Das Dreieck auf jedem Gebäude
Jedes Satteldach ist ein Dreieck. Die Geometrie dieses Dreiecks – Anstieg, Lauf & Hypotenuse – bestimmt alles: wie das Dach Wasser ableitet, wie viel Material benötigt wird & welchen Winkel man an jedem Sparren schneidet.
Neigung ist das Verhältnis des vertikalen Anstiegs zum horizontalen Lauf. Eine 6/12-Neigung bedeutet, das Dach steigt 6 Zoll für alle 12 Zoll horizontalen Lauf. Ein 12/12-Neigung ist ein 45-Grad-Dach. Ein 4/12-Neigung ist ein sanfter Abhang.
Der Sparren ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Wenn man Anstieg & Lauf kennt, kennt man die Sparrenlänge: Das ist der Satz des Pythagoras angewandt auf jedes Dach der Welt.
Neigung in Winkel umrechnen: Winkel = arctan(Anstieg / Lauf). Eine 6/12-Neigung ergibt arctan(6/12) = arctan(0,5) = 26,57 Grad. Dieser Winkel wird auf dem Dachwinkel eingestellt, um an jedem Sparren jeden senkrechten Schnitt & jeden Lagerschnitt zu markieren.
Berechnen Sie einen Dachwinkel
Ein Gebäude hat eine 24-Fuß-Spannweite (12 Fuß Lauf auf jeder Seite des Grates) & verwendet eine 9/12-Neigung.
Walmdächer & zusammengesetzte Winkel
Gewöhnliche Sparren laufen senkrecht zur Gratbalken: Ihre Geometrie ist ein einfaches rechtwinkliges Dreieck. Aber ein Walmsparren läuft diagonal von der Ecke des Gebäudes zum Grat. Er sitzt in einem zusammengesetzten Winkel.
Der Walmsparrenlauf ist länger als der gewöhnliche Sparrenlauf, da er diagonal über den Grundriss verläuft. Bei einem quadratischen Gebäude ist der Walmsparrenlauf = gewöhnlicher Lauf × sqrt(2). Das ist die Diagonale eines Quadrats.
Die Walmsparrenneigung ist immer flacher als die gewöhnliche Sparrenneigung. Wenn die gewöhnlichen Sparren 9/12 sind, ist der Walmsparren 9/16,97 (da 12 × sqrt(2) = 16,97). Der Walmsparrenwinkel = arctan(9/16,97) = 27,9 Grad.
Diese zusammengesetzte Geometrie ist der Grund, warum Walmdächer schwieriger zu rahmen sind als einfache Giebel: Jeder Schnitt an einem Walmsparren beinhaltet zwei Winkel, nicht einen.
Steigung, Lauf & die Wange
Die Geometrie der Treppen
Jede Treppe ist ein rechtwinkliges Dreieck. Die Wange – das diagonale Brett, das die Stufen stützt – ist die Hypotenuse. Die Gesamtsteigung (Fußbodenhöhe zu Fußbodenhöhe) & der Gesamtlauf (horizontale Entfernung) definieren das Dreieck.
Bauordnungen schränken die Geometrie eng ein:
- Einzelsteigung (jede Stufenhöhe): 7 bis 7-3/4 Zoll (Wohnbauordnung)
- Einzellauf (Tritttiefe): mindestens 10 Zoll
- Steigung + Lauf-Regel: Einzelsteigung + Einzellauf sollte zwischen 17 & 18 Zoll liegen (Faustregel eines Zimmerlings für bequeme Treppen)
- Kopffreiheit: mindestens 6 Fuß 8 Zoll vertikal gemessen von der Treppenkante bis zur Decke
Um die Anzahl der Stufen zu berechnen: Teilen Sie die Gesamtsteigung durch Ihre Zielsteigung. Runden Sie auf eine ganze Zahl. Berechnen Sie dann die exakte Einzelsteigung = Gesamtsteigung / Anzahl der Stufen.
Beispiel: Gesamtsteigung = 108 Zoll (9 Fuß Fußbodenhöhe zu Fußbodenhöhe). Zielsteigung = 7,5 Zoll. 108 / 7,5 = 14,4, also verwenden Sie 14 Stufen. Exakte Einzelsteigung = 108 / 14 = 7,714 Zoll. Anzahl der Tritte = Stufen - 1 = 13 (der obere Fußboden ist der letzte 'Tritt').
