每棟建築頂部的三角形
每一個山形屋頂都是一個三角形。那個三角形的幾何：它的上升、跨度與斜邊：決定了一切：屋頂如何排水、你需要多少材料，以及你在每條椽上切割的角度。
坡度是垂直上升與水平跨度的比率。6/12 的坡度表示屋頂在每 12 英寸的水平跨度上上升 6 英寸。12/12 的坡度是 45 度的屋頂。4/12 的坡度是溫和的斜坡。
椽是一個直角三角形的斜邊。如果你知道上升和跨度，你就知道椽的長度：這是勾股定理應用於世界上每一個屋頂。
將坡度轉換為角度： 角度 = arctan(上升 / 跨度)。6/12 的坡度給出 arctan(6/12) = arctan(0.5) = 26.57 度。那個角度是你在速度角尺上設定的，用於在椽上標記每一個垂直切口與座切。
計算屋頂角度
一棟建築的跨度是 24 英尺（棟梁每一側 12 英尺的跨度），使用 9/12 的坡度。
髖椽與複合角
普通椽垂直於棟梁運行：它們的幾何是簡單的直角三角形。但是髖椽從建築的角落斜向運行至棟梁。它以複合角坐著。
髖椽的跨度比普通椽的跨度長，因為它在平面上斜向行進。對於方形建築，髖跨度 = 普通跨度 × sqrt(2)。那是正方形的對角線。
髖椽坡度總是比普通椽坡度淺。如果普通椽是 9/12，髖椽是 9/16.97（因為 12 × sqrt(2) = 16.97）。髖角 = arctan(9/16.97) = 27.9 度。
這個複合幾何是為什麼髖屋頂比簡單山形屋頂更難框架：髖椽上的每一個切口涉及兩個角度，而不是一個。
上升、跨度與弦木
樓梯的幾何
每個樓梯都是一個直角三角形。弦木：支撐踏板的對角線木板：是斜邊。總上升（樓層到樓層的高度）與總跨度（水平距離）定義了三角形。
建築法規對幾何的限制很嚴格：
- 單位上升（每一級踏步的高度）：7 到 7.75 英寸（美國住宅法規）
- 單位跨度（每個踏面的深度）：最少 10 英寸
- 上升 + 跨度規則：單位上升 + 單位跨度應該在 17 到 18 英寸之間（木工的經驗法則，用於舒適的樓梯）
- 淨空：從樓梯鼻子至任何上方障礙物的垂直距離至少 6 英尺 8 英寸
要計算踏步的數量：將總上升除以你的目標單位上升。四捨五入至整數。然後重新計算確切的單位上升 = 總上升 / 踏步數量。
例子：總上升 = 108 英寸（樓層到樓層 9 英尺）。目標單位上升 = 7.5 英寸。108 / 7.5 = 14.4，所以使用 14 個踏步。確切的單位上升 = 108 / 14 = 7.714 英寸。踏面數 = 踏步 - 1 = 13（頂樓是最後一個'踏面'）。
設計樓梯
一棟兩層樓的房子有樓層到樓層的高度 9 英尺 4 英寸（112 英寸）。樓梯間開口允許最大水平跨度 12 英尺。
轉角樓梯與扇形踏板
轉角而不著陸
當樓梯需要轉角但空間太狹窄而不能著陸時，建築工人使用轉角踏板：扇形踏板，圍繞角落展開。
幾何：每個轉角踏板是圓形的一個扇形。狹窄端（在內角）必須至少 6 英寸寬（法規最少）。在行走線測量的踏面深度（狹窄端距離 12 英寸）必須符合與直線踏板相同的最低值：通常 10 英寸。
90 度轉角通常使用三個轉角踏板（每個跨越 30 度）或兩個轉角踏板加一個小著陸點。180 度轉角（折返）使用六個轉角踏板或轉角踏板與半著陸點的組合。
轉角樓梯比直樓梯更難建造，也更危險：每個踏板的狹窄端在轉角內側提供較少的腳部空間。這就是為什麼法規對它們的幾何限制得很嚴格。
為什麼拱形有效
負荷轉移的幾何
拱形將向下的垂直負荷轉換為沿著它的曲線流向支撐的壓縮力。與梁不同，梁通過彎曲抵抗負荷（並在底面開發張力），純壓縮的拱沒有張力：而石頭、磚與混凝土都是壓縮很強但張力很弱。
