홀만 전달 타원 궤도

궤도 변경에 대한 기하학

원형 궤도를 따라 떠 있는 우주선은 단순히 더 높은 궤도에 포인팅하고 엔진을 점화할 수 없습니다. 궤도 역학은 그렇게 작동하지 않습니다. 대신 우주선은 두 원형 궤도를 연결하는 특정 기하학적 경로를 따라야 합니다: 전달 궤도입니다.

호만 전달 (1925년에 월터 호만이 제안한)은 서로 평행한 원 궤도 사이의 연료 효율성이 가장 높은 두 번의 점화 전달입니다. 그 기하학은 아름답습니다: 전달 궤도는 내부 궤도에서 근점이 만나는 타원 궤도이며, 외적 궤도에서 근점이 만납니다.

두 번의 점화:

1. 점화 1(근점에서): 내적 궤도에서 가속화하여 전달 타원 궤도에 올라타게 됩니다. 이후에는 타원 궤도의 외적 경로를 따릅니다.

2. 점화 2(원점에서): 우주선이 외적 궤도 고도에 도달하면, 전달 타원 궤도에서 외적 궤도에 가속화하여 올라타게 됩니다.

이 기하학이 왜 작동하는가? 전달 타원 궤도는 서로 평행한 원 궤도와 접촉합니다: 각각 하나의 점에서 만납니다. 이로 인해 우주선이 점화 점에서 가속화할 때 궤도의 방향이 일치하므로, 속도를 변경하는 데만 연료 효율성이 높아집니다.

비용:** 호만 전달을 사용하여 훨씬 높은 궤도로 이동하려면 시간이 걸립니다. 지구 저궤도 궤도(LEO)에서 지상 정지 궤도(GEO)로 이동하려면 약 5.3시간이 걸리고, 달로 이동하려면 약 3일이 걸립니다.

전달 궤도 기하학

호만을 넘어서

호만 전달은 적은 궤도 변경에 최적입니다. 그러나 LEO에서 15배 높은 궤도로 이동하는 경우: 비엘리피틱 전달이 실제로 연료 효율성이 더 높을 수 있으며, 이는 세 번의 점화와 더 긴 시간을 사용합니다. 기하학은 두 개의 전달 타원 궤도를 포함합니다: 하나는 목표 궤도를 넘어가는 것이고, 다른 하나는 그것으로 돌아옵니다.

이것은 직관에 반하는 것입니다: 더 멀리 가서 다시 돌아오면 연료를 덜 사용하는 것이 더 가까이 가서 직접 가는 것보다 연료 효율성이 높습니다. 이는 궤도 에너지의 기하학 깊숙한 곳에 있는 오버트 효과 때문입니다: 무거운 물체 근처의 높은 속도에서 점화는 멀리 떨어진 낮은 속도에서 점화보다 더 효율적입니다.

세 번째 차원

평면을 떠나기

이제까지 두 차원에서 작업했습니다: 평평한 평면에서 궤도가 타원으로 표시되는 것. 그러나 실제 궤도는 세차원 공간에서 존재하고, 궤도 평면의 방향이 무척 중요합니다.

궤도 기울기는 궤도 평면과 적도 평면 사이의 각도입니다. 0°에서 적도 궤도 (적도와 같은 평면)부터 90°에서 극궤도 (둘 다 극을 통과하는 궤도)까지 180°에서 역궤도 적도 궤도 (반영구의 회전 방향으로 궤도)를 거쳐 180°까지 범위가 있습니다.

ISS는 기울기가 51.6°입니다. 즉, 궤도 평면은 적도에서 51.6°로 기울어져 있습니다. 지구가 회전하면서 ISS는 51.6°N 및 51.6°S 사이의 모든 지점을 통과합니다.

기울기를 변경하는 것은 무척 비싼 것입니다. 평면 내 조작(예: 홀만 전달)은 궤도의 크기와 모양을 변경합니다. 평면 변경은 전체 궤도를 세차원 공간에서 회전시킵니다. 기울기 변경을 위한 필요한 속도 변경은:

ΔV = 2V × sin(Δi/2)

V는 궤도 속도이고, Δi는 도 단위의 기울기 변경입니다. 작은 기울기 변경에도 대형 ΔV가 필요합니다. 왜냐하면 전체 궤도 속도 벡터를 재지정해야 하기 때문입니다. 속도 크기만 증가하거나 감소하는 것이 아닙니다.

ISS 궤도 속도(7.7 km/s)에서 1°의 기울기 변경은 약 135 m/s의 ΔV를 들이는데, 케이프 캠벨러의 위도에서 평평한 궤도(0°)로 변경하려면 약 3.8 km/s가 듭니다: 처음으로 궤도로 들어가는 데 필요한 ΔV의 거의 절반입니다.