Entwerfen Sie eine Treppe
Ein zweistöckiges Haus hat eine Fußbodenhöhe zu Fußbodenhöhe von 9 Fuß 4 Zoll (112 Zoll). Die Treppenöffnung erlaubt einen maximalen horizontalen Lauf von 12 Fuß.
Wendelstufentreppe & keilförmige Stufen
Treppenkurven ohne Zwischenpodest
Wenn eine Treppe eine Kurve machen muss, aber der Platz zu eng für ein Podest ist, verwenden Baumeister Wendelsufen: keilförmige Stufen, die wie ein Kuchen um eine Ecke strahlen.
Die Geometrie: Jede Wendelstufenstufe ist ein Sektor eines Kreises. Das schmale Ende (an der inneren Ecke) muss mindestens 6 Zoll breit sein (Codes-Minimum). Die Tritttiefe, gemessen an der Gehline (12 Zoll vom schmalen Ende entfernt), muss den gleichen Mindestanforderungen wie gerade Treppen entsprechen: typischerweise 10 Zoll.
Eine 90-Grad-Kurve verwendet typischerweise drei Wendelsufen (jede über 30 Grad) oder zwei Wendelsufen plus ein kleines Podest. Eine 180-Grad-Kurve (Umkehrung) verwendet sechs Wendelsufen oder eine Kombination aus Wendelsufen & einem Halbpodest.
Wendelstufentreppen sind schwieriger zu bauen & gefährlicher zu benutzen als gerade Treppen: Das schmale Ende jeder Stufe bietet weniger Fußfläche an der Innenseite der Kurve. Deshalb schränken die Codes ihre Geometrie sorgfältig ein.
Warum Bögen funktionieren
Die Geometrie der Lastverteilung
Ein Bogen wandelt vertikale Lasten in Druckkräfte um, die sich entlang seiner Kurve zu den Stützen fließen. Im Gegensatz zu einem Balken, der sich durch Biegung widersetzt (& auf der Unterseite Spannung entwickelt), hat ein reiner Druckbogen keine Spannung: & Mauerwerk, Stein & Beton sind alle stark in Druck, aber schwach in Spannung.
Das erklärt, warum Bögen seit Tausenden von Jahren in Stein- & Ziegelbau verwendet werden: Sie funktionieren mit der Materialstärke, nicht dagegen.
Die Form des Bogens bestimmt, wie gut er verschiedene Lastmuster verarbeitet. Verschiedene Kurven verarbeiten verschiedene Lasten optimal.
Vier Bogenformen
Halbkreisbogen: Ein perfekter Halbkreis. Am einfachsten zu konstruieren (ziehen Sie einfach einen Kompass vom Mittelpunkt). Verteilt die Last gleichmäßig. Von den Römern für Aquädukte, Brücken & das Kolosseum verwendet. Sein Nachteil: Die Höhe ist immer genau die Hälfte der Spannweite.
Gotischer/Spitzbogen: Gebildet von zwei Kreisbögen, die sich über der Mitte zu einem Punkt treffen. Kann höher als breit sein. Leitet mehr Kraft nach unten (weniger horizontaler Schub), was dünnere Wände ermöglicht. Deshalb könnten gotische Kathedralen riesige Fenster haben: Die spitzen Bögen reduzierten den Außendruck auf die Wände.
Parabelförmiger Bogen: Folgt der Kurve y = ax². Optimal für das Tragen einer gleichmäßig verteilten Last (wie eine Brückenkonstruktion mit gleichmäßiger Verkehrsbelastung). Die Parabel stellt sicher, dass die Drucklinie die Bogenmittellinie unter gleichmäßiger Last genau folgt.
Kettenlinienbogen: Die Kurve, die eine hängende Kette bildet (invertiert). Folgt y = a × cosh(x/a). Optimal für das Tragen seines Eigengewichts. Der Gateway Arch in St. Louis ist eine gewichtete Kettenlinie: Seine Form stellt unter seinem Eigengewicht reinen Druck ohne Biegung sicher.
Kettenlinie & Eigengewicht
Die Kettenlinienkurve ist die Form, die eine Kette oder ein Kabel annimmt, wenn es frei unter seinem Eigengewicht hängt. Mathematisch ist es y = a × cosh(x/a), wobei 'a' eine Konstante ist, die vom Gewicht der Kette pro Längeneinheit & der horizontalen Spannung abhängt.
Wenn Sie eine hängende Kette umstülpen, erhalten Sie einen Kettenlinienbogen. Dieser Bogen ist unter seinem Eigengewicht in reinem Druck: Er ist das genaue Gegenteil der reinen Spannung in der hängenden Kette.
