Dreieck auf dem Dach jedes Gebäudes
Jedes giebeligen Daches ist ein Dreieck. Die Geometrie dieses Dreiecks: sein Anstieg, seine Länge und sein Hypotenuse: bestimmt alles: wie das Dach Wasser ableitet, wie viel Material benötigt wird und unter welchem Winkel jeder Kniestück gesägt wird.
Neigungswinkel ist das Verhältnis von vertikalem Anstieg zu horizontaler Länge. Ein Neigungswinkel von 6/12 bedeutet, dass das Dach 6 Zoll in every 12 Zoll horizontal ansteigt. Ein Neigungswinkel von 12/12 ist ein 45-Grad-Dach. Ein 4/12-Neigungswinkel ist sanft geneigt.
Der Kniestück ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Wenn Sie den Anstieg und die Länge kennen, kennen Sie die Kniestücks-Länge: das ist das Pythagoras-Theorem angewendet auf jedes Dach der Welt.
Um den Neigungswinkel in Grad umzurechnen: Neigungswinkel = arctan(Anstieg / Länge). Ein Neigungswinkel von 6/12 ergibt arctan(6/12) = arctan(0,5) = 26,57 Grad. Dieser Winkel ist, was Sie auf Ihrer Schnittfeile einstellen, um jeden waagrechten Schnitt und every Sitzschlitz auf dem Kniestück zu markieren.
Berechnen Sie einen Dachwinkel
Ein Gebäude hat einen 24-Fuß-Spann (12 Fuß Länge auf jeder Seite des Firstes) & verwendet einen 9/12-Neigungswinkel.
Schieferafter und gemischte Winkel
Gemeinsame Rafter laufen senkrecht zur Sparriegel: ihre Geometrie ist ein einfacher rechtwinkliger Triangle. Aber ein Schieferafter läuft diagonal von der Ecke des Gebäudes zum Sparriegel. Er liegt an einem gemischten Winkel.
Die Laufweite eines Schieberafter ist länger als die Laufweite eines gemeinsamen Rafter, weil er diagonal über den Plan läuft. Bei einem eckigen Gebäude beträgt die Schieberlaufweite die gemeinsame Laufweite × sqrt(2). Das ist die Diagonale eines Quadrats.
Der Winkel des Schieberafter ist immer flacher als der Winkel des gemeinsamen Rafter. Wenn die gemeinsamen Rafter 9/12 sind, ist der Schieberafter 9/16.97 (weil 12 × sqrt(2) = 16.97). Der Schieberwinkel = arctan(9/16.97) = 27.9 Grad.
Diese gemischte Geometrie ist, warum Schieferdächer schwerer zu konstruieren sind als einfache Giebel: jede Schnittführung auf einem Schieberafter beinhaltet zwei Winkel, nicht einen.
Anstieg, Lauf und die Leiter
Die Geometrie von Treppen
Jede Treppe ist ein rechtwinkliges Dreieck. Die Stiecke: das diagonal verlaufende Brett, das die Stufen trägt, ist die Hypotenuse. Die Gesamtlaufhöhe (Bodenabstand) und die Gesamtlauflänge (horizontale Entfernung) definieren das Dreieck.
Bauordnungen begrenzen die Geometrie eng:
- Einheitliche Laufhöhe (Höhe jeder Stufe): 7 bis 7-3/4 Zoll (IRC-Residential-Code)
- Einheitliche Lauflänge (Tritt-Tiefe): mindestens 10 Zoll
- Laufhöhe + Lauflänge-Regel: Einheitliche Laufhöhe + Einheitliche Lauflänge sollte zwischen 17 & 18 Zoll liegen (ein Schreiner-Regel von Hand für bequeme Treppen)
- Kopfrahmen: mindestens 6 Fuß 8 Zoll gemessen von der Treppenkante bis zu jedem übergeordneten Hindernis
Um die Anzahl der Stufen zu berechnen: Teile die Gesamtlaufhöhe durch die gewünschte Einheitliche Laufhöhe. Runde auf eine ganze Zahl. Berechne dann die genaue Einheitliche Laufhöhe = Gesamtlaufhöhe / Anzahl der Stufen.
Beispiel: Gesamtlaufhöhe = 108 Zoll (9 Fuß Bodenabstand). Ziel-Einheitliche Laufhöhe = 7,5 Zoll. 108 / 7,5 = 14,4, also 14 Stufen. Genau-Einheitliche Laufhöhe = 108 / 14 = 7,714 Zoll. Anzahl der Tritte = Stufen - 1 = 13 (das obere Stockwerk ist der letzte 'Tritt').