這解釋了為什麼拱已經被使用了數千年在石頭與磚砌施工中：它們與材料的強度一起工作，而不是反對。
拱的形狀決定了它有多好地處理不同的負荷模式。不同的曲線最佳地處理不同的負荷。
四種拱形
半圓拱：完美的半圓。最簡單的構造（只需從中心點掃動一個羅盤）。均勻分配負荷。羅馬人用於水道、橋樑與圓形劇場。它的限制：高度總是跨度的恰好一半。
哥特式/尖拱：由在中心上方點相交的兩個圓弧形成。可以比寬度高。將更多力向下導向（較少水平推力），允許更薄的牆。這就是為什麼哥特式大教堂可以有巨大的窗戶：尖拱減少了向外的牆推力。
拋物線拱：遵循曲線 y = ax²。最佳用於承載均勻分佈的負荷（如橋樑甲板均勻交通）。拋物線確保推力線在均勻負荷下恰好跟隨拱中線。
懸鏈線拱：由掛鏈形成的曲線（倒轉）。遵循 y = a × cosh(x/a)。最佳用於承載其自身重量。聖路易的網關拱是加權懸鏈線：其形狀確保在自身重量下的純壓縮，沒有彎曲。
懸鏈線與自重
懸鏈線曲線是鏈或纜在其自身重量下自由掛著時採取的形狀。數學上，它是 y = a × cosh(x/a)，其中「a」是一個常數，取決於鏈的單位長度重量與水平張力。
如果你將掛著的鏈上下顛倒，你得到一個懸鏈線拱。這個拱在其自身重量下是純壓縮：它是掛著鏈中純張力的確切反轉。
聖路易的網關拱（630 英尺高）是加權懸鏈線。埃羅·沙里寧和工程師漢斯卡爾·班德爾設計它，使拱的截面變化：基部較厚，頂部較薄：懸鏈線方程被修改為考慮這個變化的重量分佈。
在工地上成直角
在土壤中的幾何
在挖一個地基之前，建築必須在場地上用精確的幾何佈局。工具很簡單：線、放樣板、捲尺與樁：但所需的精度很高。
放樣板是安裝在樁上的水平木板，設置在建築角落後面。拉緊在放樣板之間的線標示基礎線。通過調整線附著於放樣板的位置，建築工人可以微調佈局而不擾亂樁。
成直角使用 3-4-5 三角形：最簡單的勾股數。沿著一條線測量 3 英尺從角落，沿著其他線 4 英尺，如果對角線恰好 5 英尺，角落是 90 度。為了更好的精度，使用倍數：6-8-10、9-12-15 或 12-16-20。
驗證矩形使用對角線測量。在真正的矩形中，兩條對角線必須相等。如果它們不相等，佈局是平行四邊形，需要調整。這個檢查抓住個別角落的 3-4-5 方法可能遺漏的錯誤。
激光水平儀投射一個光的水平參考平面。旋轉的激光在整個場地建立一條水平線，允許建築工人在任何點檢查高程。在激光水平儀之前，建築工人使用水準管：一個充滿水的長管，依靠水尋求自己水平的事實。
3-4-5 方法
3-4-5 三角形有效是因為 3² + 4² = 5²（9 + 16 = 25）。這是勾股定理：如果直角三角形的斜邊等於其他兩側的平方和的平方根，角是恰好 90 度。
在建築工地，你使用捲尺。你在一條腿上標記 3 英尺，在另一條 4 英尺，檢查對角線是 5 英尺。如果對角線太長，角大於 90 度（鈍角）。如果太短，角小於 90 度（銳角）。
幾何說建築工人的語言
你學到的內容
這個課程的每個部分都回到相同的工具：直角三角形、勾股定理、三角函數，與由數學方程定義的曲線。
- 屋頂是直角三角形。坡度是上升/跨度。椽長是斜邊。角來自arctan。
- 樓梯是直角三角形。弦木是斜邊。上升與跨度被法規限制。
- 拱是選擇與特定負荷模式的推力線相符的曲線：圓形、拋物線與懸鏈線。
- 場地佈局使用勾股定理成直角並驗證矩形。
數學不是抽象的：它被切進每個椽，被路由進每個弦木，被拉伸穿過每個建築場地。木工、石匠與建築工人幾千年來一直是應用幾何師。