Der Gateway Arch in St. Louis (630 Fuß hoch) ist eine gewichtete Kettenlinie. Eero Saarinen & Ingenieur Hannskarl Bandel entwarfen ihn so, dass der Querschnitt des Bogens variiert: dicker an der Basis, dünner an der Spitze: & die Kettenliniengleichung wurde modifiziert, um diese unterschiedliche Gewichtsverteilung zu berücksichtigen.
Ecken auf der Baustelle ausrichten
Geometrie in der Erde
Bevor ein einziger Fundamentgraben gegraben wird, muss das Gebäude mit genauer Geometrie auf dem Grundstück angeordnet werden. Die Werkzeuge sind einfach: Schnurlinien, Eckbretter, Stahlmaßstäbe & Markierungspflöcke: aber die erforderliche Genauigkeit ist hoch.
Eckbretter sind horizontale Bretter, die auf Pflöcken montiert sind & vom Gebäudeecke zurückgesetzt. Schnurlinien, die zwischen Eckbrettern gespannt sind, markieren die Fundamentlinien. Durch Anpassung, wo die Schnur am Eckbrett befestigt wird, kann der Bauherr das Layout abstimmen, ohne die Pflöcke zu verschieben.
Eine Ecke ausrichten verwendet das 3-4-5-Dreieck: das einfachste Pythagoräische Tripel. Messen Sie 3 Fuß entlang einer Schnurlinie vom Eck, 4 Fuß entlang der anderen Schnurlinie, & wenn die Diagonale genau 5 Fuß ist, ist die Ecke 90 Grad. Für größere Genauigkeit verwenden Sie Vielfache: 6-8-10, 9-12-15 oder 12-16-20.
Überprüfung eines Rechtecks verwendet Diagonalmessungen. In einem echten Rechteck müssen beide Diagonalen gleich sein. Wenn nicht, ist das Layout ein Parallelogramm & braucht Anpassung. Diese Überprüfung erfasst Fehler, die die 3-4-5-Methode an einzelnen Ecken möglicherweise übersieht.
Laserniveaus projizieren eine horizontale Referenzebene aus Licht. Ein drehendes Laser stellt eine ebene Linie um die gesamte Baustelle auf, wodurch der Bauherr Höhen an jedem Punkt überprüfen kann. Vor Lasergeräten verwendeten Bauherren ein Wasserniveau: ein langes Rohr, das mit Wasser gefüllt war, in der Annahme, dass Wasser sein eigenes Niveau sucht.
3-4-5-Methode
Das 3-4-5-Dreieck funktioniert, da 3² + 4² = 5² (9 + 16 = 25). Dies ist der Satz des Pythagoras: Wenn die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gleich der Quadratwurzel der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten ist, ist der Winkel genau 90 Grad.
Auf einer Baustelle arbeiten Sie mit Stahlmaßstäben. Sie markieren 3 Fuß an einem Bein, 4 Fuß am anderen & überprüfen, dass die Diagonale 5 Fuß beträgt. Wenn die Diagonale zu lang ist, ist der Winkel größer als 90 Grad (stumpf). Wenn zu kurz, ist der Winkel weniger als 90 Grad (spitz).
Geometrie spricht die Sprache eines Bauherren
Was Sie gelernt haben
Jeder Abschnitt dieser Lektion führt zurück zu den gleichen Werkzeugen: rechtwinklige Dreiecke, der Satz des Pythagoras, trigonometrische Funktionen & Kurven, die durch mathematische Gleichungen definiert sind.
- Dächer sind rechtwinklige Dreiecke. Neigung ist Anstieg/Lauf. Sparrenlänge ist die Hypotenuse. Winkel stammen von arctan.
- Treppen sind rechtwinklige Dreiecke. Die Wange ist die Hypotenuse. Anstieg & Lauf sind durch Code eingeschränkt.
- Bögen sind Kurven, die ausgewählt werden, um Drucklinien unter bestimmten Lastmustern zu entsprechen: Kreise, Parabeln & Kettenlinien.
- Baulayout verwendet den Satz des Pythagoras, um Ecken auszurichten & Rechtecke zu überprüfen.
Die Mathematik ist nicht abstrakt: Sie ist in jedem Sparren geschnitten, in jeder Wange eingefräst & über jede Baustelle gespannt. Zimmerleute, Maurer & Bauherren sind seit Tausenden von Jahren angewandte Geometer.