हर इमारत के ऊपर त्रिभुज
हर गेबल छत एक त्रिभुज है। उस त्रिभुज की ज्यामिति: इसकी ऊंचाई, दौड़, और कर्ण: सब कुछ निर्धारित करती है: छत कैसे पानी निकालती है, आपको कितनी सामग्री की आवश्यकता है, और कोण जो आप हर बेड़ी को काटते हैं।
ढलान ऊर्ध्वाधर ऊंचाई से क्षैतिज दौड़ का अनुपात है। एक 6/12 ढलान का अर्थ है छत क्षैतिज दौड़ के हर 12 इंच के लिए 6 इंच उठती है। एक 12/12 ढलान एक 45-डिग्री छत है। एक 4/12 ढलान एक कोमल ढलान है।
बेड़ी एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है। यदि आप ऊंचाई और दौड़ जानते हैं, तो आप बेड़ी की लंबाई जानते हैं: वह पाइथागोरस प्रमेय है जो दुनिया की हर छत पर लागू होता है।
ढलान को कोण में बदलना: कोण = arctan(ऊंचाई / दौड़)। एक 6/12 ढलान arctan(6/12) = arctan(0.5) = 26.57 डिग्री देता है। वह कोण वह है जो आप हर प्लंब कट & सीट कट को चिह्नित करने के लिए अपनी स्पीड स्क्वेयर पर सेट करते हैं।
एक छत का कोण निर्धारित करें
एक इमारत की 24-फुट अवधि है (रिज के प्रत्येक पक्ष पर 12 फुट की दौड़) & एक 9/12 ढलान का उपयोग करती है।
हिप राफ्टर & चक्कर कोण
सामान्य बेड़ी रिज बीम के लंबवत चलते हैं: उनकी ज्यामिति एक सरल समकोण त्रिभुज है। लेकिन एक हिप राफ्टर इमारत के कोने से रिज तक विकर्ण रूप से चलता है। यह एक चक्कर कोण पर बैठता है।
एक हिप राफ्टर की दौड़ एक सामान्य राफ्टर की दौड़ से लंबी है क्योंकि यह योजना में विकर्ण रूप से यात्रा करता है। एक वर्ग-कोने वाली इमारत के लिए, हिप दौड़ = सामान्य दौड़ × sqrt(2)। वह एक वर्ग का विकर्ण है।
हिप राफ्टर की ढलान हमेशा सामान्य राफ्टर की ढलान से कोमल होती है। यदि सामान्य बेड़ी 9/12 हैं, तो हिप राफ्टर 9/16.97 है (क्योंकि 12 × sqrt(2) = 16.97)। हिप कोण = arctan(9/16.97) = 27.9 डिग्री।
यह चक्कर ज्यामिति है कि हिप छत को फ्रेम करना सरल गेबल की तुलना में कठिन क्यों है: एक हिप राफ्टर पर हर कट दो कोण शामिल करते हैं, एक नहीं।
ऊंचाई, दौड़, & स्ट्रिंगर
सीढ़ियों की ज्यामिति
हर सीढ़ियाँ एक समकोण त्रिभुज है। स्ट्रिंगर: विकर्ण बोर्ड जो पदों का समर्थन करता है: कर्ण है। कुल ऊंचाई (फर्श से फर्श की ऊंचाई) & कुल दौड़ (क्षैतिज दूरी) त्रिभुज को परिभाषित करते हैं।
निर्माण संहिता ज्यामिति को कसकर सीमित करती है:
- इकाई ऊंचाई (प्रत्येक कदम की ऊंचाई): 7 से 7-3/4 इंच (IRC आवासीय कोड)
- इकाई दौड़ (प्रत्येक पद की गहराई): न्यूनतम 10 इंच
- ऊंचाई + दौड़ नियम: इकाई ऊंचाई + इकाई दौड़ 17 & 18 इंच के बीच होनी चाहिए (आरामदायक सीढ़ियों के लिए एक बढ़ई का नियम)
- सिर की जगह: सीढ़ी नोज़िंग के ऊपर किसी भी ऊपरी बाधा तक लंबवत रूप से मापी गई न्यूनतम 6 फुट 8 इंच
