每座建筑顶部的三角形
每个山形屋顶都是一个三角形。那个三角形的几何:它的高度、跨度和斜边:决定了一切:屋顶如何排水、需要多少材料,以及你切割每根椽子的角度。
坡度是竖直上升与水平跨度的比率。坡度6/12表示屋顶在每12英寸的水平跨度上上升6英寸。坡度12/12是45度的屋顶。坡度4/12是一个缓坡。
椽子是直角三角形的斜边。如果你知道高度和跨度,你就知道椽子长度:这是应用于世界上每个屋顶的勾股定理。
将坡度转换为角度:角度 = arctan(高度 / 跨度)。坡度6/12给出 arctan(6/12) = arctan(0.5) = 26.57度。这个角度是你在速度方形上设置的,用来标记椽子上的每个竖切和座切。
计算屋顶角度
一座建筑的跨度为24英尺(脊两侧每侧12英尺的跨度),使用坡度9/12。
髋椽和复合角
普通椽子垂直于脊梁:它们的几何是一个简单的直角三角形。但是髋椽从建筑的角落斜向脊梁。它以复合角坐着。
髋椽的跨度比普通椽子的跨度更长,因为它沿对角线穿过平面。对于方形角的建筑,髋跨度 = 普通跨度 × sqrt(2)。这是正方形的对角线。
髋椽的坡度总是比普通椽子的坡度更浅。如果普通椽子是9/12,髋椽是9/16.97(因为12 × sqrt(2) = 16.97)。髋角度 = arctan(9/16.97) = 27.9度。
这种复合几何是为什么髋屋顶比简单山形屋顶更难建框架:髋椽上的每个切割都涉及两个角,而不是一个。
升高、跨度和梯板
楼梯的几何
每条楼梯都是一个直角三角形。梯板:支撑踏步的对角线木板:是斜边。总高度(楼层到楼层)和总跨度(水平距离)定义三角形。
建筑规范紧密限制几何:
- 单位高度(每级高度):7到7-3/4英寸(IRC住宅规范)
- 单位跨度(每个踏步深度):最小10英寸
- 高度+跨度规则:单位高度+单位跨度应该在17和18英寸之间(木匠的经验法则,用于舒适的楼梯)
- 净空高度:从楼梯鼻到任何上方障碍物,垂直测量最少6英尺8英寸
要计算升级数:用总高度除以你的目标单位高度。四舍五入到整数。然后重新计算精确单位高度 = 总高度 / 升级数。
例子:总高度 = 108英寸(楼层到楼层9英尺)。目标单位高度 = 7.5英寸。108 / 7.5 = 14.4,所以使用14个升级。精确单位高度 = 108 / 14 = 7.714英寸。踏步数 = 升级 - 1 = 13(顶层是最后一个'踏步')。
设计一个楼梯
一座两层楼的房子有楼层到楼层的高度为9英尺4英寸(112英寸)。楼梯井口允许最大水平跨度12英尺。
回旋楼梯和扇形踏步
转弯时没有休息平台
当楼梯需要转弯但空间太紧而不能有休息平台时,建筑工人使用回旋踏步:扇形踏步,围绕角落呈扇形展开。
几何:每个回旋踏步是圆的一个扇形。狭窄端(在内角)必须至少6英寸宽(规范最小值)。在行走线(距离狭窄侧12英寸处)测量的踏步深度必须满足与直踏步相同的最小值:通常10英寸。
90度转弯通常使用三个回旋踏步(每个跨度30度)或两个回旋加一个小休息平台。180度转弯(折返)使用六个回旋或回旋和半平台的组合。
回旋楼梯比直楼梯更难建造,使用起来也更危险:每个踏步的狭窄端在转弯内侧给予较少的脚部空间。这就是为什么规范严格限制它们的几何。
拱门为何奏效
荷载传递的几何
拱门将向下的竖直荷载转换为沿其曲线到支座的压力。与梁不同(梁通过弯曲来抵抗荷载,在底面产生张力),纯压力拱没有张力:石头、砖和混凝土都在压力下强,但在张力下弱。
