Треугольник на верхушке каждого здания
Каждая двускатная крыша — это треугольник. Геометрия этого треугольника: его подъем, пролет и гипотенуза: определяет всё: как крыша отводит воду, сколько материала вам нужно и под каким углом вы режете каждый стропил.
Уклон — это отношение вертикального подъема к горизонтальному пролету. Уклон 6/12 означает, что крыша поднимается на 6 дюймов на каждые 12 дюймов горизонтального пролета. Уклон 12/12 — это крыша под углом 45 градусов. Уклон 4/12 — это пологий уклон.
Стропил — это гипотенуза прямоугольного треугольника. Если вы знаете подъем и пролет, вы знаете длину стропила: это теорема Пифагора, применяемая к каждой крыше в мире.
Преобразование уклона в угол: угол = arctan(подъем / пролет). Уклон 6/12 дает arctan(6/12) = arctan(0,5) = 26,57 градусов. Этот угол — это то, что вы устанавливаете на свой скоростной треугольник, чтобы отметить каждый отвесный срез и срез сиденья на стропиле.
Рассчитайте угол крыши
Здание имеет пролет 24 фута (12 футов пролета с каждой стороны конька) и использует уклон 9/12.
Угловые стропила и составные углы
Обычные стропила проходят перпендикулярно к коньковому брусу: их геометрия — это простой прямоугольный треугольник. Но угловой стропил проходит диагонально от угла здания к коньку. Он сидит под составным углом.
Пролет углового стропила больше, чем пролет обычного стропила, потому что он проходит диагонально по плану. Для здания с квадратными углами пролет углового стропила = обычный пролет × sqrt(2). Это диагональ квадрата.
Уклон углового стропила всегда более пологий, чем уклон обычного стропила. Если обычные стропила имеют уклон 9/12, угловой стропил имеет уклон 9/16,97 (потому что 12 × sqrt(2) = 16,97). Угол углового стропила = arctan(9/16,97) = 27,9 градусов.
Эта составная геометрия — вот почему крыши с угловыми стропилами сложнее обрамлять, чем простые двускатные крыши: каждый срез на угловом стропиле включает два угла, а не один.
Подъем, пролет и тетива
Геометрия лестниц
Каждая лестница — это прямоугольный треугольник. Тетива: диагональная доска, которая поддерживает проступи: это гипотенуза. Общий подъем (пол на пол высота) и общий пролет (горизонтальное расстояние) определяют треугольник.
Строительные нормы тщательно ограничивают геометрию:
- Единичный подъем (высота каждой ступени): от 7 до 7-3/4 дюймов (жилищный кодекс IRC)
- Единичный пролет (глубина проступи): минимум 10 дюймов
- Правило подъем + пролет: единичный подъем + единичный пролет должны быть между 17 и 18 дюймами (эмпирическое правило плотника для удобных лестниц)
- Свободное пространство над головой: минимум 6 футов 8 дюймов, измеренное вертикально от носика ступени до любого препятствия над головой
Чтобы рассчитать количество подступенков: разделите общий подъем на целевой единичный подъем. Округлите до целого числа. Затем пересчитайте точный единичный подъем = общий подъем / количество подступенков.
Пример: общий подъем = 108 дюймов (9 футов пол на пол). Целевой единичный подъем = 7,5 дюйма. 108 / 7,5 = 14,4, поэтому используйте 14 подступенков. Точный единичный подъем = 108 / 14 = 7,714 дюйма. Количество проступей = подступенки - 1 = 13 (верхний пол — это последняя 'проступь').
Проектируйте лестницу
Двухэтажный дом имеет высоту пол на пол 9 футов 4 дюймов (112 дюймов). Проем для лестницы позволяет максимальный горизонтальный пролет 12 футов.
Забежные ступени и ступени «кусок пирога»
Поворот без площадки
Когда лестница должна повернуть, но места для площадки недостаточно, строители используют забежные ступени: ступени в форме пирога, которые веерообразно расходятся вокруг угла.
Геометрия: каждая забежная ступень — это сектор круга. Узкий конец (у внутреннего угла) должен быть не менее 6 дюймов в ширину (минимум норм). Глубина проступи, измеренная на линии хода (12 дюймов от узкой стороны), должна соответствовать тому же минимуму, что и прямые ступени: обычно 10 дюймов.
Поворот на 90 градусов обычно использует три забежные ступени (каждая охватывает 30 градусов) или две забежные ступени плюс небольшую площадку. Поворот на 180 градусов (возврат) использует шесть забежных ступеней или комбинацию забежных ступеней и полуплощадки.
Забежные лестницы сложнее строить и опаснее использовать, чем прямые лестницы: узкий конец каждой ступени дает меньше места для ноги у внутреннего края поворота. Именно поэтому нормы тщательно ограничивают их геометрию.
Почему арки работают
Геометрия передачи нагрузки
Арка преобразует нисходящие вертикальные нагрузки в сжимающие силы, которые текут вдоль ее кривой к опорам. В отличие от балки, которая сопротивляется нагрузкам изгибом (и развивает напряжение на нижней грани), арка в чистом сжатии не имеет напряжения: и каменная кладка, камень и бетон все сильны при сжатии, но слабы при растяжении.