रिसर्स की संख्या की गणना करने के लिए: कुल ऊंचाई को आपकी लक्ष्य इकाई ऊंचाई से विभाजित करें। पूरी संख्या तक गोल करें। फिर सटीक इकाई ऊंचाई की पुनः गणना करें = कुल ऊंचाई / रिसर्स की संख्या।
उदाहरण: कुल ऊंचाई = 108 इंच (9 फुट फर्श से फर्श)। लक्ष्य इकाई ऊंचाई = 7.5 इंच। 108 / 7.5 = 14.4, तो 14 रिसर्स का उपयोग करें। सटीक इकाई ऊंचाई = 108 / 14 = 7.714 इंच। पदों की संख्या = रिसर्स - 1 = 13 (शीर्ष फर्श अंतिम 'पद' है)।
एक सीढ़ी डिजाइन करें
एक दो-मंजिला घर की फर्श-से-फर्श ऊंचाई 9 फुट 4 इंच (112 इंच) है। सीढ़ी का खोलना अधिकतम क्षैतिज दौड़ 12 फुट की अनुमति देता है।
वाइंडर सीढ़ी & पाई-स्लाइस पद
लैंडिंग के बिना कोनों को मोड़ना
जब सीढ़ियाँ मुड़ने की आवश्यकता होती है लेकिन स्थान लैंडिंग के लिए बहुत तंग होता है, तो निर्माणकर्ता वाइंडर पद का उपयोग करते हैं: पाई-आकार के पद जो एक कोने के चारों ओर पंखे के आकार में फैलते हैं।
ज्यामिति: प्रत्येक वाइंडर पद एक वृत्त का क्षेत्र है। संकीर्ण सिरा (अंदर के कोने पर) कम से कम 6 इंच चौड़ा होना चाहिए (कोड न्यूनतम)। वॉक लाइन पर मापी गई पद की गहराई (संकीर्ण पक्ष से 12 इंच) को सीधी सीढ़ियों के समान न्यूनतम को पूरा करना चाहिए: आमतौर पर 10 इंच।
एक 90-डिग्री मोड़ आमतौर पर तीन वाइंडर पद (प्रत्येक 30 डिग्री को स्पैन करते हैं) या दो वाइंडर & एक छोटी लैंडिंग का उपयोग करता है। एक 180-डिग्री मोड़ (स्विचबैक) छह वाइंडर या वाइंडर & एक आधी-लैंडिंग का संयोजन का उपयोग करता है।
वाइंडर सीढ़ियां सीधी सीढ़ियों की तुलना में बनाना अधिक चुनौतीपूर्ण है & उपयोग करना अधिक खतरनाक है: प्रत्येक पद का संकीर्ण सिरा मोड़ के अंदर कम पैर की जगह देता है। यही कारण है कि संहिता उनकी ज्यामिति को सावधानी से सीमित करती है।
मेहराब क्यों काम करती हैं
भार स्थानांतरण की ज्यामिति
एक मेहराब नीचे की ओर ऊर्ध्वाधर भार को संपीडन बल में परिवर्तित करती है जो अपने वक्र के साथ समर्थन तक प्रवाहित होते हैं। एक बीम के विपरीत, जो झुकने के माध्यम से भार का प्रतिरोध करता है (और निचले मुख पर तनाव विकसित करता है), शुद्ध संपीड़न में एक मेहराब में कोई तनाव नहीं है: और पत्थर, ईंट, & कंक्रीट सभी संपीड़न में मजबूत हैं लेकिन तनाव में कमजोर हैं।
यह समझाता है कि मेहराब को हजारों साल से पत्थर & ईंट के निर्माण में क्यों उपयोग किया गया है: वे सामग्री की शक्ति के साथ काम करते हैं, इसके विरुद्ध नहीं।
मेहराब का आकार निर्धारित करता है कि यह विभिन्न भार पैटर्न को कितनी अच्छी तरह संभालता है। विभिन्न वक्र विभिन्न भार को अनुकूल रूप से संभालते हैं।
चार मेहराब आकार
