Ласка
Косміальний політ - це геометрія. Кожна орбіта - це конічна секція: форма, яку ви отримаєте, розрізавши конус плоским. Траєкторія кожного супутника, кожної планети, кожного комети - це одна з чотирьох кривих: коло, еліпс, парабола або гіпербола. Яка з них залежить від швидкості об'єкта.
Ця лекція охоплює геометрію, якою користуються планувальники місій для проектування траєкторій, зміну орбіт, вирівнювання орбітальних площин та паркування космічних апаратів у гравітаційних рівновагових точках. Це не приблизно або упрощено: закони Кеплера та ньютонівська гравітація надають точну геометричну відповідь, яка керувала кожною космічною місією в історії.
Ми починаємо з найважливішої форми в орбітальній механіці: еліпсом.
Анатомія еліптичної орбіти
Перший закон Кеплера
Йоганнес Кеплер відкрив у 1609 році, що планети обертаються навколо Сонця в еліпсах, з одним Сонцем у фокусі. Це було революційним: протягом століть астрономи вважали, що орбіти є колами (або комбінаціями колів). Кеплер показав, що геометрія була простішою, але менш симетричною.
Геометрія еліпса:
- Напіввелика оса (a): Половина найдовшої діагоналі. Це визначає період орбіти та загальну енергію.
- Напівосердя (b): Половина найкоротшої діагоналі.
- Фокуси (F₁, F₂): Дві особливі точки всередині еліпса. Центральна тіл (Земля, Сонце) знаходиться в одному фокусі. Інший фокус порожній.
- Ексцентриситет (e): Оцінює, наскільки витягнутим є еліпс. e = c/a, де c - відстань від центру до фокуса.
- e = 0: ідеальне коло
- 0 < e < 1: еліпс
- e = 1: парабола (випускна траєкторія)
- e > 1: гіпербола (перехідна траєкторія)
- Перигей: Найближча точка на орбіті до центральної тіл (для земних орбіт: перигеї)
- Апогей: Найвіддаленіша точка від центральної тіл (для земних орбіт: апогей)
Другий закон Кеплера додає важливий обмеження: пряма, що йде від центральної тіл до обертального об'єкта, охоплює однакові площі в однакових часах. Це означає, що об'єкт рухається найшвидше при перигеї та найповільніше при апогеї. Геометрія еліпса визначає швидкість на кожному точці.
Ексцентриситет та швидкість
Зв'язування форми з швидкістю
Космічний корабель ISS обертається навколо Землі в майже круговій орбіті: ексцентриситет становить приблизно 0,0005. Комета Галлея обертається навколо Сонця з ексцентриситетом 0,967: надзвичайно витягнутим еліпсом. На перигелії (найближче до Сонця) Комета Галлея рухається зі швидкістю 54,5 км/с. На афелії (найдалі), вона ковзає зі швидкістю 0,9 км/с. Тоді ж орбіта, той самий об'єкт, але геометрія змушує створити швидкісний співвідношення 60:1.
Еліпс перетворення Хольманна
Зміна орбіт геометрично
Космічний корабель в круговій орбіті не може просто вказати на вищу орбіту та запалити свої двигуни. Орбітальна механіка не працює так. Натомість, космічний корабель повинен дотримуватися конкретної геометричної траси: передачі орбіти, яка з'єднує дві кругові орбіти.
Трансфер Хоммана (представлений Вальтером Хомманом у 1925 році) є найефективнішим з погляду палива двобортовим переходом між орбітами, що лежать у одному і тому ж площинному плані. Її геометрія є елегантною: трансферна орбіта є еліпсою, перигей якої торкається внутрішньої орбіти, а аперигей – зовнішньої орбіти.
Два згоряння:
1. Згоряння 1 (на перигейі): Запалайте двигун в напрямку вперед (прогрес) для прискорення з внутрішньої кругової орбіти на трансферну еліпс. Корабель-носій тепер слідує еліптичному шляху вглиб.
2. Згоряння 2 (на аперигейі): Коли корабель-носій досягає висоти зовнішньої орбіти, запалайте двигун в напрямку вперед знову для прискорення з трансферної еліпси на зовнішню кругову орбіту.
Чи працює це геометрично? Трансферна еліпса дотична до обох кругових орбіт: вона торкається кожної з них у одному точині. Це означає, що швидкість корабля-носія на точках згоряння є в напрямі кругової орбіти, тому весь імпульс двигуна йде на збільшення швидкості (а не напрямку). Максимальна ефективність.
Ціна: Трансфер Хоммана до більш височенної орбіти займає час. Трансфер з низької земної орбіти (LEO) до геостаціонарної орбіти (GEO) займає приблизно 5,3 годин. Трансфер до Місяця займає приблизно 3 дні.
Геометрія Трансферної Орбіти
Поза Хомманном
Трансфер Хоммана є оптимальним для невеликих змін орбіти. Але для дуже значних змін орбіти: скажімо, з LEO у орбіту 15 разів вище: бі-еліптичний трансфер може бути навіть більш ефективним у відношенні палива, хоча він використовує три згоряння та займає набагато більше часу. Геометрія включає в себе дві трансферні еліпси: одну, яка перевищує мету, та одну, яка повертається до неї.
Це є протистоять інтуїції: йдучи далі, ніж потрібно, а потім повертаючись, витрачається менше палива, ніж прямування. Причина лежить у глибинах геометрії орбітальної енергії: ефект Оберта означає, що згоряння на високій швидкості (близько масивної тіні) є більш ефективними, ніж згоряння на низькій швидкості (далеко від масивної тіні).
