Добро пожаловать
Космолет - это геометрия. Каждая орбита - это коническая сечения: форма, которую вы получаете, разрезая конус с помощью плоскости. Траектория каждого спутника, каждого планеты, каждого кометы - это одна из четырех кривых: круг, эллипс, парабола или гипербола. Которая зависит от того, насколько быстро объект движется.
Эта лекция охватывает геометрию, которую планировщи миссий используют для проектирования траекторий, изменения орбит, выравнивания орбитальных плоскостей и парковки космических аппаратов в точках гравитационного равновесия. Это не приближения или упрощения: законы Кеплера и ньютоновская гравитация дают точную геометрическую решение, которая руководила каждой космической миссией в истории.
Мы начинаем с самой важной формы в орбитальной механике: эллипсом.
Анатомия эллиптической орбиты
Первый закон Кеплера
Йоганн Кеплер обнаружил в 1609 году, что планеты обращаются вокруг Солнца в эллипсах, с Солнцем в одной из фокусов. Это было революционно: на протяжении веков астрономы предполагали, что орбиты являются кругами (или комбинациями кругов). Кеплер показал, что геометрия была проще, но менее симметричной.
Геометрия эллипса:
- Полуоси большой (a): Полудлина самой длинной диагонали. Это определяет период орбиты и общую энергию.
- Полуоси малой (b): Полудлина самой короткой диагонали.
- Фокусы (F₁, F₂): Две особые точки внутри эллипса. Центральное тело (Земля, Солнце) находится в одном фокусе. В другом фокусе пусто.
- Эксцентриситет (e): Измеряет, насколько вытянут эллипс. e = c/a, где c - расстояние от центра до фокуса.
- e = 0: идеальный круг
- 0 < e < 1: эллипс
- e = 1: парабола (траектория сброса)
- e > 1: гипербола (траектория пролета)
- Перигей: Самый близкий к центральному телу (для земных орбит: перигей)
- Апогей: Самый далекий от центрального тела (для земных орбит: апогей)
Второй закон Кеплера добавляет ключевое ограничение: линия от центрального тела к орбитальному объекту охватывает равные площади в равные промежутки времени. Это означает, что объект движется быстрее в перигее и медленнее в апогее. Геометрия эллипса определяет скорость на каждой точке.
Эксцентриситет и скорость
Связывание формы со скоростью
ISS обращается вокруг Земли в почти круговой орбите: эксцентриситет около 0,0005. Комета Галлея обращается вокруг Солнца с эксцентриситетом 0,967: чрезвычайно вытянутый эллипс. На перигелии (наименьшее расстояние от Солнца) Комета Галлея движется со скоростью 54,5 км/с. На афелии (наибольшее расстояние) она движется со скоростью 0,9 км/с. Та же орбита, тот же объект, но геометрия заставляет создать скоростной коэффициент 60:1.
Эллиптическая трансферная траектория
Изменение орбит геометрически
Спутник в круговой орбите не может просто направиться к более высокой орбите и зажечь свои двигатели. Орбитальные механики не работают таким образом. Вместо этого спутник должен следовать определенной геометрической траектории: переходной орбите, которая соединяет две круговые орбиты.
Трансфер Хохманна (предложенный Вальтером Хохманном в 1925 году) - наиболее экономичный двухсекционный переход между сопланарными круговыми орбитами. Его геометрия элегантна: траектория перехода - эллипс, апоапсид которого соприкасает внешнюю орбиту, а периапсис - внутреннюю.
Два сгорания:
1. Сгорание 1 (на перигее): Зажигают двигатели в пролете вперед, чтобы ускорить космический аппарат из внутреннего кругового орбита на переходный эллипс. Теперь аппарат следует по эллиптической траектории в направлении внешности.
2. Сгорание 2 (на апогее): Когда аппарат достигает высоты внешней орбиты, зажигают двигатели в пролете вперед еще раз, чтобы ускорить космический аппарат из переходного эллипса на внешний круговой орбит.
Почему это работает геометрически? Переходный эллипс соприкасает оба круговых орбита: он касается каждого из них в одном точке. Это означает, что скорость космического аппарата в точках сгорания совпадает с направлением круговой орбиты, поэтому весь импульс двигателей идет на изменение скорости (а не направления). Максимальная эффективность.
Цена: Трансфер Хохманна в гораздо более высокий орбит занимает время. Трансфер из низкой земной орбиты (LEO) в геостационарную орбиту (GEO) занимает примерно 5,3 часа. Трансфер на Луну занимает примерно 3 дня.
Геометрия переходной орбиты
Восходящий Хохманна
Трансфер Хохманна оптимальна для относительно небольших изменений орбиты. Но для очень больших изменений орбиты: например, от LEO до орбиты в 15 раз выше, биэллиптический переход может быть даже более экономичным, хотя он использует три сгорания и занимает гораздо больше времени. Геометрия включает в себя две переходные эллипсы: одну, которая превышает целевую орбиту, и одну, которая возвращается к ней.
Это противоречит интуиции: двигаясь дальше, чем нужно, а затем возвращаясь, тратится меньше топлива, чем двигаясь напрямую. Причина кроется в глубинах геометрии орбитальной энергии: эффект Оберта означает, что сгорания на высокой скорости (близко к массивному телу) более эффективны, чем сгорания на низкой скорости (далеко от массивного тела).