这解释了为什么拱已被用于成千上万年的石头和砖头建筑中:它们与材料的强度相配合,而不是对抗。
拱的形状决定了它如何处理不同的加载模式。不同的曲线最优地处理不同的荷载。
四种拱形
半圆形拱:完美的半圆。最简单的构造(只需从中心点摆动指南针)。均匀分配荷载。被罗马人用于渡槽、桥梁和竞技场。它的局限:高度总是跨度的恰好一半。
哥特式/尖顶拱:由在中心上方的一个点相交的两条圆形圆弧形成。可以比宽还高。将更多力向下传递(较少水平推力),允许更薄的墙。这就是为什么哥特式教堂可以有巨大的窗户:尖顶拱减少了对墙的外向推力。
抛物线拱:遵循曲线 y = ax²。最优用于承载均匀分布的荷载(如承载均匀交通的桥面)。抛物线确保在均匀荷载下,推力线完全沿拱中心线。
悬链线拱:悬挂链条形成的曲线(倒过来)。遵循 y = a × cosh(x/a)。最优用于承载其自身重量。圣路易斯网关拱是加权悬链线:它的形状确保在自身重量下的纯压力,没有弯曲。
悬链线和自重
悬链线曲线是链条或缆绳在自身重量下自由悬挂时采取的形状。数学上,它是 y = a × cosh(x/a),其中'a'是一个取决于链条的单位重量和水平张力的常数。
如果你将悬挂的链条上下翻转,你会得到一个悬链线拱。这个拱在其自身重量下处于纯压力:它是悬挂链条中的纯张力的完全相反。
圣路易斯网关拱(630英尺高)是加权悬链线。建筑师埃罗·沙里宁和工程师汉斯卡尔·班德尔设计它使得拱的截面变化:底部厚,顶部薄:悬链线方程被修改以考虑这个变化的重量分布。
在工作地点平方角
在土地上的几何
在挖单个基脚之前,建筑必须用精确的几何布局在场地上。工具很简单:绳线、斜撑板、卷尺和桩:但所需的精度很高。
斜撑板是水平木板,安装在桩上,设置在建筑角落后面。在斜撑板之间拉伸的绳线标记基础线。通过调整绳线附着到斜撑板的位置,建筑工人可以微调布局而不干扰桩。
平方角使用3-4-5三角形:最简单的勾股数。沿一条绳线从角落测量3英尺,沿另一条绳线测量4英尺,如果对角线正好是5英尺,角落是90度。为了获得更好的精度,使用倍数:6-8-10、9-12-15或12-16-20。
验证矩形使用对角线测量。在真正的矩形中,两条对角线必须相等。如果它们不相等,布局是平行四边形,需要调整。这个检查捕捉3-4-5方法在各个角落可能遗漏的错误。
激光水平仪投射一个光的水平参考平面。旋转激光在整个场地建立一条水平线,允许建筑工人在任何点检查高程。在激光水平仪之前,建筑工人使用水位:一条装满水的长管,依赖水寻找自己水平的事实。
3-4-5方法
3-4-5三角形有效是因为3² + 4² = 5²(9 + 16 = 25)。这是勾股定理:如果直角三角形的斜边等于其他两条边的平方和的平方根,角度正好是90度。
在建筑工地上,你使用卷尺。你在一条腿上标记3英尺,在另一条腿上标记4英尺,并检查对角线是否为5英尺。如果对角线太长,角度大于90度(钝角)。如果太短,角度小于90度(锐角)。
几何讲一个建筑工人的语言
你学到了什么
本课的每一部分都回到相同的工具:直角三角形、勾股定理、三角函数和由数学方程定义的曲线。
- 屋顶是直角三角形。坡度是高度/跨度。椽子长度是斜边。角度来自 arctan。
- 楼梯是直角三角形。梯板是斜边。高度和跨度由规范限制。
- 拱门是选择与特定荷载模式下的推力线相匹配的曲线:圆、抛物线和悬链线。
- 场地布局使用勾股定理来平方角并验证矩形。
数学不是抽象的:它被切入每根椽子,路由进每个梯板,并拉伸跨越每个建筑工地。木匠、砖匠和建筑工人数千年来一直是应用几何学家。