Hoşgeldiniz
Uzay uçuşu geometridir. Her yörünge, bir koni kesen bir düzlemin oluşturduğu bir şekil: daire, elips, parabola veya hiperbola. Hangisi olduğuna göre, nesnenin hızı ne kadar hızlıysa.
Bu ders, misyon planlayıcılarının yörüngeleri tasarlamak, yörüngeleri değiştirmek, orbital planları hizalandırmak ve gravitasyonel dengede uzay araçlarını park etmek için kullandıkları geometriyi kapsar. Bu, Kepler'in yasaları ve Newton'cu gravitasyonun tam geometrik çözümler verdiğini belirtmek önemlidir: tarih boyunca her uzay görevini yönlendirenler olmuştur.
Uzay mekaniğinde en önemli şekli: elipsle başlarız.
Elipsel Yörünge Anatomisi
Kepler'in İlk Yasası
Johannes Kepler, 1609'da güneş etrafında elipslerde dönen gezegenler keşfetmiştir. Güneş, elipsin bir odak noktasında yer alırken, diğer odak noktası boş kalmıştır. Bu, yüzyıllar boyunca astronomların, yörüngelerin daireler (veya dairelerin kombinasyonları) olduğunu varsaydıkları bir devrimdi. Kepler, geometrinin daha basit ama daha az simetrik olduğunu göstermiştir.
Elipsin geometrisi:
- Semi-major axis (a): En uzun çember yarıçapının yarısı. Bu, yörunge süresi ve toplam enerjiyi belirler.
- Semi-minor axis (b): En kısa çember yarıçapının yarısı.
- Foci (F₁, F₂): Elipsin içinde iki özel nokta. Merkezi cisim (Yerküre, Güneş) bir odak noktasında yer alırken, diğer odak noktası boş kalmıştır.
- Eccentricity (e): Elipsin ne kadar uzatıldığını ölçer. e = c/a, burada c, merkezi noktanın odak noktasına olan mesafesidir.
- e = 0: mükemmel daire
- 0 < e < 1: elips
- e = 1: parabola (kaçış yörüngesi)
- e > 1: hiperbola (uçuş yörüngesi)
- Periapsis: Yörünge üzerindeki merkezi cisimden en yakın nokta (Yerküre yörüngeleri için: perige)
- Apoapsis: Merkezi cisimden en uzak nokta (Yerküre yörüngeleri için: apogee)
Kepler'in İkinci Yasası önemli bir kısıtlama ekler: merkezi cisimden orbit eden cisim arasındaki bir çizgi, eşit zamanlarda eşit alanlar kaplar. Bu, cismin en yakın perige ve en uzak apogee'de en hızlı, diğerlerinde en yavaş olduğunu gösterir. Elipsin geometrisi, her noktanın hızı için belirir.
Eklemlilik ve Hız
Şekil ile Hız Arasında Bağıntı
ISS, Dünya etrafında neredeyse dairesel bir yörungeye sahiptir: eğikliği yaklaşık 0.0005. Halley's Comet (Balyoz Kometi), eğikliği 0.967 olan Güneş etrafındaki eliptik bir yörungeye sahiptir: çok uzatılmış bir elips. En yakın noktada (perihelion) Güneş'e olan yakınlığıyla Balyoz Kometi 54.5 km/s hızla hareket eder. En uzak noktada (aphelion) ise sadece 0.9 km/s hızla ilerliyor. Aynı yörungeye, aynı objeye sahip olsa da, geometri 60:1 hız oranına neden olur.
Hohmann Transfer Elipsi
Geometrik Yörunge Değişikliği
Daire yörungeye sahip bir uzay aracı, daha yüksek bir yörungeye doğru kendisini yönlendiremez ve motorlarını kullanamaz. Orbital mekanik böyle çalışmaz. Bunun yerine, uzay aracı iki dairesel yörungeyi bağlayacak özel bir geometrik yolda: bir transfer yörüngesine tırmanmalıdır.
Hohmann transferi (1925'te Walter Hohmann tarafından önerildi) ikiz yörünge arası en yakıt verimli iki yanık transferi olup, yörünge öğeleri coplanar dairesel yörüngeler arasında gerçekleşir. Geometrisi ince: transfer yörüngesi, iç yörüngenin apoapsis'ini ve dış yörüngenin apoapsis'ini dokunduran bir elips şeklindedir.
