مثلث فوق كل مبنى
كل سقف ذو جملون هو مثلث. هندسة ذلك المثلث: ارتفاعه و امتداده الأفقي و وتره: تحدد كل شيء: كيف يصرف السقف المياه و كم مادة تحتاج و الزاوية التي تقطع عندها كل جائز.
الميل هو نسبة الارتفاع الرأسي إلى الامتداد الأفقي. ميل 6/12 يعني السقف يرتفع 6 بوصات لكل 12 بوصة امتداد أفقي. ميل 12/12 هو سقف بزاوية 45 درجة. ميل 4/12 هو منحدر لطيف.
الجائز هو وتر المثلث القائم. إذا عرفت الارتفاع و الامتداد الأفقي فأنت تعرف طول الجائز: هذا هو نظرية فيثاغورس المطبقة على كل سقف في العالم.
تحويل الميل إلى زاوية: الزاوية = arctangent(الارتفاع / الامتداد الأفقي). ميل 6/12 يعطي arctangent(6/12) = arctangent(0.5) = 26.57 درجة. هذه الزاوية هي ما تضبطه على مسطرتك لتحديد كل قطع في الجائز.
احسب زاوية السقف
مبنى يبلغ امتداده 24 قدماً (12 قدماً امتداد أفقي على كل جانب من السلسلة) و يستخدم ميل 9/12.
جائزات الورك و الزوايا المركبة
الجائزات العادية تركض عمودية على شعاع السلسلة: هندستها مثلث قائم بسيط. لكن جائز الورك يركض قطرياً من زاوية المبنى إلى شعاع السلسلة. يجلس بزاوية مركبة.
جائز الورك الامتداد الأفقي أطول من امتداد الجائز العادي لأنه يسير قطرياً عبر الخطة. لمبنى بزوايا مربعة امتداده الأفقي = امتداد عادي × sqrt(2). هذا هو قطر المربع.
ميل جائز الورك دائماً أقل من ميل الجائز العادي. إذا كانت الجائزات العادية 9/12 فإن جائز الورك 9/16.97 (لأن 12 × sqrt(2) = 16.97). زاوية الورك = arctangent(9/16.97) = 27.9 درجة.
هذه الهندسة المركبة هي لماذا أسقف الورك أصعب في الإطار من الجملونات البسيطة: كل قطع على جائز ورك يتضمن زاويتين وليس واحدة.
الارتفاع و الامتداد و السور
هندسة السلالم
كل سلم هو مثلث قائم. السور: لوح قطري يدعم الدرجات: هو الوتر. الارتفاع الكلي (أرضية لأرضية) و الامتداد الأفقي الكلي يحددان المثلث.
أكواد البناء تقيد الهندسة بإحكام:
- الارتفاع الوحدة (ارتفاع كل درجة): 7 إلى 7-3/4 بوصة (قانون IRC السكني)
- امتداد الوحدة (عمق كل درجة): 10 بوصات كحد أدنى
- قاعدة الارتفاع + الامتداد: ارتفاع الوحدة + امتداد الوحدة يجب أن يكون بين 17 & 18 بوصة (قاعدة النجار لسلالم مريحة)
- المسافة الحرة: 6 أقدام 8 بوصات كحد أدنى مقاسة رأسياً من أنف السلم إلى أي عائق فوقي
لحساب عدد القوائم: اقسم الارتفاع الكلي على ارتفاع الوحدة المستهدف. قرب إلى رقم كامل. ثم أعد حساب ارتفاع الوحدة الدقيق = الارتفاع الكلي / عدد القوائم.
مثال: الارتفاع الكلي = 108 بوصات (9 أقدام أرضية لأرضية). ارتفاع الوحدة المستهدف = 7.5 بوصات. 108 / 7.5 = 14.4 لذلك استخدم 14 قائم. ارتفاع الوحدة الدقيق = 108 / 14 = 7.714 بوصات. عدد الدرجات = قوائم - 1 = 13 (الأرضية العلوية هي آخر 'درجة').
صمم سلماً
منزل ثنائي الأرضية به مسافة أرضية لأرضية 9 أقدام 4 بوصات (112 بوصة). فتحة السلم تسمح بامتداد أفقي أقصى 12 قدماً.
