Hoşgeldiniz
Uzay uçuşu geometridir. Her yörünge bir konik kesittir: bir konuyu bir düzlemle kestiğinizde elde ettiğiniz bir şekil. Her uydunun, her gezegrenin, her kuyrulu yıldızın yörüngesi dört eğriden biridir: çember, elips, parabol veya hiperbol. Hangisi olduğu, nesnenin ne kadar hızlı hareket ettiğine bağlıdır.
Bu ders, görev planlayıcıların yörüngeleri tasarlamak, yörüngeleri değiştirmek, yörünge düzlemlerini hizalamak ve uzay araçlarını yerçekimi dengesi noktalarına yerleştirmek için kullandıkları geometriyi kapsar. Bunlar yaklaşımlar veya basitleştirmeler değildir: Kepler yasaları ve Newton yerçekimi, tarihteki her uzay görevine rehberlik eden kesin geometrik çözümler verir.
Yörünge mekaniğinde en önemli şekilden başlarız: elips.
Eliptik Yörüngenin Anatomisi
Kepler'in Birinci Yasası
Johannes Kepler 1609'da gezegenlerin Güneş etrafında elipsler içinde döndüğünü ve Güneş'in bir odakta olduğunu keşfetti. Bu devrim niteliğindeydi: yüzyıllar boyunca astronomlar yörüngelerin daireler olduğunu (veya dairelerin kombinasyonlarını) varsaydılar. Kepler geometrinin daha basit ama daha az simetrik olduğunu gösterdi.
Bir elipsin geometrisi:
- Yarı-büyük eksen (a): En uzun çapın yarısı. Bu yörünge periyodunu ve toplam enerjiyi belirler.
- Yarı-küçük eksen (b): En kısa çapın yarısı.
- Odaklar (F₁, F₂): Elipsin içinde iki özel nokta. Merkezi gövde (Dünya, Güneş) bir odakta oturur. Diğer odak boştur.
- Eksantriklik (e): Elipsin ne kadar uzamış olduğunu ölçer. e = c/a, burada c merkezden odağa olan mesafedir.
- e = 0: mükemmel çember
- 0 < e < 1: elips
- e = 1: parabol (kaçış yörüngesi)
- e > 1: hiperbol (uçak yörüngesi)
- Periapsis: Yörüngenin merkezi gövdeye en yakın olduğu nokta (Dünya yörüngeleri için: perigee)
- Apoapsis: Merkezi gövdeden en uzak olan nokta (Dünya yörüngeleri için: apogee)
Kepler'in İkinci Yasası önemli bir kısıtlamayı ekler: merkezi gövdeden yörüngedeki nesneye giden bir çizgi eşit zamanlarda eşit alanları tarar. Bu, nesnenin periapsisin hızında en hızlı ve apoapsisin hızında en yavaş hareket ettiği anlamına gelir. Elipsin geometrisi her noktadaki hızı belirler.
Eksantriklik ve Hız
Şekli Hızla Bağlantılandırmak
ISS Dünya etrafında neredeyse dairesel bir yörüngede döner: eksantriklik yaklaşık 0,0005. Halley Kuyrulu Yıldızı Güneş etrafında eksantriklik 0,967 ile döner: son derece uzamış bir elips. Perihelionde (Güneş'e en yakın), Halley Kuyrulu Yıldızı 54,5 km/s hızında hareket eder. Afeliyonda (en uzak), 0,9 km/s hızında hareket eder. Aynı yörünge, aynı nesne, ama geometri 60:1 hız oranını zorunlu kılar.
Hohmann Transfer Elipsi
Yörüngeleri Geometrik Olarak Değiştirmek
Dairesel bir yörüngede olan bir uzay aracı kendisini daha yüksek bir yörüngeye işaret edemez ve motorlarını ateşleyemez. Yörünge mekaniği bu şekilde çalışmaz. Bunun yerine, uzay aracı belirli bir geometrik yolu takip etmelidir: iki dairesel yörüngeyi bağlayan bir transfer yörüngesi.
Hohmann transferi (Walter Hohmann tarafından 1925'te önerilmiş) eş düzlemli dairesel yörüngeler arasında en yakıt verimli iki yanmadır. Geometrisi zarif: transfer yörüngesi, periapsisi iç yörüngeye temas eden ve apoapsisi dış yörüngeye temas eden bir elipstir.