Третья измерение
Выход из плоскости
Пока мы работали в двух измерениях: орбиты как эллипсы в плоской плоскости. Но реальные орбиты существуют в трехмерном пространстве, и ориентация орбитальной плоскости имеет огромное значение.
Наклонение орбиты - это угол между орбитальной плоскостью и экваториальной плоскостью. Он варьируется от 0° (экваториальная орбита, находящаяся в той же плоскости, что и экватор) до 90° (полярная орбита, проходящая через оба полюса) до 180° (обратный экваториальный орбит, обращающийся против часовой стрелки относительно вращения Земли).
ISS имеет наклонение 51,6°. Это означает, что его орбитальная плоскость наклонена на 51,6° относительно экватора. Путешествуя по вращающейся Земле, ISS проходит над каждым пунктом на Земле между широтами 51,6°N и 51,6°S.
Изменение наклона очень дорогое удовольствие. Маневры в одной плоскости (например, Хохманновы переходы) изменяют размер и форму орбиты. Маневры в плоскости меняют всю орбиту в трехмерном пространстве. Необходимый для изменения наклона импульс:
ΔV = 2V × sin(Δi/2)
где V - скорость орбиты, Δi - изменение наклона в градусах. Даже небольшое изменение наклона требует больших ΔV, потому что необходимо переориентировать весь вектор скорости, а не только увеличить или уменьшить его модуль.
На орбитальной скорости ISS (7,7 км/с), изменение наклона на 1° обходится примерно в 135 м/с ΔV. Изменение на 28,5° (с Cape Canaveral до экваториальной) обходится примерно в 3,8 км/с: почти половина ΔV, необходимная для достижения орбиты в первый раз.
Преимущества стартовой площадки
Почему стартовые площадки находятся там, где они находятся
Когда ракета запускается точно на восток, она получает бесплатный импульс от вращения Земли. На экваторе поверхность Земли движется со скоростью около 465 м/с на восток. На Cape Canaveral (28,5° с.ш.) - около 408 м/с. На Байконуре (45,6° с.ш.) - около 325 м/с.
Но есть геометрическое ограничение: ракета, запущенная точно на восток с Cape Canaveral, входит в орбиту с наклоном, равным широте места запуска: 28,5°. Чтобы достичь экваториальной орбиты (наклон 0°) с Cape Canaveral, необходимо выполнить изменение плоскости на 28,5°: что очень дорого.
Это объясняет, почему Европейское космическое агентство запускает ракеты с Куру, Французская Гвиана (широты 5,2° с.ш.) и почему Китай построил Вenchang на 19,6° с.ш. Каждый градус широты, который вы экономите на месте запуска, - это градус изменения наклона, который вы не должны платить в орбите.
Пять особенных точек
Гравитационная геометрия
Во всяком двойном гравитационном системе (например, Солнце и Земля) есть ровно пять точек, где гравитационное притяжение обоих тел, сочетаясь с центробежной силой орбитирования, создает нулевую общую силу. Малое тело, размещенное в одной из этих точек, может оставаться неподвижным относительно обоих тел. Эти точки называются Лагранжевыми точками и были обнаружены математически Жозефом-Луи Лагранжем в 1772 году.
Пять точек:
L1: Между Солнцем и Землей, на расстоянии около 1,5 миллиона километров от Земли. Гравитация Солнца тянет вас к Солнцу, гравитация Земли тянет вас к Земле, а центробежная сила от орбитирования толкает вас в стороны. В точке L1 эти силы компенсируют друг друга. SOHO и DSCOVR наблюдают за Солнцем с этой точки.
L2: За Землей от Солнца, на расстоянии около 1,5 миллиона километров. Здесь совмещенное гравитационное притяжение Солнца и Земли (оба тянущиеся к Солнцу) компенсирует центробежную силу. JWST орбитировает здесь: оно всегда держит Солнце, Землю и Луну за своей солнечной защитой.
L3: На противоположной стороне Солнца от Земли. Теоретически интересно, но практически бесполезно: слишком далеко для коммуникаций и заблокировано Солнцем.
L4 и L5: На вершинах равносторонних треугольников, образованных Солнцем, Землей и Лагранжевой точкой. L4 находится на 60 градусов впереди Земли в ее орбите, L5 - на 60 градусов позади. Это единственные устойчивые Лагранжевые точки: объекты, размещенные здесь, естественным образом возвращаются при перемещении.
Устойчивость: L1, L2 и L3 являются неустойчивыми: подобны балансированию шара на вершине холма. Малое толчение, и объект уходит в сторону. Космические аппараты на L1 и L2 должны выполнять регулярные маневры поддержания позиции. L4 и L5 являются устойчивыми: подобны шару в бочке. Отклоненные объекты колеблются вокруг точки. Лагранжевые точки J4 и J5 Юпитера собрали тысячи астероидов-троянцев за миллиарды лет.
Геометрия равновесия
Почему равносторонние треугольники?
Факт, что L4 и L5 располагаются в вершинах равносторонних треугольников, не является случайным: это глубокий результат геометрии гравитации. Доказательство заключается в том, что в 60 градусов впереди или позади меньшего тела гравитационный градиент создает кориолисовский потенциал, который захватывает объекты.
Практические применения значимы. Миссия NASA "Луци" посещает троянские астероиды Юпитера, расположенные в L4 и L5. Миссия LISA Pathfinder тестировала технологии обнаружения гравитационных волн в точке L1 между Солнцем и Землей. Все основные космические телескопы с Herschel (2009) г. были размещены в L2.