Ellisse di Trasferimento di Hohmann

Cambio di Orbite Geometricamente

Un veicolo spaziale in un'orbita circolare non può semplicemente puntare verso un'orbita più alta e accendere i suoi motori. La meccanica orbitale non funziona in questo modo. Invece, il veicolo spaziale deve seguire un percorso geometrico specifico: un'orbita di trasferimento che connette le due orbite circolari.

Il trasferimento di Hohmann (proposto da Walter Hohmann nel 1925) è il trasferimento a due bruciatori più efficiente in termini di carburante tra orbite circolari copianulari. La sua geometria è elegante: l'orbita di trasferimento è un ellisse il cui periapside tocca l'orbita interna e il cui apoapside tocca l'orbita esterna.

I due bruciatori:

1. Bruciatore 1 (all'apoapside): Accenda gli motori prograde (avanti) per accelerare dall'orbita circolare interna sull'ellisse di trasferimento. Lo spacecraft segue ora il percorso ellittico verso l'esterno.

2. Bruciatore 2 (al periapside): Quando lo spacecraft raggiunge l'altitudine dell'orbita esterna, accenda gli motori prograde di nuovo per accelerare dall'ellisse di trasferimento sull'orbita circolare esterna.

Perché funziona geometricamente? L'ellisse di trasferimento è tangente a entrambe le orbite circolari: tocca ciascuna di esse in esattamente un punto. Ciò significa che la velocità dello spacecraft al punto del bruciatore è allineata con l'orbita circolare, così tutta la spinta degli motori va a cambiare la velocità (non la direzione). Massima efficienza.

Il costo: Un trasferimento di Hohmann verso un'orbita molto più alta richiede del tempo. Un trasferimento da un'orbita terrestre bassa (LEO) a un'orbita geostazionaria (GEO) richiede circa 5,3 ore. Un trasferimento verso la Luna richiede circa 3 giorni.

Geometria dell'orbita di trasferimento

Oltre Hohmann

Il trasferimento di Hohmann è ottimale per cambiamenti di orbita modesti. Ma per cambiamenti di orbita molto grandi: diciamo, da LEO a un'orbita 15 volte più alta: un trasferimento bi-ellittico può essere effettivamente più efficiente, anche se usa tre bruciatori e richiede molto più tempo. La geometria prevede due ellissi di trasferimento: una che supera l'orbita di destinazione e una che torna giù da essa.

Questo è controintuitivo: andare più lontano di quanto serve, poi tornare indietro, usa meno carburante di andare dritto. La ragione è profondamente legata alla geometria dell'energia orbitale: l'effetto Oberth significa che i bruciatori a alta velocità (vicino a un corpo massivo) sono più efficienti dei bruciatori a bassa velocità (lontano da un corpo massivo).

Terza Dimensione

Uscire dal Piano

Fino ad ora abbiamo lavorato in due dimensioni: orbite come ellissi in un piano piano. Ma le vere orbite esistono nello spazio tridimensionale e l'orientamento del piano orbitale conta enormemente.

L'inclinazione orbitale è l'angolo tra il piano orbitale e il piano equatoriale. Vary dall'0° (orbita equatoriale, nello stesso piano dell'equatore) ai 90° (orbita polare, che passa sopra entrambi i poli) ai 180° (orbita equatoriale retrograda, che orbita nella direzione opposta alla rotazione della Terra).

La stazione spaziale ISS ha un'inclinazione di 51.6°. Questo significa che il piano orbitale è inclinato di 51.6° rispetto all'equatore. Mentre la Terra gira sotto di essa, la ISS passa sopra ogni punto sulla Terra tra i 51.6°N e i 51.6°S.

Modificare l'inclinazione costa enormemente in termini di carburante. Le manovre in piano (come le trasferenze di Hohmann) modificano la grandezza e la forma dell'orbita. Le modifiche di piano ruotano l'intera orbita nello spazio tridimensionale. Il cambiamento di velocità richiesto per una modifica di piano è:

ΔV = 2V × sin(Δi/2)

dove V è la velocità orbitale e Δi è il cambiamento di inclinazione in gradi. Anche un piccolo cambiamento di inclinazione richiede un grande ΔV perché devi dirigere l'intero vettore di velocità orbitale, non solo aumentare o diminuire la sua magnitudo.