İki yanma:
1. Yanma 1 (periapsisin de): Motorları prograd (ileri) ateşleyerek iç dairesel yörüngeden transfer elipsine hızlanın. Uzay aracı şimdi eliptik yolun dışarısını takip eder.
2. Yanma 2 (apoapsisinde): Uzay aracı dış yörünge yüksekliğine ulaştığında, dış dairesel yörüngeye hızlanmak için motorları prograd ateşleyin.
Bu geometrik olarak neden işe yarar? Transfer elipsi her iki dairesel yörüngeye teğettir: her birine tam olarak bir noktada temas eder. Bu, yanma noktalarındaki uzay aracının hızının dairesel yörünge hızı ile aynı olması anlamına gelir, bu nedenle tüm motor itişi hızı değiştirmeye (yön değiştirmeye değil) gider. Maksimum verimlilik.
Maliyet: Çok daha yüksek bir yörüngeye yapılan Hohmann transferi zaman alır. Düşük Dünya yörüngesi (LEO) from jeostasyoner yörüngeye (GEO) transfer yaklaşık 5,3 saat sürer. Ay'a yapılan bir transfer yaklaşık 3 gün sürer.
Transfer Yörüngesi Geometrisi
Hohmann'ın Ötesinde
Hohmann transferi mütevazı yörünge değişiklikleri için optimaldir. Ama çok büyük yörünge değişiklikleri için: örneğin, LEO'dan 15 kat daha yüksek bir yörüngeye: bir bi-eliptik transfer aslında daha yakıt verimli olabilir, hatta üç yanma kullansa ve çok daha uzun sürese de. Geometri iki transfer elipsini içerir: biri hedef yörüngeyi aşan ve biri geri inen.
Bu sezgiseldir: ihtiyaç duyduğunuzdan daha uzağa gitmek, sonra geri gelmek, doğrudan gitmekten daha az yakıt kullanır. Nedeni yörünge enerjisinin derinlemesine geometrisinde yatmaktadır: Oberth etkisi, masif bir gövdenin yakınında (hızda yakın) yapılan yanmaların, masif bir gövdeden uzak (düşük hızda) yapılan yanmalardan daha verimli olduğu anlamına gelir.
Üçüncü Boyut
Düzlemi Terk Etmek
Şimdiye kadar iki boyutta çalıştık: yörüngeler düz bir düzlemdeki elipsler olarak. Ama gerçek yörüngeler üç boyutlu uzayda var ve yörünge düzleminin yönü çok önemlidir.
Yörünge eğimi, yörünge düzlemi ile ekvator düzlemi arasındaki açıdır. 0° (ekvator yörüngesi, ekvatorla aynı düzlem) ile 90° (kutup yörüngesi, her iki kutuptan geçen) arasında değişir ve 180° (retrograd ekvator yörüngesi, Dünya'nın dönüşünün tersine dönen) kadar uzanır.
ISS'in eğimi 51,6°'dir. Bu, yörünge düzleminin ekvatordan 51,6° eğik olduğu anlamına gelir. Dünya altında dönerken, ISS 51,6°K ve 51,6°G enlemleri arasındaki Dünya'nın her noktasından geçer.
Eğimi değiştirmek muazzam derecede pahalıdır. Düzlem içi manevra (Hohmann transferleri gibi) yörüngenin boyutunu ve şeklini değiştirir. Düzlem değişiklikleri tüm yörüngeyi 3B uzayda döndürür. Bir düzlem değişikliği için gerekli olan hız değişikliği:
ΔV = 2V × sin(Δi/2)
burada V yörünge hızı ve Δi eğim değişikliği derecedir. Tüm yörünge hız vektörünü yeniden yönlendirmeniz gerektiğinden, sadece büyüklüğünü arttırmak veya azaltmak değil, küçük bir eğim değişikliği bile büyük bir ΔV gerektirir.
ISS yörünge hızında (7,7 km/s), 1° eğim değişikliği yaklaşık 135 m/s ΔV maliyeti vardır. 28,5° değişim (Cape Canaveral enleminden ekvatoryal konuma) yaklaşık 3,8 km/s maliyeti vardır: yörüngeye ulaşmak için gereken ΔV'nin neredeyse yarısı.
Fırlatma Sitesinin Avantajı
Fırlatma Sitelerinin Nerde Olduğu
Bir roket doğuya fırlatıldığında, Dünya'nın dönüşünden ücretsiz bir hız artışı alır. Ekvatorunda Dünya'nın yüzeyi doğuya doğru yaklaşık 465 m/s hareket eder. Cape Canaveral'de (28,5°K), yaklaşık 408 m/s'dir. Baikonur'da (45,6°K), yaklaşık 325 m/s'dir.
