مع تحويل Laplace
للأنظمة ongoing الزمن، يستخدم تحويل Laplace المتغير s. محور الإيمان s = iω هو حيث يعيش تردد الاستجابة. الاستقرارية: يجب أن يكون لدي القواسم Re(s) < 0 (نصف المكعب الأيسر).
يتحول التحويل البيليني s → z: z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2). هذا يُترجم نصف المكعب الأيسر إلى داخل دائرة الوحدة — الترجمة الجبرية لـ 'نصف المكعب الأيسر المستقر' إلى 'داخل دائرة الوحدة المستقر.'
التحويل البيليني كخريطة متطابقة
يتحول التحويل البيليني z = (1 + Ts/2) / (1 − Ts/2) هو تحويل موبيوس — خريطة متطابقة (الحفاظ على الزوايا) لمنطقة المعقد.
خصائص الجبرية الرئيسية:
- تُخَرِّج s = iω (محور الإيمان) إلى |z| = 1 (دائرة الوحدة)
- تُخَرِّج Re(s) < 0 (نصف المكعب الأيسر) إلى |z| < 1 (داخل دائرة الوحدة)
- تُخَرِّج Re(s) > 0 (نصف المكعب الأيمن) إلى |z| > 1 (خارج دائرة الوحدة)
- تحول التردد: التمثيل غير الخطي ω → f هو التمثيل غير الخطي — ω_ongoing = (2/T)·tan(πf_digital)
تضخم هذا الترددات العالية نحو نقطة نيكويست. يأخذ مصممون ذلك بعين الاعتبار عن طريق تطبيع الترددات قبل تطبيق التحويل الخطي.
حجرات بوترفورد: دائرة مواقع الحجرات
تحقق معالجات بوترفورد من أن تكون مسار الموجة الناتجة مستويًا بشكل مفرط عن طريق وضع حجر العمود الفقري في دائرة من نصف القطر ω_c في مخطط s.
للمصفوفة N-الترتيب بوترفورد، توجد الحجرات في:
s_k = ω_c · e^{iπ(2k+N−1)/(2N)} للك = 0، 1، …، N−1
وهذا يضعها متساوية المسافة على نصف الدائرة الأيسر من نصف القطر ω_c. (الحجرات في نصف الدائرة اليمنى ستكون غير مستقر، سيتم الاحتفاظ فقط بحجرات نصف المخطط الأيسر.)
لماذا دائرة مواقع الحجرات → مسار الموجة الناتجة مستويًا بشكل مفرط؟
النسبة المثالية للبولينوميوم بوترفورد |B_N(jω)|² = 1 + (ω/ω_c)^{2N} جميع حجر العمود الفقري في |s| = ω_c. القيود المتساوية تعني أن جميع الحجرات تساهم بشكل متساوي في الاستجابة المagnitude عند ω = ω_c. المبرهنة الأقصى المستوية: بين جميع النسبة المئوية من المصفوفة N-الترتيب، يكون بولينوم بوترفورد الأكثر دلالات الأصفار في المشتقة عند ω = 0.
حجر تشيبشيف: دائرة مواقع الحجرات
تبقى فجوات تشيبشيف على إحدى النقاط على إطار النقاط العقدية (ليس على دائرة). يحدد طول المحور الرئيسي والطول المحوري لل楔ية ε. يظهر الحد المسمى بالمنطقة المعتادة من الموجات من خاصية العدالة المتساوية لبعض متعددات الحدود التشيبشيف.
نواقل المثلثية: إطار دائري للنقاط
تبقى نواقل المصفوفة المثلثية الإهليلجية (كاوير) أيضًا على إطار إهليلجي - ولكن مع إضافة كلاً من النواقل والصفراء للمصفوفة إلى الاستجابة الفrekency. يقع الصفراء على المحور العمودي (نقاط الانحراف المحددة في منطقة الإيقاف). يتم توزيع الصفراء بفعالية لتحقيق الانحدار المتساوي في كلا المنطقتين في نفس الوقت.
حساب مواقع نواقل بوترفورث
لصيغة بوترفورث من الرتبة الرابعة مع ω_c = 1 (المعادة)، توجد نواقلها في:
s_k = e^{iπ(2k+3)/8} ل k = 0, 1, 2, 3
k = 0: s₀ = e^{i3π/8} (في النصف الأيسر من المخطط)
k = 1: s₁ = e^{i5π/8} (في النصف الأيسر من المخطط)
k = 2: s₂ = e^{i7π/8} (في النصف الأيسر من المخطط)
k = 3: s₃ = e^{i9π/8} (في النصف الأيسر من المخطط)
تقع هذه الأربعة نواقل على مسافة زاوية متساوية على الدائرة الوحدة، كلها مع أعداد حقيقية سالبة (في النصف الأيسر من المخطط).
المسافة من نواقل إلى دائرة الوحدة
الاستقرار النظري يتطلب |p| < 1. في الممارسة العملية، يظهران مصلتان إضافيتان.
مدى الاستقرار
مدى الاستقرار لمصفوفة IIR هو أقل بعد بين أي ثقب ودائرة الوحدة: min_k (1 − |p_k|).
ثقب ب|p| = 0.99 من الناحية النظرية مستقر ولكن يترك مجال استقرار يبلغ فقط 1%. الحسابات ذات الدقة المحددة (التحويلات الدقيقة في تمثيل معاملات & تراكم أخطاء الجدولة) يمكن أن تنتقل فعلياً الثقوب. إذا تحولت معلمة من 0.99 إلى 1.001 بسبب تحويل المعاملات، تصبح المصفوفة غير مستقر.
النتيجة الجيومتρίου
الثقوب القريبة جدًا من دائرة الوحدة تنتج قمم استجابة ترددية شديدة النعومة - المتصدعات الضيقة. لكن المتصدعات الضيقة تتطلب دقة عالية: تسبب أخطاء صغيرة في المعاملات في تحريك قمة التردد بشكل كبير.
التبادل الجيومتري: النعومة ∝ 1 / (1 − |p|). عندما |p| → 1، النعومة → ∞ ولكن مدى الاستقرار → 0 وال حساسية للخطأ في المعاملات → ∞.
الأقسام من الدرجة الثانية
مصفوفة IIR العالية الدرجة التي يتم تنفيذها كمتحول واحد هو حساس رقميًا - يمكن أن تتحرك العديد من الثقوب بسبب تحويل معامل واحد. الحل المعياري: تنفيذها كسلسلة من الأقسام من الدرجة الثانية (البايقود) ، كل منها يحتوي على زوج واحد فقط من الثقوب المناظرة والزوج المناظر. أخطاء في قسم لا يمكنها التأثير على ثقوب في الأقسام الأخرى.