سلالم الحنجرة و درجات الفطيرة
الدوران حول الزوايا بدون هبوط
عندما تحتاج السلم للدوران لكن المساحة ضيقة جداً لهبوط يستخدم البناؤون درجات حنجرة: درجات على شكل فطيرة تتسع حول زاوية.
الهندسة: كل درجة حنجرة قطاع من دائرة. النهاية الضيقة (عند الزاوية الداخلية) يجب أن تكون 6 بوصات على الأقل عريضة (كحد أدنى الكود). عمق الدرجة مقاس في خط المشي (12 بوصة من الجانب الضيق) يجب أن يستوفي نفس الحد الأدنى مثل الدرجات المستقيمة: عادة 10 بوصات.
دوران 90 درجة عادة يستخدم ثلاث درجات حنجرة (كل واحد يمتد 30 درجة) أو درجتا حنجرة بالإضافة إلى هبوط صغير. دوران 180 درجة (ارتجاع) يستخدم ست درجات حنجرة أو مزيج من درجات حنجرة و هبوط نصفي.
سلالم الحنجرة أكثر تحدياً في البناء و أكثر خطورة في الاستخدام من السلالم المستقيمة: النهاية الضيقة لكل درجة تعطي مساحة قدم أقل في داخل الدوران. هذا لماذا أكواد تقيد هندستها بعناية.
لماذا الأقواس تعمل
هندسة نقل الحمل
قوس يحول الأحمال الرأسية الهابطة إلى قوى انضغاطية تتدفق على طول منحنى إلى الدعامات. بخلاف شعاع الذي يقاوم الأحمال عن طريق الانحناء (و ينمي التوتر على الوجه السفلي) قوس في ضغط نقي لا يوجد توتر: و الحجر والآجر والخرسانة كل قوية في الضغط لكن ضعيفة في التوتر.
هذا يشرح لماذا الأقواس تُستخدم لآلاف السنين في بناء الحجر والآجر: تعمل مع قوة المادة وليس ضدها.
شكل القوس يحدد كيف جيداً يتعامل مع أنماط تحميل مختلفة. منحنيات مختلفة تعامل أحمال مختلفة بشكل أمثل.
أربع أشكال قوس
قوس نصف دائري: نصف دائرة مثالي. الأبسط في البناء (فقط أرجح بوصلة من نقطة المركز). يوزع الحمل بالتساوي. استخدمه الرومان للقنوات المائية و الجسور و الكولوسيم. حده: الارتفاع دائماً بالضبط نصف الامتداد.
قوس قوطي/مدبب: يتشكل بواسطة قوسين دائريين يلتقيان عند نقطة فوق المركز. يمكن أن يكون أطول من أنه عريض. يوجه المزيد من القوة هبوطاً (أقل ضغط أفقي) الذي يسمح بجدران أرقّ. هذا لماذا الكاتدرائيات القوطية يمكن أن تمتلك نوافذ ضخمة: الأقواس المدببة قللت الضغط الخارجي على الجدران.
قوس مكافئ: يتبع المنحنى y = ax². مثالي لحمل موزع موحد (مثل جسر سطح مع حركة مرور متساوية). المكافئة تضمن أن خط الضغط يتبع خط وسط القوس بالضبط تحت حمل موحد.
قوس سلسلة معكوس: المنحنى الذي تتخذه السلسلة المعلقة (معكوس). يتبع y = a × cosh(x/a). مثالي لحمل وزنه الخاص. بوابة غايتواي في سانت لويس قوس سلسلة موزون: شكله يضمن ضغط نقي تحت وزنه الخاص بدون انحناء.
سلسلة معكوس & الوزن الذاتي
منحنى سلسلة معكوس هو الشكل الذي تأخذه السلسلة أو الكبل عندما يتدلى بحرية تحت وزنه الخاص. رياضياً يكون y = a × cosh(x/a) حيث 'a' ثابت يعتمد على وزن السلسلة لكل طول الوحدة و التوتر الأفقي.