अर्धवृत्ताकार मेहराब: एक परिपूर्ण अर्ध-वृत्त। निर्माण करने के लिए सबसे सरल (बस केंद्र बिंदु से एक कम्पास झूलाएं)। भार को समान रूप से वितरित करता है। रोमन द्वारा जलसेतु, पुलों, और कोलोसियम के लिए उपयोग किया जाता है। इसकी सीमा: ऊंचाई हमेशा बिल्कुल अवधि का आधा है।
गॉथिक/नुकीली मेहराब: दो गोलाकार चाप द्वारा बनाई गई है जो केंद्र के ऊपर एक बिंदु पर मिलते हैं। चौड़ाई से अधिक लंबा हो सकता है। अधिक बल को नीचे की ओर निर्देशित करता है (कम क्षैतिज जोर), जो पतली दीवारों को अनुमति देता है। यह कारण है कि गॉथिक कैथेड्रल विशाल खिड़कियां रख सकते हैं: इंगित की गई मेहराब ने दीवारों पर बाहर की ओर धकेलने को कम किया।
परवलयिक मेहराब: y = ax² का वक्र अनुसरण करता है। समान वितरित भार ले जाने के लिए इष्टतम (जैसे समान यातायात के साथ एक पुल डेक)। परवलय सुनिश्चित करता है कि जोर की रेखा समान भार के तहत मेहराब केंद्रलंबवत को बिल्कुल अनुसरण करती है।
कैटेनरी मेहराब: एक लटकी हुई श्रृंखला द्वारा बनाया गया वक्र (उलट)। y = a × cosh(x/a) को अनुसरण करता है। इसके स्वयं के वजन को ले जाने के लिए इष्टतम। सेंट लुइस में गेटवे आर्क एक भारित कैटेनरी है: इसका आकार इसके वजन के तहत शुद्ध संपीड़न सुनिश्चित करता है कोई झुकने के बिना।
कैटेनरी & स्व-वजन
कैटेनरी वक्र वह आकार है जो एक श्रृंखला या केबल अपने स्वयं के वजन के तहत जब स्वतंत्र रूप से लटकता है तो लेता है। गणितीय रूप से, यह y = a × cosh(x/a) है, जहां 'a' एक स्थिरांक है जो श्रृंखला के वजन प्रति इकाई लंबाई & क्षैतिज तनाव पर निर्भर करता है।
यदि आप एक लटकी हुई श्रृंखला को उल्टा पलटते हैं, तो आपको कैटेनरी मेहराब मिलती है। यह मेहराब अपने वजन के तहत शुद्ध संपीड़न में है: यह लटकी हुई श्रृंखला में शुद्ध तनाव का बिल्कुल विपरीत है।
सेंट लुइस में गेटवे आर्क (630 फुट लंबा) एक भारित कैटेनरी है। आर्किटेक्ट एरो सारिनेन और इंजीनियर हानस्काल बंडेल ने इसे डिजाइन किया ताकि मेहराब का क्रॉस-सेक्शन भिन्न हो: आधार पर मोटा, शीर्ष पर पतला: और कैटेनरी समीकरण को संशोधित किया गया था इस परिवर्तनीय वजन वितरण को ध्यान में रखने के लिए।
जॉबसाइट पर कोनों को वर्ग करना
गंदगी में ज्यामिति
इससे पहले कि एक भी फुट खोदा जाए, इमारत को साइट पर सटीक ज्यामिति के साथ रखा जाना चाहिए। उपकरण सरल हैं: स्ट्रिंग लाइनें, बैटर बोर्ड, टेप के उपाय, & दांव: लेकिन आवश्यक सटीकता अधिक है।
बैटर बोर्ड क्षैतिज बोर्ड हैं दांवों पर लगे, इमारत के कोनों से पीछे की ओर सेट। बैटर बोर्ड के बीच फैली हुई स्ट्रिंग लाइनें नींव की लाइनों को चिह्नित करती हैं। बैटर बोर्ड को स्ट्रिंग संलग्न करता है जहां समायोजित करके, निर्माणकर्ता दांवों को परेशान किए बिना लेआउट को सूक्ष्म-ट्यून कर सकता है।
