Трикутник на вершині кожної будівлі
Кожен дах з фронтоном — це трикутник. Геометрія цього трикутника: його піднесення, горизонтальна протяжність та гіпотенуза: визначає все — як дах пропускає воду, скільки матеріалу вам потрібно, та кут, під яким ви розрізаєте кожен стропил.
Нахил — це відношення вертикального піднесення до горизонтальної протяжності. Нахил 6/12 означає, що дах піднімається на 6 дюймів на кожні 12 дюймів горизонтальної протяжності. Нахил 12/12 — це дах під 45 градусів. Нахил 4/12 — це м'який нахил.
Стропило — це гіпотенуза прямокутного трикутника. Якщо ви знаєте піднесення та протяжність, ви знаєте довжину стропила: це теорема Піфагора, застосована до кожного даху в світі.
Перетворення нахилу на кут: кут = arctan(піднесення / протяжність). Нахил 6/12 дає arctan(6/12) = arctan(0,5) = 26,57 градусів. Цей кут — те, що ви встановлюєте на своєму косинці для позначення кожного вертикального розрізу та розрізу сидіння на стропилі.
Розрахуйте кут даху
Будівля має проліт 24 фути (по 12 футів протяжності з кожної сторони хребта) & використовує нахил 9/12.
Куточні стропила та складні кути
Звичайні стропила мають напрям перпендикулярно до хребетного бруса: їхня геометрія — простий прямокутний трикутник. Але куточне стропило виходить по діагоналі від кута будівлі до хребетного бруса. Воно знаходиться під складним кутом.
Протяжність куточного стропила довша за протяжність звичайного стропила, тому що воно простягається по діагоналі через план. Для квадратної будівлі протяжність куточного = протяжність звичайного × sqrt(2). Це діагональ квадрата.
Нахил куточного стропила завжди менший за нахил звичайного стропила. Якщо звичайні стропила 9/12, куточне стропило 9/16,97 (тому що 12 × sqrt(2) = 16,97). Кут куточного = arctan(9/16,97) = 27,9 градусів.
Ця складна геометрія — чому куточні дахи важче будувати, ніж прості фронтони: кожен розріз на куточному стропилі передбачає два кути, а не один.
Піднесення, протяжність та тятива
Геометрія сходів
Кожна сходова клітка — це прямокутний трикутник. Тятива: діагональна дошка, яка підтримує ступені: — це гіпотенуза. Загальне піднесення (висота від поверхні до поверхні) та загальна протяжність (горизонтальна відстань) визначають трикутник.
Будівельні коди суворо обмежують геометрію:
- Піднесення в ступені (висота кожного ступеня): від 7 до 7-3/4 дюйма (жилий код IRC)
- Протяжність в ступні (глибина кожної проступки): мінімум 10 дюймів
- Правило піднесення + протяжність: піднесення + протяжність мають бути від 17 до 18 дюймів (плотницьке правило для комфортних сходів)
- Висота голови: мінімум 6 футів 8 дюймів, виміряна вертикально від носика ступеня до будь-якої перешкоди над головою
Для розрахунку кількості ступенів: розділіть загальне піднесення на бажане піднесення в ступні. Округліть до цілого числа. Потім перерахуйте точне піднесення = загальне піднесення / кількість ступенів.
Приклад: загальне піднесення = 108 дюймів (9 футів від поверхні до поверхні). Бажане піднесення = 7,5 дюйма. 108 / 7,5 = 14,4, тому використовуємо 14 ступенів. Точне піднесення = 108 / 14 = 7,714 дюйма. Кількість проступок = ступені - 1 = 13 (верхня поверхня — остання 'проступка').
Спроектуйте сходи
Двоповерховий дім має висоту від поверхні до поверхні 9 футів 4 дюйми (112 дюймів). Отвір під сходи дозволяє максимальну горизонтальну протяжність 12 футів.
Забігові сходи та сегментні проступки
Повертання без площадки
Коли сходи мають повернути, але місця занадто мало для площадки, будівельники використовують забігові проступки: сегментні проступки, які розходяться веером навколо кута.
Геометрія: кожна забігова проступка — це сектор кола. Вузький кінець (у внутрішньому куті) має бути мінімум 6 дюймів шириною (мінімум коду). Глибина проступки, виміряна в лінії ходу (12 дюймів від вузького боку), має відповідати тому ж мінімуму, що й прямі проступки: зазвичай 10 дюймів.
Поворот на 90 градусів зазвичай використовує три забігові проступки (кожна охоплює 30 градусів) або дві забігові + невелику площадку. Поворот на 180 градусів (зворотне) використовує шість забігових або комбінацію забігових & половинної площадки.
Забігові сходи складніші в будівництві та небезпечніші для використання, ніж прямі: вузький кінець кожної проступки дає менше місця для ноги у внутрішній частині повороту. Тому коди суворо обмежують їхню геометрію.
Чому арки працюють
Геометрія передачі навантаження
Арка перетворює вертикальні навантаження вниз на стискаючі сили, які течуть уздовж її кривої до опор. На відміну від балки, яка чинить опір навантаженням через вигин (і розвиває напругу на нижній грані), арка у чистому стиску не має напруги: а кам'яниця, камінь та бетон сильні при стисканні, але слабкі при розтяженні.
Це пояснює, чому арки використовуються тисячоліття в кам'яному & цегляному будівництві: вони працюють із силою матеріалу, а не проти неї.