إذا قلبت سلسلة معلقة رأساً على عقب تحصل على قوس سلسلة معكوس. قوس هذا في ضغط نقي تحت وزنه الخاص: هو معكوس بالضبط التوتر النقي في السلسلة المعلقة.
بوابة غايتواي في سانت لويس (630 قدماً عالية) قوس سلسلة معكوس موزون. صمح إيرو سارينن و مهندس هانسكارل باندل أنه بحيث مقطع القوس يختلف: أسمك في القاعدة أرقّ في الأعلى: و معادلة سلسلة معكوس عُدّلت لحساب توزيع الوزن المتغير.
تربيع الزوايا على موقع العمل
الهندسة في التراب
قبل أي أساس يُحفر يجب تخطيط المبنى على الموقع بهندسة دقيقة. الأدوات بسيطة: خطوط الخيط و لوحات الانحدار و أشرطة القياس و الأوتاد: لكن الدقة المطلوبة عالية.
لوحات الانحدار لوحات أفقية مثبتة على أوتاد مرجعية يتم تعيينها خلف زوايا المبنى. خطوط الخيط الممدودة بين لوحات الانحدار تحدد خطوط الأساس. بضبط حيث الخيط يرتبط بلوحة الانحدار يمكن للبناء أن يضبط بدقة التخطيط دون إزعاج الأوتاد.
تربيع الزاوية يستخدم مثلث 3-4-5: أبسط ثلاثي فيثاغورس. قيس 3 أقدام على طول خط خيط واحد من الزاوية 4 أقدام على طول خط الخيط الآخر و إذا القطر بالضبط 5 أقدام الزاوية 90 درجة. لدقة أكبر استخدم المضاعفات: 6-8-10 9-12-15 أو 12-16-20.
التحقق من المستطيل يستخدم قياسات قطرية. في مستطيل حقيقي كلا القطرين يجب أن يكون متساويان. إذا لم يكونا الخطة متوازي أضلاع و يحتاج تعديل. هذا الفحص يمسك الأخطاء التي طريقة 3-4-5 عند الزوايا الفردية قد تفقدها.
مستويات الليزر تعكس خط مرجعي أفقي من الضوء. الليزر الدوار ينشئ خط مستوى حول الموقع كله يسمح البناء بفحص الارتفاعات في أي نقطة. قبل مستويات الليزر البناؤون استخدموا مستوى ماء: أنبوب طويل ممتلئ بالماء يعتمد على حقيقة أن الماء يجد مستوى خاص به.
طريقة 3-4-5
مثلث 3-4-5 يعمل لأن 3² + 4² = 5² (9 + 16 = 25). هذا نظرية فيثاغورس: إذا وتر مثلث قائم يساوي جذر المجموع مربعات الجانبين الآخرين الزاوية بالضبط 90 درجة.
على موقع بناء تعمل مع أشرطة قياس. تحدد 3 أقدام على ساق واحد 4 أقدام على الآخر & تفحص أن القطري 5 أقدام. إذا القطري طويل جداً الزاوية أكبر من 90 درجة (منفرجة). إذا قصير جداً الزاوية أقل من 90 درجة (حادة).
الهندسة تتحدث لغة البناء
ما تعلمته
كل قسم من هذا الدرس يعود لنفس الأدوات: مثلثات قائمة و نظرية فيثاغورس و دوال مثلثية و منحنيات معرفة بمعادلات رياضية.
- السقوف مثلثات قائمة. الميل ارتفاع/امتداد أفقي. طول الجائز الوتر. الزوايا تأتي من arctangent.
- السلالم مثلثات قائمة. السور الوتر. الارتفاع و الامتداد الأفقي محدود بالكود.
- الأقواس منحنيات اختيرت لمطابقة خطوط الضغط تحت أنماط تحميل محددة: دوائر مكافئات و سلاسل معكوس.
- تخطيط الموقع يستخدم نظرية فيثاغورس لتربيع الزوايا و التحقق من المستطيلات.
الرياضيات ليست مجردة: إنها مقطوعة في كل جائز موجهة في كل سور و ممدودة عبر كل موقع بناء. النجارون و البنّاؤون و البناة تاريخياً كانوا هندسيين تطبيقيين لآلاف السنين.