Это объясняет, почему арки использовались тысячи лет в каменной и кирпичной конструкции: они работают с силой материала, а не против нее.
Форма арки определяет, насколько хорошо она справляется с различными схемами нагружения. Различные кривые оптимально обрабатывают различные нагрузки.
Четыре формы арок
Полукруглая арка: идеальный полукруг. Самая простая в конструкции (просто нарисуйте компас из центральной точки). Равномерно распределяет нагрузку. Используется римлянами для акведуков, мостов и Колизея. Его ограничение: высота всегда ровно половина пролета.
Готическая/заостренная арка: образована двумя круговыми дугами, которые встречаются в точке над центром. Может быть выше, чем ширина. Направляет больше силы вниз (меньше горизонтального толчка), что позволяет использовать более тонкие стены. Именно поэтому готические соборы могли иметь огромные окна: заостренные арки уменьшили наружный толчок на стены.
Параболическая арка: следует кривой y = ax². Оптимальна для переноса равномерно распределенной нагрузки (как мост с равномерным движением). Парабола гарантирует, что линия толчка следует центральной линии арки ровно при равномерной нагрузке.
Цепная линия арка: кривая, образованная висящей цепью (перевернутой). Следует y = a × cosh(x/a). Оптимальна для переноса собственного веса. Арка Ворот в Сент-Луисе — это взвешенная цепная линия: ее форма гарантирует чистое сжатие под собственным весом без изгиба.
Цепная линия и собственный вес
Кривая цепной линии — это форма, которую цепь или кабель принимают, когда висят свободно под собственным весом. Математически это y = a × cosh(x/a), где 'a' — это константа, которая зависит от веса цепи на единицу длины и горизонтального натяжения.
Если перевернуть висящую цепь вверх ногами, вы получите цепную линию арки. Эта арка находится в чистом сжатии под собственным весом: это точная противоположность чистому натяжению в висящей цепи.
Арка Ворот в Сент-Луисе (630 футов в высоту) — это взвешенная цепная линия. Ээро Сааринен и инженер Ханскарл Бандель спроектировали ее так, чтобы поперечное сечение арки варьировалось: толще у основания, тоньше вверху: и уравнение цепной линии было модифицировано для учета этого изменяющегося распределения веса.
Выравнивание углов на строительной площадке
Геометрия в грязи
Прежде чем будет выкопана даже одна опора, здание должно быть размещено на участке с точной геометрией. Инструменты просты: шпагат, доски обвязки, рулетки и колья: но требуемая точность высока.
Доски обвязки — это горизонтальные доски, установленные на кольях, отодвинутые от углов здания. Шпагат, натянутый между досками обвязки, отмечает линии фундамента. Отрегулировав место, где шпагат крепится к доске обвязки, строитель может точно откорректировать разметку без нарушения кольев.
Выравнивание угла использует треугольник 3-4-5: простейшую пифагорову тройку. Измерьте 3 фута вдоль одной линии шпагата от угла, 4 фута вдоль другой линии шпагата, и если диагональ ровно 5 футов, угол — 90 градусов. Для большей точности используйте кратные: 6-8-10, 9-12-15 или 12-16-20.
Проверка прямоугольника использует измерения диагоналей. В истинном прямоугольнике обе диагонали должны быть равны. Если они не равны, разметка — это параллелограмм и нужна коррекция. Эта проверка ловит ошибки, которые метод 3-4-5 на отдельных углах может упустить.
Лазерные уровни проецируют горизонтальную эталонную плоскость света. Вращающийся лазер устанавливает горизонтальную линию по всему участку, позволяя строителю проверять отметки в любой точке. До лазерных уровней строители использовали водяной уровень: длинную трубку, заполненную водой, полагаясь на то, что вода ищет свой уровень.
Метод 3-4-5
Треугольник 3-4-5 работает, потому что 3² + 4² = 5² (9 + 16 = 25). Это теорема Пифагора: если гипотенуза прямоугольного треугольника равна корню квадратному из суммы квадратов двух других сторон, угол ровно 90 градусов.
На строительной площадке вы работаете с рулетками. Вы отмечаете 3 фута на одной ножке, 4 фута на другой и проверяете, что диагональ составляет 5 футов. Если диагональ слишком длинная, угол больше 90 градусов (тупой). Если слишком короткая, угол меньше 90 градусов (острый).
Геометрия говорит языком строителя
Что вы выучили
Каждый раздел этого урока возвращается к одним и тем же инструментам: прямоугольные треугольники, теорема Пифагора, тригонометрические функции и кривые, определяемые математическими уравнениями.
- Крыши — это прямоугольные треугольники. Уклон — это подъем/пролет. Длина стропила — это гипотенуза. Углы берутся из arctan.
- Лестницы — это прямоугольные треугольники. Тетива — это гипотенуза. Подъем и пролет ограничены нормами.
- Арки — это кривые, выбранные для соответствия линиям толчка при определенных схемах нагружения: круги, параболы и цепные линии.
- Планировка участка использует теорему Пифагора для выравнивания углов и проверки прямоугольников.
Математика не абстрактна: она вырезана в каждом стропиле, маршрутизирована в каждой тетиве и натянута через каждую строительную площадку. Плотники, каменщики и строители были прикладными геометрами тысячи лет.