발사장점수

왜 발사장이 있는 곳인가요

동쪽으로 발사하는 로켓은 지구의 회전으로부터 무료 속도 보정을 얻습니다. 적도에서는 약 465 m/s 동쪽으로 이동하는 지상의 속도가 있습니다. 케이프 캠벨러(28.5°N)에서는 약 408 m/s, 바이코노르(45.6°N)에서는 약 325 m/s입니다.

하지만 기하학적 제약이 있습니다: 케이프 캠벨러에서 동쪽으로 발사한 로켓은 기울기가 발사장의 위도와 동일한 궤도에 들어갑니다: 28.5°. 케이프 캠벨러에서 적도 궤도(기울기 0°)로 도달하려면 28.5°의 평면 변경이 필요합니다: 매우 비싼 것입니다.

이것이 유럽 우주 기관이 쿠루(위도 5.2°N)에서 발사하는 이유와 중국이 19.6°N에서 웬창을 건설한 이유입니다. 발사장 위도에서 한 단계 절약하면 궤도에서 수행할 필요가 없는 기울기 변경을 수행할 수 있습니다.

다섯 가지 특별한 점

중력 기하학

두 개의 중력 체계(태양과 지구)를 포함하는 모든 경우(태양과 지구), 중력의 끌어당김과 궤도에서 회전하는 세타력의 조합으로 net zero 힘을 생성하는 정확히 다섯 개의 점이 있습니다. 이러한 점에 작은 물체를 위치시키면 두 체계에 대해 상대적으로 정적이 됩니다. 이러한 점을 라그랑지 점이라고 합니다. 이 점을 수학적으로 발견한 사람은 1772년에 Joseph-Louis Lagrange입니다.

다섯 개의 점:

L1: 태양과 지구 사이, 지구로부터 약 1.5백만 km 떨어진 곳입니다. 태양의 중력은 당신을 태양쪽으로 끌어당깁니다. 지구의 중력은 당신을 지구쪽으로 끌어당깁니다. 궤도에서 회전하는 세타력은 당신을 외쪽으로 밀어냅니다. L1에서 이러한 것들이 균형을 이룹니다. SOHO와 DSCOVR는 이곳에서 태양을 관찰합니다.

L2: 지구로부터 태양에서 멀리, 약 1.5백만 km 떨어진 곳입니다. 태양과 지구의 중력(태양쪽으로 끌어당김)이 태양과 지구의 세타력을 균형에 이룹니다. JWST는 이곳에서 궤도를 돌고 있습니다: 태양, 지구, 달은 모두 태양판으로부터 멀리 떨어져 있습니다.

L3: 태양에서 지구의 반대쪽에 위치합니다. 이론적으로 흥미롭지만 실제로는 사용할 수 없습니다: 통신을 위해 너무 멀고 태양에 의해 차단됩니다.

L4와 L5: 태양, 지구, 라그랑지 점을 이루는 등각 삼각형의 꼭짓점에 위치합니다. L4는 지구가 궤도에서 60도 앞쪽에 위치하고, L5는 60도 뒤쪽에 위치합니다. 이들은 유일한 안정적인 라그랑지 점입니다: 위치에 놓인 물체가 자연스럽게 돌아옵니다.

안정성: L1, L2, L3은 불안정적입니다: 균형을 유지하는 것 같지만 작은 밀어주기만 하면 물체가 떠나갑니다. L1과 L2에 있는 우주선은 정기적인 정박 Burns를 수행해야 합니다. L4와 L5는 안정적입니다: 볼에 있는 공처럼 물체가 돌아갑니다. 지우란 L4와 L5 점에는 수천 개의 트로이 혜성이 수억 년 동안 수집되어 있습니다.

균형의 기하학

왜 등각 삼각형일까요?

L4와 L5이 등각삼각형의 꼭짓점에 위치한다는 사실은 무작위가 아니다: 이는 중력 기하학의 깊은 결과이다. 증명은 더 작은 천체의 60도 앞이나 뒤에서 중력 기울기가 코리올리스 힘의 웰을 생성하여 물체를 포획하는 것을 보여주는 것이 포함되어 있다.

실용적 응용은 크다. NASA의 루시 계획은 요동자 천체를 방문한다. L4 & L5 위치. LISA 패스파인더 계획은 태양-지구 L1에서 중력파 검출 기술을 시험했다. 헤르셸 이후(2009년) 주요 우주 망원경은 모두 L2에 위치했다.