Trójkąt na Szczycie Każdego Budynku
Każdy dach szczytowy jest trójkątem. Geometria tego trójkąta: jego wzrost, bieg i przeciwprostokątna: określa wszystko: jak dach odprowadza wodę, ile materiału potrzebujesz i jaki kąt otniesz na każdej krokwi.
Nachylenie to stosunek pionowego wzrostu do poziomego biegu. Nachylenie 6/12 oznacza, że dach rośnie 6 cali na każde 12 cali biegu poziomego. Nachylenie 12/12 to dach pod kątem 45 stopni. Nachylenie 4/12 to łagodne nachylenie.
Krokiew to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego. Jeśli znasz wzrost i bieg, znasz długość krokwi: to twierdzenie Pitagorasa stosowane do każdego dachu na świecie.
Konwersja nachylenia na kąt: kąt = arctan(wzrost / bieg). Nachylenie 6/12 daje arctan(6/12) = arctan(0,5) = 26,57 stopni. Ten kąt to to, co ustawiasz na swojej szybkiej kwadracie, aby zaznaczyć każde cięcie pionu i cięcie siedziska na krokwi.
Oblicz Kąt Dachu
Budynek ma rozpiętość 24 stóp (12 stóp biegu na każdej stronie grzebienia) i używa nachylenia 9/12.
Krokwie Biodrowe i Kąty Złożone
Zwykłe krokwie biegną prostopadle do belki grzebienia: ich geometria to prosty trójkąt prostokątny. Ale krokiew biodrowa biegnie ukośnie z rogu budynku do grzebienia. Siedzi pod kątem złożonym.
Bieg krokwi biodropwej jest dłuższy niż bieg zwykłej krokwi, ponieważ przebywa ukośnie przez plan. Dla budynku o kwadratowych narożnikach, bieg biodrowy = bieg zwykły × sqrt(2). To przekątna kwadratu.
Nachylenie krokwi biodropwej jest zawsze bardziej łagodne niż nachylenie zwykłej krokwi. Jeśli zwykłe krokwie to 9/12, krokiew biodrowa to 9/16,97 (ponieważ 12 × sqrt(2) = 16,97). Kąt biodrowy = arctan(9/16,97) = 27,9 stopni.
Ta geometria złożona to dlatego dachy biodrowe są trudniejsze do obudowy niż proste szczytowe: każde cięcie na krokwi biodropwej obejmuje dwa kąty, nie jeden.
Podstopień, Bieżnia i Konar
Geometria Schodów
Każde schody to trójkąt prostokątny. Konar: deska ukośna wspierająca bieżnie: to przeciwprostokątna. Całkowity wzrost (podłoga do podłogi wysokość) i całkowity bieg (odległość pozioma) definiują trójkąt.
Kodeksy budowlane ściśle ograniczają geometrię:
- Jednostkowy wzrost (każdy stopień wysokości): 7 do 7-3/4 cala (międzynarodowy kodeks budowlany dla budownictwa mieszkalnego)
- Jednostkowy bieg (każda głębia bieżni): minimum 10 cali
- Reguła wzrostu + biegu: jednostkowy wzrost + jednostkowy bieg powinny być między 17 & 18 cali (praktyczna reguła cieśli dla wygodnych schodów)
- Wysokość prześwitu: minimum 6 stóp 8 cali mierzone pionowo od nosa bieżni do jakiejkolwiek przeszkody nad głową
Aby obliczyć liczbę podstopni: podziel całkowity wzrost przez docelowy jednostkowy wzrost. Zaokrąglij do liczby całkowitej. Następnie przelicz dokładny jednostkowy wzrost = całkowity wzrost / liczba podstopni.
Przykład: całkowity wzrost = 108 cali (9 stóp podłoga do podłogi). Docelowy jednostkowy wzrost = 7,5 cala. 108 / 7,5 = 14,4, więc użyj 14 podstopni. Dokładny jednostkowy wzrost = 108 / 14 = 7,714 cala. Liczba bieżni = podstopnie - 1 = 13 (górna podłoga to ostatnia 'bieżnia').
