欢迎
太空飞行就是几何。每个轨道都是一个双锥切割得到的曲线。每个卫星、行星、彗星的轨迹都是四种曲线之一：圆、椭圆、抛物线或双曲线。具体取决于它们的速度。
这节课将介绍使任务规划者设计轨道、更改轨道、对齐轨道平面以及将空间飞船停放在引力平衡点的几何方法。这些不是近似值或简化值：开普勒定律和牛顿引力提供了确切的几何解，这些解曾经指导着历史上的每一个太空任务。
我们从轨道力学中最重要的形状开始：椭圆。
椭圆轨道的解剖
开普勒第一定律
在1609年，约翰内斯·开普勒发现行星以椭圆形轨道围绕太阳运行，太阳位于一个焦点。这对当时的天文学家来说是革命性的，因为他们曾经认为轨道是圆形（或是由多个圆组成的）。开普勒证明了轨道的几何实际上更简单但不对称。
椭圆的几何:
- 半长轴（a）： 最长直径的一半。这决定了轨道周期和总能量。
- 半短轴（b）： 最短直径的一半。
- 焦点（F1，F2）： 椭圆内的两个特殊点。中央体（地球、太阳）位于一个焦点。另一个焦点是空的。
- 偏心率（e）： 测量椭圆的拉长程度。e = c/a，其中c是从中心到焦点的距离。
- e = 0：完美的圆
- 0 < e < 1：椭圆
- e = 1：抛物线（逃逸轨道）
- e > 1：双曲线（接近轨道）
- 近点： 在轨道上离中央体最近的点（对于地球轨道：偏心）
- 远点： 离中央体最远的点（对于地球轨道：高轨）
开普勒第二定律 添加了一个关键约束：从中央体到轨道物体的连线在等时间内扫过等面积。这意味着物体在近点最快，在远点最慢。椭圆的几何确定了每个点的速度。
偏心率和速度
連接形狀到速度
國際空間站環繞地球在一個幾乎是圓形的軌道：疊度約為0.0005。哈雷彗星繞太陽運行，疊度為0.967：一個極端扭曲的橢圓形。當彗星接近太陽（最接近太陽）時，它以54.5公里/秒的速度移動。在最遠點（最遠），它以0.9公里/秒的速度緩慢移動。相同的軌道，相同的物體，但幾何學迫使速度比率為60：1。
霍曼轉移橢圓
變化軌道幾何學
在一個圓形軌道上的太空船無法直接指向一個更高的軌道並點火其引擎。軌道力學並不那樣工作。相反，太空船必須沿著一個特定的幾何路線：一個轉移軌道：將兩個圓形軌道連接起來。
霍曼轉移軌道（1925年由沃爾特·霍曼提出）是最節能的兩次推進階段轉移，用于在共面圓軌道之間。它的幾何結構優雅：轉移軌道是一個椭圆轨道，近日點接觸內部軌道，遠日點接觸外部軌道。
兩次推進:
1. 第一次推進（在近日點）： 在內部圓軌道上發動引擎向前加速，從轉移椭圆轨道上移動。太空船現在沿著椭圆路径向外移動。
2. 第二次推進（在遠日點）： 當太空船到達外部軌道的高度時，再次向前加速，從轉移椭圆轨道上加速到外部圓軌道。
幾何學上為什麼這樣工作？ 轉移椭圆轨道與兩個圓軌道接觸：它在每個軌道上只有一個接觸點。這意味著在推進點時，太空船的速度與圓軌道的方向相Align，所以所有的推進力都用於更改速度（而不是方向）。達到最大效率。
成本： 從低地球轨道（LEO）到地球同步轨道（GEO）的霍曼轉移需要時間，約需5.3小時。到月球的轉移時間約為3天。
轉移軌道幾何
超越霍曼
霍曼轉移對於一般的軌道變化是最優的。但對於非常大的軌道變化：例如從LEO到一個15倍高的軌道時，雙椭圆轉移實際上可以更節能，雖然它使用了三次推進並且需要更長的時間。幾何學涉及到兩個轉移椭圆轨道：一個超過目標軌道，然後一個返回。
這聽起來很反直覺：遠遠地走，然後再回来，使用的燃料比直接走少。原因在於太空軌道能量的幾何學：奧伯特效應意味著在大質量體附近的加速比在遠離質量體的加速更有效。
第三維度
離開平面
