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太空飞行就是几何学。每个轨道都是一个双锥截面：用平面切割锥体时得到的形状。每个卫星、每个行星、每个彗星的轨迹都是四种曲线之一：圆、椭圆、抛物线或双曲线。哪一种取决于物体的速度。
本课介绍了mission planners使用的几何学，用于设计轨迹、改变轨道、对齐轨道平面以及将空间器材停放在引力平衡点。这些不是近似值或简化值：开普勒定律和牛顿引力提供了确切的几何解，这些解曾引导了历史上每个太空任务。
我们从轨道力学中最重要的形状开始：椭圆。
椭圆轨道的解剖
开普勒第一定律
约翰内斯·开普勒在1609年发现，行星以椭圆的形式绕太阳旋转，太阳位于一个焦点。这是革命性的：几世纪以来，天文学家曾认为轨道是圆形（或圆的组合）。开普勒证明，几何学更简单但不对称。
椭圆的几何学：
- 半大轴（a）： 最长直径的一半。这决定了轨道周期和总能量。
- 半小轴（b）： 最短直径的一半。
- 焦点（F₁，F₂）： 椭圆内的两个特殊点。中央体（地球，太阳）位于一个焦点。另一个焦点是空的。
- 偏心率（e）： 测量椭圆的拉长程度。e = c/a，其中c是从中心到焦点的距离。
- e = 0：完美的圆
- 0 < e < 1：椭圆
- e = 1：抛物线（逃逸轨迹）
- e > 1：双曲线（接近轨迹）
- 近点： 在轨道上离中央体最近的点（对于地球轨道：近地点）
- 远点： 离中央体最远的点（对于地球轨道：高轨道点）
开普勒第二定律 添加了一个关键约束：从中央体到轨道物体的线段在等时间内扫过等面积。这意味着物体在近点最快，在远点最慢。椭圆的几何学在每个点上dictates速度。
偏心率和速度
关联形状与速度
地球轨道上ISS的轨道接近圆形：离心率约为0.0005。哈雷彗星以离心率0.967绕太阳运行：一个极度拉长的椭圆形。哈雷彗星在接近太阳的periastron（离太阳最近）时速度为54.5 km/s。在aphelion（离太阳最远）时，它的速度只有0.9 km/s。相同的轨道，相同的物体，但几何学迫使速度比为60:1。
霍曼转移椭圆
更改轨道几何学
在一个圆形轨道上的空间飞行器无法简单地指向一个更高的轨道并点火。轨道力学并没有这样工作。相反，空间飞行器必须沿着一个特定的几何路径：一个转移轨道：它将两个圆形轨道相连接。
霍曼转移轨道（1925年由沃尔特·霍曼提出）是两个燃料最节省的双次转移轨道，用于同平面圆轨道之间。它的几何优雅：转移轨道是一个椭圆轨道，近点距离接触内轨道，远点距离接触外轨道。
两次火箭加速：
1. 第一次火箭加速（在近点）： 在内圆轨道上向前加速，沿着椭圆轨道向外运动。
2. 第二次火箭加速（在远点）： 当飞船达到外轨道的高度时，再次向前加速，沿着转移椭圆轨道从外圆轨道上升。
几何上为什么这会有效？ 转移椭圆轨道与两个圆轨道接触：它在每个圆轨道上只有一点接触。这意味着飞船在加速点的速度与圆轨道方向一致，所以所有的推进力都用来改变速度（而不是方向）。达到最高效率。
成本： 对于一个到远程轨道的霍曼转移，需要时间。从低地球轨道（LEO）到地球同步轨道（GEO）的转移大约需要5.3小时。到月球的转移大约需要3天。
转移轨道几何
超过霍曼转移
对于较大的轨道变化，例如从LEO到15倍高的轨道，双椭圆转移可能比霍曼转移更节省燃料，尽管它使用了三个火箭加速和更长的时间。几何上涉及两个转移椭圆：一个超过目标轨道，一个回到它。
这听起来很反直觉：比你需要的远远地去，然后回来，使用的燃料比直接去还少。原因深深地埋在轨道能量的几何中：奥伯特效应意味着在接近大质量物体的地方进行加速比在远离大质量物体的地方更有效。