İki yanık:
1. Yanık 1 (apoapsis): İç dairesel yörüngeden transfer elipsine yükseltilmek üzere ön (ileriye) doğru motorlar ateşlenir. Uzaklaşan eliptik yörüngede uzay aracı şimdi yolunu sürdürür.
2. Yanık 2 (apoapsis): Uzay aracı dış yörüngelik yüksekliğe ulaştığında, elipsden dış dairesel yörüngelik üzerine tekrar ön (ileriye) doğru motorlar ateşlenir.
Bu geometrik olarak neden işe yarar? Transfer elipsi her birini tam olarak bir noktada dokunduran yörüngeler üzerinde temas halindedir: her birini sadece bir nokta üzerinde dokundurur. Bu nedenle, yanık noktalarında uzay aracının hızı dairesel yörüngelikle hizalıdır, bu nedenle motor itici gücü sadece hızı (değil yönlü) değiştirmektedir. Maksimum verimlilik.
Fiyat: Çok daha yüksek bir yörüngeye Hohmann transferi zaman alır. LEO'dan GEO'ya (düşük Dünya yörüngesi ile geostationary orbit) transfer 5.3 saat alırken, Ay'a transfer yaklaşık 3 gün sürer.
Transfer Yörüngesi Geometrisi
Hohmann'ın Ötesinde
Hohmann transferi, oldukça yörünge değişikliği için optimaldir. Ama çok büyük yörünge değişikliği için: LEO'dan 15 kat daha yüksek bir yörüngeye, bi-elliptic transfer daha az yakıt kullanarak bile daha verimli olabilir, üç yanık kullanır ve çok daha uzun sürer. Geometri, hedef yörüngelik üzerine geçmeyecek şekilde iki transfer elipsi içerir: biri hedef yörüngelikten daha fazla geçer ve diğeri onu geri döner.
Bu, mantıklı olmayan bir şeydir: ihtiyacınız olmayan bir noktaya gitmek, sonra geri gelmek, doğrudan gitmekten daha az yakıt kullanır. Neden, yörünge enerjisi'nin geometrisi içinde derinlemesine: Oberth etkisi, büyük bir kütlenin yakınında (yani düşük hızda) daha az yakıt kullanarak daha verimli yanıklar olduğunu gösterir.
Üçüncü Boyut
Planı Bırakma
Bu noktaya kadar iki boyutlu çalıştık: düz bir plan üzerinde elips şeklinde orbitler. Ama gerçek orbitler üç boyutlu uzayda var ve orbit planının hizalaması büyük ölçüde önemli.
Eğiklik orbital planın ve ekvatorel planın arasındaki açıdır. 0° (ekvatorel orbit, ekvatora paralel) ile 90° (kutupsal orbit, her iki kutuptan geçer) ve 180° (ters yönlü ekvatorel orbit, Dünya'nın dönmeye karşı orbit eder) arasında değişir.
ISS'nin eğikliği 51.6°'dır. Bu, orbit planının ekvatora 51.6°'dan sapmadır. Dünya'nın altında dönerken, ISS, 51.6°N ve 51.6°S arasındaki her noktayı geçer.
Eğikliği değiştirmek çok pahalıdır. Eksen içinde manevralar (ör. Hohmann transferleri) orbitin boyutunu ve şeklini değiştirir. Plan değişikliği, orbiti 3D uzayda döndürür. Eğikliği değiştirmek için gereken hız değişikliği:
ΔV = 2V × sin(Δi/2)
nereyse küçük eğiklik değişikliği için de büyük ΔV gerektirir çünkü tüm hız vektörünü yeniden yönlendirmeniz gerekir, sadece büyüklüğünü artırma veya azaltma.
ISS yörüngede olan bir hızda (7,7 km/s), 1° eğim değişimi yaklaşık olarak 135 m/s ΔV maliyeti gerektirir. 28,5° değişim (Cape Canaveral'in enleminden ekvatora) yaklaşık olarak 3,8 km/s maliyeti gerektirir: neredeyse yörüngeye ilk olarak ulaşmak için gereken ΔV'nin yarısı.
Fırlatma Alan Avantajı
Neden Fırlatma Alanları Nerede?