Zaprojektuj Schody
Dom dwupiętrowy ma wysokość podłoga-do-podłogi 9 stóp 4 cale (112 cali). Otwarcie klatki schodowej pozwala na maksymalny bieg poziomy 12 stóp.
Schody Obrotowe i Bieżnie w Kształcie Placka
Obracanie Narożników Bez Platformy
Kiedy klatka schodowa musi się obracać, ale miejsce jest zbyt ciasne na platformę, konstruktorzy używają bieżni obrotowych: bieżni w kształcie placka, które rozciągają się wokół narożnika.
Geometria: każda bieżnia obrotowa to sektor koła. Wąski koniec (w wewnętrznym rogu) musi mieć szerokość co najmniej 6 cali (minimum kodeksu). Głębia bieżni mierzona w linii chodzenia (12 cali od wąskiego boku) musi spełniać takie same minimum jak bieżnie proste: zazwyczaj 10 cali.
Obrót o 90 stopni zwykle wykorzystuje trzy bieżnie obrotowe (każda obejmująca 30 stopni) lub dwie bieżnie plus małą platformę. Obrót o 180 stopni (przełącznik) wykorzystuje sześć bieżni obrotowych lub kombinację bieżni obrotowych & półplatformy.
Schody obrotowe są trudniejsze do budowy i bardziej niebezpieczne w użytkowaniu niż schody proste: wąski koniec każdej bieżni daje mniej miejsca na stopę wewnątrz obrotu. Dlatego kodeksy ściśle ograniczają ich geometrię.
Dlaczego Łuki Działają
Geometria Transferu Obciążenia
Łuk konwertuje obciążenia pionowe skierowane w dół na siły ściskające, które płyną wzdłuż jego krzywej do podpór. W przeciwieństwie do belki, która opiera się obciążeniom poprzez zginanie (i tworzy napięcie na dolnej powierzchni), łuk w czystym ściskowaniu nie ma napięcia: a kamień, cegła i beton są silne w ściskowaniu, ale słabe w napięciu.
To wyjaśnia, dlaczego łuki były używane przez tysiące lat w budownictwie kamiennym & ceglanym: działają z wytrzymałością materiału, nie przeciwko niej.
Kształt łuku określa, jak dobrze radzi sobie z różnymi wzorcami obciążenia. Różne krzywe optymalnie radzą sobie z różnymi obciążeniami.
Cztery Kształty Łuków
Łuk półkolisty: doskonały półkole. Najprostszy do zbudowania (wystarczy obrócić kompas z punktu środkowego). Równomiernie rozdziela obciążenie. Używany przez Rzymian do akwedduktów, mostów i Koloseum. Jego ograniczenie: wysokość to zawsze dokładnie połowa rozpiętości.
Łuk gotycki/Spiczasty łuk: utworzony przez dwa łuki kołowe, które spotykają się w punkcie powyżej środka. Może być wyższy niż szeroki. Kieruje więcej siły w dół (mniej pchania poziomego), co pozwala na cieńsze ściany. Dlatego katedry gotyckie mogły mieć ogromne okna: spiczaste łuki zmniejszały zewnętrzne parcie na ściany.
Łuk paraboliczny: podąża za krzywą y = ax². Optymalny do przenoszenia równomiernie rozłożonego obciążenia (jak pokład mostu z równomiernym ruchem). Parabola gwarantuje, że linia parcia podąża dokładnie za liniią środkową łuku pod równomiernym obciążeniem.
Łuk łańcuchowy: krzywa utworzona przez wiszący łańcuch (odwrócony). Podąża za y = a × cosh(x/a). Optymalny do przenoszenia własnego ciężaru. Gateway Arch w St. Louis jest ważonym łańcuchem: jego kształt gwarantuje czysty nacisk pod jego własnym ciężarem bez zginania.
Łańcuch & Własny Ciężar
Krzywa łańcuchowa to kształt, jaki przyjmuje łańcuch lub kabel, gdy wisi swobodnie pod własnym ciężarem. Matematycznie jest to y = a × cosh(x/a), gdzie 'a' to stała zależna od ciężaru łańcucha na jednostkę długości & napięcia poziomego.
Jeśli odwrócisz wisący łańcuch do góry nogami, otrzymasz łuk łańcuchowy. Ten łuk jest w czystym ściskowaniu pod jego własnym ciężarem: to dokładne odwrócenie czystego napięcia w wiszącym łańcuchu.
