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宇宙飛行は幾何学です。すべての軌道は、コンーの断面で切った平面によって得られる形状です。衛星の軌道、惑星の軌道、彗星の軌道はすべての四つの曲線です：円、楕円、抛物、双曲線です。これらは、どれがどのようになるかは、オブジェクトがどれくらい速く動いているかによって決まります。
このレッスンでは、ミッションプランナーのために設計された軌道を設計する、軌道を変更する、軌道平面を整列させる、および重力の均衡点に宇宙船を駐車する幾何学をカバーしています。これらは、ニュートンの重力とケプラーの法則が提供する正確な幾何学解決策ではなく、近似値や単純化ではありません。歴史上のすべての宇宙ミッションが導き出されています。
楕円軌道の最も重要な形状から始めます。
楕円軌道の解剖学
ケプラーの第一法則
ヨハネス・ケプラーは1609年に、惑星が太陽の周りで楕円を回転していることを発見しました。太陽は1つの焦点に位置し、その中心に位置します。この発見は、数世紀にわたって天文学者は軌道が円形であると仮定していました（または円の組み合わせ）。ケプラーは、幾何学がよりシンプルであることを示し、より非対称であると示しました。
楕円の幾何学:
- 半長軸（a）： 最長径の半分。この軌道の軌道周期と総エネルギーを決定します。
- 半短軸（b）： 最短径の半分。
- 焦点（F₁、F₂）： 楕円内にある2つの特別な点。中央体（地球、太陽）は1つの焦点に位置します。もう一つの焦点は空です。
- 偏心率（e）： 楕円がどれくらい長く伸びているかを測定します。e = c/a、ここでcは中心から焦点までの距離です。
- e = 0: 完璧な円
- 0 < e < 1: 楕円
- e = 1: 抛物線（脱出軌道）
- e > 1: 双曲線（接近軌道）
- cận点： 軌道の最も中央体から離れた点（地球軌道の場合：降下点）
- 遠点： 中央体から最も遠い点（地球軌道の場合：高々点）
ケプラーの第二法則には、中央体からオブジェクトまでの線が等面積を等速にスイープする重要な制約があります。このことは、オブジェクトが cận点で最も速く、遠点で最も遅く移動することを意味します。楕円の幾何学は、すべての点での速度を決定します。
偏心率と速度
Connecting Shape to Speed
The ISS orbits Earth in a nearly circular orbit: eccentricity about 0.0005. Halley's Comet orbits the Sun with eccentricity 0.967: an extremely elongated ellipse. At perihelion (closest to the Sun), Halley's Comet moves at 54.5 km/s. At aphelion (farthest), it crawls at 0.9 km/s. Same orbit, same object, but the geometry forces a 60:1 speed ratio.
Hohmann Transfer Ellipse
Changing Orbits Geometrically
宇宙船が円形軌道にいる場合、それがより高い軌道に向かってエンジンを点検することはできません。軌道力学はそのように機能しません。代わりに、宇宙船は特定の幾何学的パスをフォローする必要があります：転送軌道：二つの円形軌道を接続します。
ホーマン転移 (1925年にウォルター・ホーマンが提案) は、共面の円軌道間で最も燃料効率の良い二段階の転移です。その幾何学は優雅です。転移軌道は、内軌道の近点で内軌道に触れ、外軌道の遠点で外軌道に触れる楕円軌道です。
二つの燃焼:
1. 燃焼1 (近点で): 内側の円軌道から転移楕円軌道に加速するために、前方にプロジールエンジンを点火します。宇宙船はその後、楕円的パスを外向きに従って進みます。
2. 燃焼2 (遠点で): 宇宙船が外軌道の高さに達すると、転移楕円軌道から外側の円軌道に加速するために、再び前方にプロジールエンジンを点火します。
なぜこれが幾何学的に効果的か? 転移楕円軌道は、両方の円軌道に接するため、どの軌道も1つの点で触れます。このため、燃焼ポイントで宇宙船の速度が円軌道に沿った方向に整列しているため、エンジン全体の推力が速度（方向ではない）を変えるために使用されます。最高の効率です。
コスト: 高い軌道へのホーマン転移は時間がかかります。地球低軌道 (LEO) から地球同期軌道 (GEO) への転移は約5.3時間、月への転移は約3日かかります。
転移軌道の幾何学
ホーマンを超えて
ホーマン転移は、比較的小さな軌道変更の場合に最適です。しかし、大きな軌道変更の場合：例えば、LEO から 15 倍の高さへの転移の場合：バイエリプティック転移は、3つの燃焼を使用するにもかかわらず、より燃料効率が高く、遅くなることがあります。幾何学的には、2つの転移楕円軌道が含まれます：1つは標的軌道を超過し、1つはそれに戻ってきます。