All'orbita dell'ISS (7,7 km/s), un cambiamento di inclinazione di 1° costa circa 135 m/s di ΔV. Un cambiamento di 28,5° (dalla latitudine di Cape Canaveral all'equatoriale) costa circa 3,8 km/s: quasi la metà del ΔV necessario per raggiungere l'orbita per la prima volta.

Avvantaggi del sito di lancio

Perché i siti di lancio sono dove sono

Quando un razzo si lancia verso est, riceve un aumento di velocità gratuito dal movimento orbitale della Terra. Sul equatore, la superficie terrestre si muove a circa 465 m/s verso est. A Cape Canaveral (28,5°N), è di circa 408 m/s. A Baikonur (45,6°N), circa 325 m/s.

Ma c'è una restrizione geometrica: un razzo lanciato verso est da Cape Canaveral entra in un'orbita con un'inclinazione uguale alla latitudine del sito di lancio: 28,5°. Per raggiungere un'orbita equatoriale (inclinazione 0°) da Cape Canaveral, devi eseguire un cambiamento di piano di 28,5°: che è estremamente costoso.

Questo spiega perché l'Agenzia Spaziale Europea lancia da Kourou, Guyana francese (latitudine 5,2°N) e perché la Cina ha costruito Wenchang a 19,6°N. Ogni grado di latitudine che risparmi al sito di lancio è un grado di cambiamento di piano che non devi pagare nello spazio.

Cinque Punti Speciali

Geometria Gravitazionale

In qualsiasi sistema gravitazionale a due corpi (come il Sole e la Terra), esistono esattamente cinque punti in cui l'attrazione gravitazionale di entrambi i corpi, combinata con la forza centrifuga dell'orbitazione, crea una forza netta zero. Un piccolo oggetto posto in uno di questi punti può rimanere fermo rispetto a entrambi i corpi. Questi sono i punti di Lagrange, scoperti matematicamente da Joseph-Louis Lagrange nel 1772.

I cinque punti:

L1: Tra il Sole e la Terra, a circa 1,5 milioni di km da Terra. La gravità del Sole ti spinge verso il Sole, la gravità della Terra ti spinge verso la Terra e la forza centrifuga dall'orbitazione ti spinge verso l'esterno. A L1, questi si equilibrano. SOHO e DSCOVR osservano il Sole da qui.

L2: Al di là della Terra dal Sole, a circa 1,5 milioni di km. Qui la gravità combinata del Sole e della Terra (entrambe che spingono verso il Sole) si equilibra con la forza centrifuga. JWST orbita qui: mantiene il Sole, la Terra e la Luna tutti dietro il suo paracalore.

L3: Dall'altra parte del Sole rispetto alla Terra. Teoricamente interessante ma praticamente inutile: troppo lontano per le comunicazioni e bloccato dal Sole.

L4 e L5: Ai vertici di triangoli equilateri formati dal Sole, dalla Terra e dal punto di Lagrange. L4 è 60° davanti alla Terra nel suo orbita, L5 è 60° dietro. Questi sono gli unici punti di Lagrange stabili: gli oggetti posti qui tornano naturalmente quando vengono spostati.

Stabilità: L1, L2 e L3 sono instabili: come bilanciare una palla sulla cima di una collina. Un piccolo spintone e l'oggetto si allontana. I veicoli spaziali a L1 e L2 devono eseguire bruciatori regolari di manutenzione della posizione. L4 e L5 sono stabili: come una palla in un piatto. Gli oggetti spostati oscillano intorno al punto. I punti L4 e L5 di Giove hanno raccolto migliaia di asteroidi Troiani negli ultimi miliardi di anni.

Geometria dell'Equilibrio

Perché Triangoli Equilateri?

Il fatto che L4 e L5 si trovino ai vertici di triangoli equilateri non è casuale: è un risultato profondo della geometria gravitazionale. La dimostrazione prevede la dimostrazione che a 60° avanti o dietro il corpo più piccolo, il gradiente gravitazionale crea un pozzo di forza di Coriolis che cattura gli oggetti.

Le applicazioni pratiche sono significative. La missione di NASA Lucy visita gli asteroidi troiani di Giove a L4 & L5. La missione LISA Pathfinder ha testato la tecnologia per la detezione delle onde gravitazionali al punto di Lagrange Sun-Earth L1. Ogni principale telescopio spaziale dal 2009 ha posto il telescopio a L2.