Третій вимір
Вихід з Плана
Дотепер ми працювали в двох вимірах: орбіти як еліпси в пласкій площині. Але справжні орбіти існують у трьохмерному просторі, та орієнтація орбітального плану має величезне значення.
Кут наближення орбіти є кутом між орбітальним планом та екваторіальним планом. Він коливається від 0° (екваторіальна орбіти, в тому ж плані, як екватор) до 90° (полярна орбіти, що проходить через обидва полюси) до 180° (протилежний екваторіальний орбіти, що обертається в протилежному напрямку від обертання Землі).
ISS має кут наближення 51,6°. Це означає, що його орбітальний план зхилено під кутом 51,6° до екватора. Під час обертання Землі під ним ISS проходить над кожною точкою на Землі між широтами 51,6°П та 51,6°С.
Зміна кута наближення є надзвичайно дорогою. Маневри в площині (наприклад, Хохманні передачі) змінюють розмір та форму орбіти. Зміна плану повертає всю орбіту у тривимірному просторі. Потрібна швидкість зміни:
ΔV = 2V × sin(Δi/2)
де V є швидкістю орбіти, а Δi є зміною кута наближення в градусах. Даже невелика зміна кута наближення потребує велику ΔV тому, що потрібно переорієнтувати весь вектор швидкості орбіти, а не лише збільшити або зменшити його магнітуду.
На орбітальній швидкості ISS (7,7 км/с), зміна кута нахилу на 1° коштує приблизно 135 м/с ΔV. Зміна на 28,5° (з широти мису Канаверал до екваторіальної) коштує приблизно 3,8 км/с: майже половина ΔV, необхідного для досягнення орбіти за першочергової.
Певність стартового майданчика
Чому стартові майданчики знаходяться там, де знаходяться
Коли ракета запускається на схід, вона отримує безплатний імпульс від швидкості Землі. На екваторі поверхня Землі рухається зі швидкістю приблизно 465 м/с на схід. На мисі Канаверал (28,5° північної широти) це становить приблизно 408 м/с. На Байконур (45,6° північної широти) - приблизно 325 м/с.
Ale є геометрична обмеження: ракета, запущена на схід з мису Канаверал, вступає в орбіту з нахилом, рівним широті майданчика старту: 28,5°. Для досягнення екваторіальної орбіти (нахил 0°) з мису Канаверал потрібно виконати 28,5° зміни площин: що є дуже дорогим.
Це пояснює, чому Європейське космічне агентство запускає з Куру, Французька Гвіана (широта 5,2° північної широти) та чому Китай побудував Вenchang на 19,6° північної широти. Кожен градус широти, який ви економите на майданчику старту, це градус нахилу, який ви не маєте сплачувати в орбіті.
П'ять спеціальних точок
Гравітаційна геометрія
У будь-якій двочастинній гравітаційній системі (наприклад, Сонце та Земля) є точно п'ять точок, де гравітаційна тяга обох тіл, поєднана з центрофорсою орбітального руху, створює нульову загальну силу. Малий об'єкт, розміщений в одній з цих точок, може залишатися станційним щодо обох тіл. Це точки Лагранжа, які математично відкрив Жозеф-Луї Лагранж у 1772 році.
П'ять точок:
L1: Між Сонцем та Землею, на відстані приблизно 1,5 млн км від Землі. Гравітація Сонця тягне вас до Сонця, гравітація Землі тягне вас до Землі, а центрофорса від орбітального руху відштовхує вас назовні. На L1 ці сили компенсують одна одну. SOHO та DSCOVR спостерігають за Сонцем з цієї точки.
L2: Поза Землею від Сонця, на відстані приблизно 1,5 млн км. Тут поєднана гравітація Сонця та Землі (обидва тягнуть вас до Сонця) балансує з центрофорсою. JWST обертається навколо цієї точки: воно тримає Сонце, Землю та Місяць за своєю сонячною екранною системою.
L3: На протилежному боці Сонця від Землі. Теоретично цікаве, але практично невигідно: занадто далеко для зв'язку та заблоковано Сонцем.
L4 та L5: На вершинах рівносторонніх трикутників, утворених Сонцем, Землею та точкою Лагранжа. L4 знаходиться 60° попереду Землі в її орбіті, а L5 - 60° позаду. Це єдині стабільні точки Лагранжа: об'єкти, розміщені тут, природним чином повертаються після відхилення.
Стабільність: L1, L2 та L3 є непостійними: як балансування м'ясника. Небольше зсув та об'єкт віддаляється. Космічні апарати на L1 та L2 повинні виконувати регулярні згортання для утримання станції. L4 та L5 є стабільними: як м'ясо в мисці. Відхилені об'єкти коливаються навколо точки. Лагранжеві точки Jупітера збирали тисячі астероїдів Trojans протягом мільярдів років.
Геометрія рівноваги
Чому рівносторонні трикутники?
Факт, що L4 і L5 знаходяться в вершинах рівносторонніх трикутників, не є випадковим: це глибокий результат геометрії гравітації. Доведення полягає в тому, що на 60° вперед або назад від меншого тіла гравітаційна градієнт створює коріолісову силу, яка захоплює об'єкти.
Практичні застосування значні. Місія NASA «Lucy» відвідає Юпітерові троянські астероїди на L4 та L5. Місія «LISA Pathfinder» тестувала технології детекції гравітаційних хвиль на точці L1 Сонця-Землі. З початку 2009 року всі основні космічні телескопи були розміщені на L2.