第三维度
离开平面
我们到目前为止都在两维空间中工作：轨道作为平面内的椭圆。然而，实际轨道存在于三维空间中，轨道面 的定向至关重要。
倾角 是轨道面与赤道面之间的角度，范围从0° (赤道轨道，与赤道相同平面) 到90° (极轨道，通过两极) 到180° (逆向赤道轨道， 与地球自转方向相反)。
ISS 的倾角为51.6°，这意味着它的轨道面与赤道的夹角为51.6°。当地球自转时，ISS 将覆盖地球的每个点，位于纬度51.6°N和51.6°S之间。
改变倾角非常昂贵。在轨道面内的操作（如霍曼转移）会改变轨道的大小和形状。改变轨道面会在三维空间中旋转整个轨道。改变轨道面需要的速度变化为：
ΔV = 2V × sin(Δi/2)
其中 V 是轨道速度，Δi 是倾角变化的角度。即使倾角变化很小，也需要很大的ΔV，因为你必须重新定向整个轨道速度向量，而不是仅仅增加或减少其长度。
在ISS轨道速度（7.7 km/s）下，1°的倾角变化需要消耗大约135 m/s的ΔV。从卡纳韦拉尔角（地理纬度）到赤道（0°倾角）需要的变化需要消耗大约3.8 km/s：几乎是达到轨道的初次ΔV所需的1/2。
发射基地优势
为什么发射基地位于那里
当火箭沿东方发射时，它会从地球自转获得一个免费的速度提升。赤道上，地球表面以约465 m/s向东移动。在卡纳韦拉尔角（28.5°N），约408 m/s。在巴伊科努尔（45.6°N），约325 m/s。
但有一个几何约束：从卡纳韦拉尔角发射的火箭进入的轨道倾角等于发射基地的纬度：28.5°。要从卡纳韦拉尔角达到赤道轨道（倾角0°），你必须执行28.5°的平面更改：这非常昂贵。
这解释了为什么欧洲空间局从库鲁（地理纬度5.2°N）发射，以及为什么中国在19.6°N建立了文昌。您节省的每个纬度都意味着在轨道上不需要为倾角变化付费。
五个特殊点
引力几何
在任何两个体引力系统（如太阳和地球）中，存在五个点，引力和轨道上的离心力相结合，产生净零力。将小物体放在这些点上，它将相对于两个体保持静止。这些是拉格朗日点，1772年由约瑟夫-路易·拉格朗日数学上发现。
这五个点:
L1: 在太阳和地球之间，距地球约150万公里。太阳的引力向太阳方向拉，地球的引力向地球方向拉，而轨道上的离心力则向外推。 在L1点，这些力相平衡。 SOHO和DSCOVR从这里观察太阳。
L2: 在地球从太阳处的方向，距地球约150万公里。这里太阳和地球的共同引力（都向太阳方向拉）与离心力相平衡。 JWST从这里运行：它将太阳、地球和月球都放在后面。
L3: 在太阳与地球相反的方向。理论上有趣但实际上无用：通信太远，太阳阻挡了。
L4和L5: 太阳、地球和拉格朗日点构成等边三角形的顶点。L4在地球轨道前进60°，L5在后退60°。这是唯一稳定的拉格朗日点：放置在这里的物体自然返回。
稳定性: L1、L2和L3是不稳定的：就像在山顶上平衡一个球。稍微推动一下，物体就会漂移开。L1和L2上的空间飞船需要定期进行保留燃烧。L4和L5是稳定的：就像一个球在碗里。被移开的物体在点附近振荡。经过数十亿年，木星的L4和L5点收集了数千个特洛伊小行星。
平衡几何
为什么是等边三角形？
事实上，L4和L5位于等边三角形顶点并非偶然，这是引力几何的一个深刻结果。证明过程包括在较小物体的60°前或后，引力梯度产生的科里奥利力井捕获物体。
实际应用非常重要。NASA的露西任务正在访问木星的托罗亚小天体，位于L4和L5。LISA先锋任务在太阳-地球L1点测试了引力波检测技术。自赫尔恆星（2009年）以来，所有主要的空间望远镜都被放在了L2点。