これは直感に反します：必要以上に遠くへ行き、戻ってきて、より少ない燃料で行くことができます。原因は深く、軌道のエネルギーの幾何学にあります。オーベルト効果は、重力の影響を受ける高速度での燃焼が、遠くから離れた低速度での燃焼よりも効率的であることを示しています。
第三次元
平面を離れる
これまでに2次元でのみ取り組んでいました：平らな平面上の軌道として楕円を考えました。しかし、実際の軌道は3次元の空間で存在し、軌道平面の向きが非常に重要です。
軌道傾斜角は、軌道平面と赤道平面との間の角度です。赤道平面と同じ平面の軌道（0°）から、極軌道（90°、地球の両極を通過）まで、180°（逆行赤道軌道、地球の回転方向とは逆に軌道を回る）まで変化します。
ISSの傾斜角は51.6°です。これは、軌道平面が赤道から51.6°離れています。地球が回転し、ISSが51.6°Nおよび51.6°Sの間のすべての地点を通過する場合です。
傾斜角を変更することは非常に高価です。 平行な操縦（ホーマン転移）は、軌道の大きさと形状を変更します。平面変更は、3D空間で軌道を回転させます。平面変更のための速度変更の必要量は、
ΔV = 2V × sin(Δi/2)
ここでVは軌道速度であり、Δiは度数法で表した傾斜角の変化です。わずかな傾斜角の変化でも、大きなΔVが必要です。これは、軌道速度ベクトルのすべてを再定向する必要があるためです、ではなく、その大きさを増加または減少するだけです。
ISS軌道速度（7.7 km/s）では、1°の傾斜変更が約135 m/sのΔVを必要とします。カペ・カナベラルの緯度から赤道への28.5°の変更は、約3.8 km/sを必要とし、初めて軌道に達するために必要なΔVの半分を消費します。
打ち上げサイトの利点
なぜ打ち上げサイトがどこにあるか
ロケットが東に向かって打ち上げると、地球の回転による無料の速度ボーストが得られます。赤道上では、地球の表面は約465 m/s東方向に移動します。カペ・カナベラルの場合（28.5°N）、約408 m/s。バイコヌールの場合（45.6°N）、約325 m/s。
しかし、幾何学的な制約があります：カペ・カナベラルの東に向かって打ち上げられたロケットは、打ち上げサイトの緯度に等しい傾斜に入ります：28.5°。カペ・カナベラから赤道軌道（傾斜0°）に達するためには、28.5°の平面変更が非常に高額です。
これが、ヨーロッパ宇宙庁がクールー、フランスギアナ（緯度5.2°N）から打ち上げる理由であるだけでなく、中国が19.6°Nでウェンチャンを建設した理由でもあります。打ち上げサイトの緯度で節約する度数は、軌道上で変更しなくて済む傾斜変更の度数です。
五つの特別な点
重力幾何学
二つの重力的なシステム（太陽と地球）において、どの位置にも小さい物体を置くと、両方の体の重力と軌道を回っている中力の力が零になる点が5つ存在します。これらはラグランジュ点で、1772年に数学者Joseph-Louis Lagrangeによって数学的に発見されました。
五つの点:
L1: 太陽と地球の間、地球から約1.5百万kmの位置にあります。太陽の重力はあなたを太陽方向に引く一方、地球の重力はあなたを地球方向に引く一方、軌道を回っている中力はあなたを外部に押します。L1では、これらがバランスします。SOHOとDSCOVRはここから太陽を観察しています。
L2: 地球から太陽の向こう側にあり、約1.5百万kmの位置にあります。ここでは、太陽と地球の重力（どちらも太陽方向に引く）が、軌道を回っている中力とバランスします。JWSTはここを周回し、太陽、地球、および月はすべて太陽板の後ろに位置しています。
L3: 太陽から地球の向こう側に位置します。理論的に興味深いですが、実用性はありません：通信のために遠すぎ、太陽によってブロックされます。
L4とL5: 太陽、地球、およびラグランジュ点を結ぶ等辺三角形の頂点に位置します。L4は地球の軌道の前方60°に位置し、L5は後方60°に位置します。これらは、物体が配置された場合、自然に戻る唯一の安定したラグランジュ点です。
安定性: L1、L2、およびL3は不安定です：球を丘の頂上に乗せた状態と同じです。小さな押し付けると、物体が離れて行きます。L1とL2に位置する宇宙船は、定期的なステーションキープングBurnが必要です。L4とL5は安定しています：球がボウルに入っている状態と同じです。移動物体はポイント周囲に振動します。JupiterのL4とL5ポイントには、数千のトロヤン小惑星が数億年間で集まりました。
平衡の幾何学
なぜ等辺三角形？
L4 および L5 が等辺三角形の頂点に位置することは偶然ではなく、重力幾何学の深い結果です。証明は、より小さな天体の60°前後に位置するとき、重力勾配がコリオリ力のウェルを作り、物体を捕らえることを示すものです。
実用的な応用は大きいです。NASAのルーシー・ミッションは、木星のトロヤ小惑星をL4 & L5に訪問します。LISAパスファインダー・ミッションは、太陽-地球 L1で重力波検出技術をテストしました。ヘルシェル（2009年）以来、すべての主要な宇宙望遠鏡はL2に設置されています。