एक कोने को वर्ग करना 3-4-5 त्रिभुज का उपयोग करता है: सबसे सरल पाइथागोरस ट्रिपल। कोने से एक स्ट्रिंग लाइन के साथ 3 फुट मापें, दूसरी स्ट्रिंग लाइन के साथ 4 फुट, और यदि विकर्ण बिल्कुल 5 फुट है, तो कोना 90 डिग्री है। अधिक सटीकता के लिए, गुणकों का उपयोग करें: 6-8-10, 9-12-15, या 12-16-20।
एक आयत का सत्यापन विकर्ण माप का उपयोग करता है। एक सच्चे आयत में, दोनों विकर्ण समान होने चाहिए। यदि नहीं हैं, तो लेआउट एक समांतर चतुर्भुज है & समायोजन की आवश्यकता है। यह चेक त्रुटियों को पकड़ता है जो व्यक्तिगत कोनों पर 3-4-5 विधि को याद आ सकता है।
लेजर स्तर प्रकाश का एक क्षैतिज संदर्भ विमान प्रोजेक्ट करते हैं। एक घूर्णन लेजर पूरी साइट के चारों ओर एक स्तर रेखा स्थापित करता है, निर्माणकर्ता को किसी भी बिंदु पर ऊंचाई की जांच करने की अनुमति देता है। लेजर स्तर से पहले, निर्माणकर्ताओं ने एक जल स्तर का उपयोग किया: पानी से भरी एक लंबी ट्यूब, इस तथ्य पर भरोसा करते हुए कि पानी अपने स्तर की तलाश करता है।
3-4-5 विधि
3-4-5 त्रिभुज काम करता है क्योंकि 3² + 4² = 5² (9 + 16 = 25)। यह पाइथागोरस प्रमेय है: यदि एक समकोण त्रिभुज का कर्ण अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर है, तो कोण बिल्कुल 90 डिग्री है।
एक निर्माण साइट पर, आप टेप के साथ काम करते हैं। आप एक पैर पर 3 फुट, दूसरे पैर पर 4 फुट चिह्नित करते हैं, & जांचते हैं कि विकर्ण 5 फुट है। यदि विकर्ण बहुत लंबा है, तो कोण 90 डिग्री से अधिक है (obtuse)। यदि बहुत छोटा है, तो कोण 90 डिग्री से कम है (acute)।
ज्यामिति एक बिल्डर की भाषा बोलती है
आपने क्या सीखा है
इस पाठ का प्रत्येक खंड समान उपकरणों पर वापस आता है: समकोण त्रिभुज, पाइथागोरस प्रमेय, त्रिकोणमितीय कार्य, & गणितीय समीकरणों द्वारा परिभाषित वक्र।
- छतें समकोण त्रिभुज हैं। ढलान ऊंचाई/दौड़ है। राफ्टर की लंबाई कर्ण है। कोण arctan से आते हैं।
- सीढ़ियां समकोण त्रिभुज हैं। स्ट्रिंगर कर्ण है। ऊंचाई & दौड़ कोड द्वारा सीमित हैं।
- मेहराब वक्र हैं जो विशिष्ट भार पैटर्न के तहत जोर की रेखाओं से मेल खाने के लिए चुने जाते हैं: वृत्त, परवलय, & कैटेनरी।
- साइट लेआउट पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कोनों को वर्ग करने & आयतों को सत्यापित करने के लिए करता है।
गणित अमूर्त नहीं है: यह हर राफ्टर में काटा जाता है, हर स्ट्रिंगर में रूट किया जाता है, और हर निर्माण साइट में फैलाया जाता है। बढ़ई, मिस्त्री, & निर्माणकर्ता हजारों साल से लागू ज्यामितर रहे हैं।