Gateway Arch w St. Louis (630 stóp wysoki) to ważony łuk łańcuchowy. Eero Saarinen i inżynier Hannskarl Bandel zaprojektowali go tak, aby przekrój poprzeczny łuku się zmieniał: grubszy u podstawy, cieńszy u góry: a równanie łańcucha było modyfikowane, aby uwzględnić ten zmienny rozkład ciężaru.
Ustawianie Kwadratowych Narożników na Terenie Pracy
Geometria w Ziemi
Zanim kopany jest nawet jeden fundament, budynek musi być rozłożony na terenie z dokładną geometrią. Narzędzia to proste: liny, deski nawierzchniowe, taśmy miernicze i pale: ale wymagana precyzja jest wysoka.
Deski nawierzchniowe to poziome deski zamontowane na palach, ustawione z powrotem od narożników budynku. Liny rozciągnięte między deskami nawierzchniowymi oznaczają linie fundamentu. Poprzez dostosowanie gdzie lina przywiązuje się do deski nawierzchniowej, budowniczy może dostroić układ bez disturbing stake.
Ustawianie kwadratowego narożnika używa trójkąta 3-4-5: najprostszego pitagorejskiego triple. Zmierz 3 stopy wzdłuż jednej liny od narożnika, 4 stopy wzdłuż drugiej liny, i jeśli przekątna wynosi dokładnie 5 stóp, narożnik to 90 stopni. Dla większej dokładności, używaj wielokrotności: 6-8-10, 9-12-15, lub 12-16-20.
Weryfikacja prostokąta używa pomiarów diagonalnych. W prawdziwym prostokącie obie przekątne muszą być równe. Jeśli nie są, układ to równoległy bok & wymaga dostosowania. Ta kontrola łapie błędy, które metoda 3-4-5 na poszczególnych narożnikach mogłaby pominąć.
Lasery poziomujące projektują poziomą płaszczyznę światła. Wirujący laser ustanawia poziomą linię wokół całego terenu, pozwalając budowniczemu sprawdzić elewacje w dowolnym punkcie. Zanim lasery poziomujące, budowniczy użytkowali poziomu wodnego: długa tuba wypełniona wodą, polegając na fakcie, że woda szuka swojego poziomu.
Metoda 3-4-5
Trójkąt 3-4-5 działa, ponieważ 3² + 4² = 5² (9 + 16 = 25). To twierdzenie Pitagorasa: jeśli przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego równa się pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów dwóch pozostałych boków, kąt wynosi dokładnie 90 stopni.
Na terenie budowy pracujesz z taśmami mierniczymi. Zaznaczasz 3 stopy na jednym ramieniu, 4 stopy na drugim, & sprawdzasz czy przekątna wynosi 5 stóp. Jeśli przekątna jest zbyt długa, kąt jest większy niż 90 stopni (rozwarty). Jeśli zbyt krótka, kąt jest mniejszy niż 90 stopni (ostry).
Geometria Mówi Językiem Budowniczego
Co się Nauczyłeś
Każda sekcja tej lekcji wraca do tych samych narzędzi: trójkątów prostokątnych, twierdzenia Pitagorasa, funkcji trygonometrycznych, & krzywych określonych przez równania matematyczne.
- Dachy to trójkąty prostokątne. Nachylenie to wzrost/bieg. Długość krokwi to przeciwprostokątna. Kąty pochodzą z arctan.
- Schody to trójkąty prostokątne. Konar to przeciwprostokątna. Wzrost & bieg są ograniczone przez kodeks.
- Łuki to krzywe wybrane aby dopasować linie parcia pod określonymi wzorcami obciążenia: koła, parabole, & łańcuchy.
- Układ terenu używa twierdzenia Pitagorasa do ustawiania kwadratowych narożników & weryfikacji prostokątów.
Matematyka nie jest abstrakcyjna: jest wciętą w każdą krokiew, routerowana w każdy konar, i rozciągnięta poprzez każdy teren budowy. Cieśle, murarze i budowniczowie przez tysiące lat byli stosowanymi geometrami.