Ama geometrik bir kısıtlama var: Cape Canaveral'den doğuya fırlatılan bir roket, fırlatma sitesinin enlemine eşit bir eğime sahip bir yörüngeye girer: 28,5°. Ekvatoryal bir yörüngeye (eğim 0°) Cape Canaveral'den ulaşmak için 28,5° düzlem değişikliği yapmanız gerekir: bu son derece pahalıdır.
Bu, Avrupa Uzay Ajansı'nın Kourou, Fransız Guyanası'ndan (enlem 5,2°K) ve Çin'in Wenchang'ı 19,6°K konumunda neden inşa ettiğini açıklar. Fırlatma sitesindeki her derece enlemi, yörüngede ödemek zorunda olmadığınız bir derece eğim değişikliğidir.
Beş Özel Nokta
Yerçekimi Geometrisi
Herhangi bir iki cisme yerçekimi sisteminde (Güneş ve Dünya gibi), her iki cismin yerçekimi çekiminin, yörüngelenişin merkezkaç kuvvetinin birleşimi net sıfır kuvvet yarattığı tam olarak beş nokta vardır. Bu noktalardan birine yerleştirilen küçük bir nesne her iki cisime göre sabit kalabilir. Bunlar Lagrange noktalarıdır ve 1772'de Joseph-Louis Lagrange tarafından matematiksel olarak keşfedilmiştir.
Beş nokta:
L1: Güneş ve Dünya arasında, Dünya'dan yaklaşık 1,5 milyon km uzakta. Güneş'in yerçekimi sizi güneşe çekiyor, Dünya'nın yerçekimi sizi dünyaya çekiyor ve yörüngelenişin merkezkaç kuvveti sizi dışarıya itiyor. L1'de bunlar dengede. SOHO ve DSCOVR buradan Güneş'i gözlemler.
L2: Güneş'in ötesinde Dünya'dan, yaklaşık 1,5 milyon km çıkmış. Burada Güneş ve Dünya'nın kombineleştirilmiş yerçekimi (her ikisi de güneşe çekiyor) merkezkaç kuvveti ile dengeler. JWST burada döner: Güneş, Dünya ve Ayı güneş kalkanının arkasında tutaştırır.
L3: Güneş'in, Dünya'nın ters tarafında. Teorik olarak ilginç ama pratik olarak işe yaramaz: iletişim için çok uzak ve Güneş tarafından bloke edilmiş.
L4 ve L5: Güneş, Dünya ve Lagrange noktasından oluşan eşkenar üçgenlerin köşelerinde. L4, Dünya'nın yörüngesinde 60° önde, L5, 60° arkada. Bunlar tek istikrarlı Lagrange noktalarıdır: buraya yerleştirilen nesneler yer değiştirildiğinde doğal olarak geri dönerler.
İstikrar: L1, L2 ve L3 istikrarsız: tepedeki bir topun dengelenmesine benzer. Küçük bir itişim ve nesne sürüklenir. L1 ve L2'deki uzay aracı düzenli istasyon-tutma yanmaları yapmalıdır. L4 ve L5 istikrarlı: bir kasedeki topun içinde. Yer değiştirilen nesneler nokta etrafında salınır. Jüpiter'in L4 ve L5 noktaları milyonlarca yıl içinde binlerce Trojan asteroidi toplamışlardır.
Dengede Geometrisi
Neden Eşkenar Üçgenler?
L4 ve L5'in eşkenar üçgenlerin köşelerinde oturması rastlantı değildir: bu yerçekimi geometrisinin derin bir sonucudur. İspat, daha küçük cismin 60° ilerisi veya gerisi konumunda, yerçekimi gradyeninin nesneleri tuzağa düşüren bir Coriolis kuvveti kuyusu yarattığını göstererek yapılır.
Pratik uygulamalar önemlidir. NASA'nın Lucy görev Jüpiter'in Trojan asteroitleri L4 & L5'de ziyaret ediyor. LISA Pathfinder görev, Güneş-Dünya L1'de yerçekimi dalgası deteksiyonu teknolojisini test etti. Herschel'den (2009) bu yana her büyük uzay teleskop L2'ye yerleştirilmiştir.