我們之前一直在兩維度中工作：在一個平面上以橢圓形式存在的軌道。然而，實際的軌道存在於三維空間中，軌道平面的方向對結果有著巨大的影響。
軌道傾角 是指軌道平面與赤道平面之間的角度，傾角範圍從0°（赤道軌道，與赤道相同平面）到90°（極軌道，通過兩個極）到180°（逆向赤道軌道，與地球自轉方向相反）。
ISS的傾角為51.6°，這意味著其軌道平面與赤道的傾角為51.6°。當地球自轉時，ISS將通過緯度在51.6°N和51.6°S之間的每一個點。
更改傾角非常昂貴。在平面內的操作（如霍曼轉移）會更改軌道的大小和形狀。平面更改會在三維空間中旋轉整個軌道。需要更改平面的速度變化為：
ΔV = 2V × sin(Δi/2)
其中V是軌道速度，Δi是傾角變化的角度。即使是小的傾角變化，也需要很大的ΔV，因為您必須重新定向整個軌道速度向量，而不僅僅是增加或減少其大小。
在ISS轨道速度（7.7 km/s）下，1°的倾角变化需要消耗大约135 m/s的ΔV。从卡纳韦拉尔角（地理纬度）到赤道（0°倾角）需要的变化需要消耗大约3.8 km/s：几乎是达到轨道的ΔV的1/2。
发射场优势
为什么发射场位于那里
当火箭向东方发射时，它会从地球的自转中获得一定的速度。赤道上，地球表面以约465 m/s向东移动。在卡纳韦拉尔角（28.5°N），约408 m/s。在巴伊科努尔（45.6°N），约325 m/s。
但有一个几何约束：从卡纳韦拉尔角向东发射的火箭进入的轨道倾角等于发射场的纬度：28.5°。要从卡纳韦拉尔角达到赤道轨道（倾角0°），你必须执行28.5°的倾角变化：这非常昂贵。
这解释了为什么欧洲空间局从库鲁（地理纬度5.2°N）发射火箭，以及为什么中国在19.6°N的文昌发射场进行了建设。您省下的每个纬度都意味着您在轨道上不需要支付的倾角变化。
五個特別點
引力幾何學
在任何兩個引力系統（如太陽和地球）中，恰好有五個點，引力和軌道上的慣性力相加，產生零總力。將小物體放在這些點上，它將相對於兩個物體保持不動。這些是拉格朗日點，1772年由約瑟夫-路易·拉格朗日數學上發現。
這五個點:
L1: 在太陽和地球之間，約1.5百萬公里遠。太陽的引力向太陽拉，地球的引力向地球拉，而軌道上的慣性力則向外推。當這些平衡時，就是L1。SOHO和DSCOVR從這裡觀察太陽。
L2: 在地球從太陽的遠端，約1.5百萬公里遠。這裡太陽和地球的共同引力（都向太陽拉）與慣性力平衡。JWST從這裡運行：它將太陽、地球和月球都遮在它的太陽遮罩後面。
L3: 在太陽與地球的相對面。理論上有趣但實際上無用：太遠無法通訊且被太陽遮住。
L4和L5: 在太陽、地球和拉格朗日點組成的等邊三角形的頂點。L4位於地球軌道前方60°，L5位於後方60°。這些是唯一穩定的拉格朗日點：放置在這裡的物體自然會返回。
穩定性: L1、L2和L3是不穩定的：就像在山頂上平衡一個球。稍微推一推，物體就會漂開。L1和L2上的太空船需要定期進行維持工作的燃料點火。L4和L5是穩定的：就像一個球在碗裡。被移開的物體會在點周圍振動。由於數億年來，木星的L4和L5點已經吸引了數千個特洛伊小行星。
平衡幾何學
為什麼是等邊三角形?
事實上，L4和L5位於等邊三角形的頂點並非偶然，這是引力幾何學的深刻結果。證明過程包括在較小天體的60°前後，引力梯度創造了柯里奧利力陷阱，將物體捕獲。
實用應用非常重要。NASA的路西法任務正在訪問木星的托羅斯小天體，位於L4與L5。LISA先鋒任務在太陽-地球L1點測試了引力波檢測技術。自赫爾塞爾太空望遠鏡（2009年）以來，所有主要的太空望遠鏡都被安置在L2點。