Entwerfen einer Treppe
Ein zweistöckiges Haus hat eine Bodenabstandshöhe von 9 Fuß 4 Zoll (112 Zoll). Die Treppenöffnung im Treppenhaus ermöglicht eine maximale horizontale Lauflänge von 12 Fuß.
Winder-Treppen und Sektorentreppen
Ecken umgehen ohne Landung
Wenn eine Treppe eine Ecke umgehen muss, aber aufgrund von Platzmangel keine Landung passen kann, setzen Baumeister Winder-Treppen ein: Tritten in Form eines Sektors, die um eine Ecke herumgehen.
Die Geometrie: Jede Winder-Treppe ist ein Sektor eines Kreises. Die schmale Seite (am Inneneck) muss mindestens 6 Zoll breit sein (Mindestmaß der Bauordnung). Die Trittweite gemessen an der Ganglinie (12 Zoll von der schmalen Seite) muss das gleiche Mindestmaß wie gerade Tritten erfüllen: typischerweise 10 Zoll.
Ein 90-Grad-Winkel verwendet normalerweise drei Winder-Tritten (jeder 30 Grad umfassend) oder zwei Windertritten plus eine kleine Landung. Ein 180-Grad-Winkel (Umkehr) verwendet sechs Windertritten oder eine Kombination aus Windertritten und einer Halb-Landung.
Winder-Treppen sind schwieriger zu bauen und gefährlicher zu benutzen als gerade Treppen: Die schmale Seite jedes Tritts bietet weniger Fußraum am Inneneck der Ecke. Daher werden die Geometrie sorgfältig von den Bauordnungen eingeschränkt.
Warum Bögen funktionieren
Die Geometrie der Lastübertragung
Ein Bogen wandelt vertikale Lasten in Druckkräfte um, die entlang seiner Kurve zu den Unterstützungen fließen. Anders als ein Balken, der Lasten durch Biegen widersteht (und auf der Unterseite Spannung entwickelt), ist ein Bogen in reiner Druck ohne Spannung: und Mauerwerk, Stein und Beton sind alle in Druck stark, aber in Tension schwach.
Das erklärt, warum Bögen seit Tausenden von Jahren in Stein- und Ziegelbau verwendet wurden: sie arbeiten mit der Stärke des Materials, nicht gegen sie.
Die Form des Bogens bestimmt, wie gut er verschiedene Lastmuster optimal handhabt.
Vier Bogenformen
Halbkreisbogen: ein perfekter Halbkreis. Die einfachste zu bauen (man braucht nur einen Kompass von der Mittelpunktposition schwingen). Verteilt die Last gleichmäßig. Wurde von den Römern für Aquädukte, Brücken und das Kolosseum verwendet. Sein Limit: Die Höhe ist immer genau die Hälfte der Spannweite.
Gothic/Spitzenbogen: gebildet durch zwei kreisförmige Bögen, die sich in einem Punkt über dem Zentrum treffen. Kann höher als breit sein. Leitet mehr Kraft nach unten (weniger horizontales Schubkraft), was dünne Wände ermöglicht. Das ist, warum Gothic Kathedralen riesige Fenster haben konnten: Die spitzen Bögen reduzierten den auswärts gerichteten Druck auf die Wände.
Parabelbogen: folgt der Kurve y = ax². Optimal für die Tragfähigkeit einer gleichmäßig verteilten Last (wie einem Brückenbelag mit gleichmäßigem Verkehr). Die Parabel stellt sicher, dass die Schubkraft genau unter gleichmäßiger Last genau unter der Mittellinie des Bogens folgt.
Katzenbogen: die Kurve, die ein hängendes Seil bildet (umgekehrt). Folgt y = a × cosh(x/a). Optimal für die Tragfähigkeit seiner eigenen Gewicht. Der Gateway Arch in St. Louis ist ein gewichteter Katzenbogen: Seine Form stellt sicher, dass unter seinem eigenen Gewicht reinen Druck mit keiner Biegung entsteht.
Katzenkrüppel & Eigenlast
Die Katzenkrüppel-Kurve ist die Gestalt, die eine Kette oder Seil annimmt, wenn sie frei an ihrer eigenen Gewicht unter hängt. Mathematisch ist dies y = a × cosh(x/a), wobei 'a' eine Konstante ist, die von der Gewichtseinheit der Kette pro Länge und der horizontalen Tension abhängt.
Wenn Sie eine hängende Kette umkehren, erhalten Sie eine katzenkrümelige Böschung. Diese Böschung liegt in reiner Druckspannung unter ihrer eigenen Gewicht: Es ist die genaue Umkehr der reinen Tension in der hängenden Kette.