Форма арки визначає, наскільки добре вона обробляє різні схеми навантаження. Різні криві оптимально обробляють різні навантаження.
Чотири форми арок
Семикруглова арка: ідеальна напівколо. Найпростіша в конструкції (просто розверніть циркуль від центральної точки). Рівномірно розподіляє навантаження. Використовується римлянами для акведуків, мостів та Колізею. Його обмеження: висота завжди рівно половині прольоту.
Готична/загострена арка: утворена двома круговими дугами, які зустрічаються у точці над центром. Може бути вищою, ніж широка. Спрямовує більше сили вниз (менше горизонтального тиску), що дозволяє тонші стіни. Тому готичні катедралі могли мати величезні вікна: загострені арки зменшили зовнішній тиск на стіни.
Парабола арка: слідує кривій y = ax². Оптимальна для передачі рівномірно розподіленого навантаження (як мостовий палу з рівним трафіком). Парабола забезпечує, що лінія тиску слідує центральній лінії арки ідеально під рівномірним навантаженням.
Ланцюгова арка: крива, утворена висячим ланцюгом (перевернута). Слідує y = a × cosh(x/a). Оптимальна для несення власної ваги. Арка Воріт у Сент-Луїсі (630 футів) — зважена ланцюгова: її форма забезпечує чисте стискання під власною вагою без вигину.
Ланцюгова & самовартість
Крива ланцюга — це форма, яку ланцюг або кабель приймають, коли вільно висять під власною вагою. Математично це y = a × cosh(x/a), де 'a' — константа, яка залежить від ваги ланцюга на одиницю довжини & горизонтальної напруги.
Якщо ви перевернете висячий ланцюг догори ногами, ви отримаєте ланцюгову арку. Ця арка знаходиться у чистому стисканні під власною вагою: вона є точною інверсією чистої напруги у висячому ланцюгу.
Арка Воріт у Сент-Луїсі (630 футів в висоту) — зважена ланцюгова. Еро Саарінен та інженер Ганнскарл Бандель спроектували її так, щоб переріз арки варіював: товще в основі, тонше у верхівці: і рівняння ланцюга було змінено, щоб врахувати цей варіюючий розподіл ваги.
Квадрування кутів на будівельному майданчику
Геометрія у грунту
Перш ніж викопається єдиний фундамент, будівля повинна бути розкладена на майданчику з точною геометрією. Інструменти прості: шнурові лінії, розпірні дошки, рулетки, та кілки: але потрібна висока точність.
Розпірні дошки — це горизонтальні дошки, встановлені на кільках, встановлені позаду кутів будівлі. Шнурові лінії, натягнуті між розпірними дошками, позначають лінії фундаменту. Регулюючи місце кріплення шнура до розпірної дошки, будівельник може точно настроїти розташування без порушення кілків.
Квадрування кута використовує трикутник 3-4-5: найпростіший піфагоровий трійок. Виміряйте 3 фути уздовж однієї шнурової лінії від кута, 4 фути уздовж іншої шнурової лінії, і якщо діагональ точно 5 футів, кут становить 90 градусів. Для більшої точності використовуйте кратні: 6-8-10, 9-12-15, або 12-16-20.
Перевірка прямокутника використовує діагональні вимірювання. У справжньому прямокутнику обидві діагоналі мають бути рівні. Якщо ні, розташування — паралелограм & потребує коригування. Ця перевірка виловлює помилки, які метод 3-4-5 у окремих кутах може пропустити.
Лазерні рівні проектують горизонтальну площину референції світла. Обертовий лазер встановлює рівну лінію навколо всього майданчика, дозволяючи будівельнику перевірити висоти в будь-якій точці. До лазерних рівнів будівельники використовували водний рівень: довгу трубку, заповнену водою, покладаючись на той факт, що вода знаходить свій рівень.
Метод 3-4-5
Трикутник 3-4-5 працює, тому що 3² + 4² = 5² (9 + 16 = 25). Це теорема Піфагора: якщо гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює квадратному кореню суми квадратів двох інших сторін, кут точно 90 градусів.
На будівельному майданчику ви працюєте з рулетками. Ви позначаєте 3 фути на одній ніжці, 4 фути на іншій, & перевіряєте, що діагональ становить 5 футів. Якщо діагональ занадто довга, кут більше 90 градусів (тупий). Якщо занадто коротка, кут менше 90 градусів (гострий).
Геометрія говорить мовою будівельника
Що ви навчилися
Кожен розділ цього уроку повертається до одних і тих же інструментів: прямокутні трикутники, теорема Піфагора, тригонометричні функції, & криві, визначені математичними рівняннями.
- Дахи — це прямокутні трикутники. Нахил — це піднесення/протяжність. Довжина стропила — гіпотенуза. Кути виходять з arctan.
- Сходи — це прямокутні трикутники. Тятива — гіпотенуза. Піднесення & протяжність обмежені кодом.
- Арки — це криві, вибрані для узгодження ліній тиску під конкретними схемами навантаження: кола, параболи, & ланцюгові.
- Розташування майданчика використовує теорему Піфагора, щоб квадрувати кути & перевіряти прямокутники.
Математика не абстрактна: вона розрізана у кожне стропило, спрямована у кожну тятиву, та натягнута через кожен будівельний майданчик. Плотники, мулярі, та будівельники були прикладними геометрами протягом тисячоліть.