Doğru doğu yönünde fırlatan bir roket, Dünya'nın dönüşünden ücretsiz bir hız artışı alır. Ekvator üzerinde, Dünya'nın yüzeyi yaklaşık 465 m/s doğu yönünde hareket eder. Cape Canaveral (28,5°N) ise yaklaşık 408 m/s, Baikonur (45,6°N) ise yaklaşık 325 m/s.
Ama bir jeometrik kısıtlama var: Cape Canaveral'dan doğu yönünde fırlatılan bir roket, yörüngesine girişte fırlatma noktasının enlemine eşit bir eğimle girer: 28,5°. Cape Canaveral'dan ekvatora ulaşmak için, 28,5° bir eğim değişimi gereklidir: bu çok pahalı.
Bu, Avrupa Uzay Ajansı'nın Kourou, Fransız Guyanası (5,2°N enlem)dan ve Çin'in Wenchang'da (19,6°N enlem) neden inşa ettiğini açıklar. Fırlatma noktasının her bir derece enlem tasarrufu, yörünge değişikliğinde ödeme yapmak zorunda kalmadan bir derece eğim değişikliği demektir.
Beş Özel Nokta
Gravitasyonel Geometri
Her iki gravitasyonel iki cisim sistemi (gibi Güneş ve Dünya) için, küçük bir nesneyi bu noktalar birine yerleştirin, hem Güneş ve Dünya'nın gravitasyonel çekimi ile dönen merkezkaç kuvveti, bir net sıfır kuvvet oluşturur. Bu noktalar Lagrange noktalarıdır ve 1772'de Joseph-Louis Lagrange tarafından matematiksel olarak keşfedildi.
Beş nokta:
L1: Güneş ve Dünya arasında, Dünya'dan yaklaşık 1,5 milyon km uzaklıkta. Güneş'in gravitasyonel çekimi sizi Güneş'e doğru çekar, Dünya'nın gravitasyonel çekimi sizi Dünya'ya doğru çekar ve dönen merkezkaç kuvveti sizi dışarıya iter. L1'de bu dengelenir. SOHO ve DSCOVR Güneş'i buradan gözlemlemektedir.
L2: Dünya'dan Güneş'e doğru, yaklaşık 1,5 milyon km ötede. Burada Güneş ve Dünya'nın gravitasyonel çekimi (her ikisi de Güneş'e doğru çekar) merkezkaç kuvveti ile dengelenir. JWST bu noktada döner: Güneş, Dünya ve Ay'ı da güneş kalkanı arkasında tutar.
L3: Güneş'in Dünya'dan tam karşı tarafında. Teorik olarak ilginçtir ancak pratik olarak işe yaramaz: iletişim için çok uzaktır ve Güneş tarafından bloke edilir.
L4 ve L5: Güneş, Dünya ve Lagrange noktası tarafından oluşturulan eşkenar üçgenlerin köşeleri. L4 Güneş'in etrafında Dünya'nın 60° önünde, L5 ise 60° arkasındadır. Bu, nesneler yerleştirildiğinde doğal olarak geri dönen tek kararlı Lagrange noktalarıdır.
Stabilite: L1, L2 ve L3 istikrarlıdır: bir top gibi bir tepenin üzerinde dengelenir. Bir küçük itme ve nesne kaybolur. L1 ve L2'deki uzay araçları düzenli olarak istikrarlılık yakıtlı yanmalı motorlar. L4 ve L5 istikrarlıdır: bir top gibi bir kabın içinde. Displaced nesneler noktalar etrafında sallanır. Jupiter'in L4 ve L5 noktaları, milyarlarca yıl boyunca binlerce Trojan asteroidi toplamıştır.
Dengeliğin Geometri
Neden Eşkenar Üçgenler?
L4 ve L5'in eşkenar üçgenin köşeleri üzerinde oturması rastgele değil: bu, gravitasyonel geometrinin derin bir sonucudur. kanıt, daha küçük cismin 60° ötesinde veya gerisinde, gravitasyonel gradyanın Coriolis-kuvveti bir kuyu oluşturduğunu göstermektedir.
Pratik uygulamalar önemli. NASA'nın Lucy görevi, Jüpiter'in Trojans asteroidlerine L4 & L5'te ziyaretlerde bulunuyor. LISA Pathfinder görevi, Güneş-Toprak L1 noktasında gravitasyonel dalgalar algılama teknolojisi test etti. Herschel (2009)以来の主要な宇宙望遠鏡はすべてL2に配置されています。