Der Gateway-Arch in St. Louis (630 Fuß hoch) ist eine gewichtete Katzenkrüppelkurve. Eero Saarinen und Ingenieur Hannskarl Bandel entwarfen es so, dass sich die Querschnittsform des Bogens verändert: dicker am Grund, dünner am oberen Ende: und die Katzenkrüppel-Gleichung wurde angepasst, um auf diese veränderliche Gewichtsverteilung zu reagieren.
Ecken quadratisch auf der Baustelle
Geometrie im Dreck
Bevor ein einziges Fundament gegraben wird, muss das Gebäude exakt auf dem Baugrund gelegt werden. Die Werkzeuge sind einfach: Schnurleinen, Batterbretter, Maßband und Pfähle, aber die erforderliche Genauigkeit ist hoch.
Batterplatten sind horizontale Platten, die auf Stöcken montiert sind, die sich von den Gebäudeecken entfernt befinden. Schnurgele, die zwischen den Batterplatten gespannt werden, markieren die Grundmauergrenzen. Indem der Bauherr die Stelle verändert, an der sich das Seil an der Batterplatte befestigt, kann er die Ausrichtung ohne Störung der Stöcke feinjustieren.
Ecken gerade ziehen verwendet das 3-4-5-Dreieck: die einfachste Pythagoreische Triple. Messen Sie 3 Fuß entlang einer Schnurgele von der Ecke, 4 Fuß entlang der anderen Schnurgele und wenn der Diagonale genau 5 Fuß beträgt, ist die Ecke 90 Grad. Für größere Genauigkeit verwenden Sie Vielfache: 6-8-10, 9-12-15 oder 12-16-20.
Prüfung eines Rechtecks verwendet Diagonalmessungen. In einem wahren Rechteck müssen beide Diagonalen gleich sein. Wenn sie nicht gleich sind, ist die Anlage ein Parallelogramm und benötigt eine Justierung. Dieser Test fängt Fehler, die die 3-4-5-Methode bei einzelnen Ecken verpassen könnte.
Laser-Ebene projiziert eine horizontale Bezugsebene aus Licht. Eine rotierende Laser-Ebene stellt eine horizontale Linie im gesamten Bereich des Baugrundstücks her, was dem Bauherrn ermöglicht, die Höhen an jedem Punkt zu überprüfen. Vor der Verwendung von Laser-Ebenen verwendeten Bauherren eine Wasser-Ebene: eine lange Tube, die mit Wasser gefüllt wurde, und vertrauten auf die Tatsache, dass Wasser sein eigenes Niveau sucht.
3-4-5-Methode
Das 3-4-5-Dreieck funktioniert, weil 3² + 4² = 5² (9 + 16 = 25). Dies ist der Pythagoreische Lehrsatz: wenn die Hypotenuse eines rechten Dreiecks gleich dem Quadratwurzel der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist, beträgt der Winkel genau 90 Grad.
Auf einem Baugrundstück arbeiten Sie mit Maßbanden. Sie markieren 3 Fuß an einem Bein, 4 Fuß an dem anderen und überprüfen, ob die Diagonale 5 Fuß beträgt. Ist die Diagonale zu lang, dann ist der Winkel größer als 90 Grad (schief). Ist sie zu kurz, dann ist der Winkel kleiner als 90 Grad (winklig).
Geometrie spricht die Sprache eines Bauers
Was Sie gelernt haben
Jede Abschnitt dieser Lektion führt zurück zu denselben Werkzeugen: rechtwinklige Dreiecke, das Pythagoras-Theorem, trigonometrische Funktionen und Kurven, die durch mathematische Gleichungen definiert sind.
- Dächer sind rechtwinklige Dreiecke. Der Giebel ist die Steigung/Beschiebung. Die Länge des Hypotenuse ist die Länge des Balkens. Winkel stammen von arctan.
- Treppen sind rechtwinklige Dreiecke. Der Treppengeländer ist die Hypotenuse. Steigung und Lauflänge werden durch Vorschriften eingeschränkt.
- Bögen sind Kurven, die unter bestimmten Lastmustern ausgewählt werden: Kreise, Parabeln und Katzenleinen.
- Baustellenplanung verwendet das Pythagoras-Theorem, um Ecken zu quadratisieren und Rechtecke zu verifizieren.
Die Mathematik ist nicht abstrakt: Sie ist in jeden Balken geschnitten, in jeden Treppengeländer geroutet und über jedem Baugelände gespannt. Zimmerleute, Maurer und Bauunternehmer waren seit Tausenden von Jahren angewandte Geometer.