Tam giác Trên Đỉnh Mỗi Tòa Nhà
Mỗi mái nhà hình tam giác là một hình tam giác. Hình học của tam giác đó: độ cao của nó, tầm của nó, & cạnh huyền của nó: xác định mọi thứ: cách mái nhà che chắn nước, bao nhiêu vật liệu bạn cần, & góc bạn cắt trên mỗi xà nhà.
Độ dốc là tỷ lệ giữa độ cao dọc và tầm ngang. Độ dốc 6/12 có nghĩa là mái nhà tăng 6 inch cho mỗi 12 inch chạy ngang. Độ dốc 12/12 là mái nhà 45 độ. Độ dốc 4/12 là một độ dốc nhẹ.
Xà nhà là cạnh huyền của một tam giác vuông. Nếu bạn biết độ cao & tầm, bạn biết độ dài xà nhà: đó là định lý Pitago áp dụng cho mỗi mái nhà trên thế giới.
Chuyển đổi độ dốc thành góc: góc = arctan(độ cao / tầm). Độ dốc 6/12 cho arctan(6/12) = arctan(0.5) = 26,57 độ. Góc đó là thứ bạn đặt trên thước tốc độ của mình để đánh dấu mỗi lần cắt dựng & cắt ghế trên xà nhà.
Tính Góc Mái Nhà
Một tòa nhà có khoảng 24 feet (12 feet chạy trên mỗi bên của sườn) & sử dụng độ dốc 9/12.
Xà Mái Xiên & Góc Phức tạp
Xà nhà thông thường chạy vuông góc với sườn mái: hình học của chúng là một tam giác vuông đơn giản. Nhưng xà mái xiên chạy chéo từ góc tòa nhà đến sườn. Nó ngồi ở một góc phức tạp.
Tầm của xà mái xiên dài hơn tầm của xà nhà thông thường vì nó đi chéo qua bản vẽ. Đối với tòa nhà có góc vuông, tầm xà mái xiên = tầm thông thường × sqrt(2). Đó là đường chéo của một hình vuông.
Độ dốc xà mái xiên luôn nông hơn độ dốc xà nhà thông thường. Nếu xà nhà thông thường là 9/12, xà mái xiên là 9/16,97 (vì 12 × sqrt(2) = 16,97). Góc xà mái xiên = arctan(9/16,97) = 27,9 độ.
Hình học phức tạp này là lý do tại sao mái nhà xiên khó khổn hơn mái nhà hình tam giác đơn giản: mỗi lần cắt trên xà mái xiên liên quan đến hai góc, không phải một.
Độ Cao, Tầm, & Dầm Cầu Thang
Hình học của Cầu Thang
Mỗi cầu thang là một tam giác vuông. Dầm cầu thang: tấm bê tông đường chéo hỗ trợ bậc: là cạnh huyền. Tổng độ cao (từ sàn đến sàn) & tầm tổng cộng (khoảng cách ngang) xác định tam giác.
Mã xây dựng hạn chế hình học chặt chẽ:
- Độ cao đơn vị (mỗi bậc cao): 7 đến 7-3/4 inch (mã IRC dân cư)
- Tầm đơn vị (mỗi độ sâu bậc): tối thiểu 10 inch
- Quy tắc Độ cao + Tầm: độ cao đơn vị + tầm đơn vị nên nằm trong khoảng từ 17 đến 18 inch (quy tắc thợ mộc cho cầu thang thoải mái)
- Khoảng không đầu: tối thiểu 6 feet 8 inch được đo theo chiều dọc từ mũi cầu thang đến bất kỳ vật cản ở trên đầu
Để tính số bậc: chia tổng độ cao cho độ cao đơn vị mục tiêu của bạn. Làm tròn thành số nguyên. Sau đó tính lại độ cao đơn vị chính xác = tổng độ cao / số bậc.
Ví dụ: tổng độ cao = 108 inch (9 feet từ sàn đến sàn). Độ cao đơn vị mục tiêu = 7,5 inch. 108 / 7,5 = 14,4, vậy hãy sử dụng 14 bậc. Độ cao đơn vị chính xác = 108 / 14 = 7,714 inch. Số bậc = bậc - 1 = 13 (sàn trên là 'bậc' cuối cùng).
Thiết Kế một Cầu Thang
Một ngôi nhà hai tầng có chiều cao từ sàn đến sàn là 9 feet 4 inch (112 inch). Cửa sổ cầu thang cho phép chạy ngang tối đa 12 feet.
Cầu Thang Quay & Bậc Hình Bánh Nướng
Quay Góc Không Có Bệ Phóng
Khi cầu thang cần quay nhưng không gian quá chật cho một bệ phóng, thợ xây sử dụng bậc quay: bậc hình bánh nướng quay quanh góc.
Hình học: mỗi bậc quay là một khu vực của một vòng tròn. Đầu hẹp (ở góc bên trong) phải có chiều rộng ít nhất 6 inch (tối thiểu mã). Độ sâu bậc được đo ở đường đi bộ (12 inch từ phía hẹp) phải đáp ứng tương tự như bậc thẳng: thường là 10 inch.
Một lượt 90 độ thường sử dụng ba bậc quay (mỗi cái kéo dài 30 độ) hoặc hai bước quay cộng với một bệ phóng nhỏ. Một lượt 180 độ (chuyển đổi) sử dụng sáu bước quay hoặc kết hợp các bước quay & một nửa bệ phóng.
Cầu thang quay khó xây dựng hơn & nguy hiểm hơn để sử dụng so với cầu thang thẳng: đầu hẹp của mỗi bậc cho ít chỗ bàn chân ở bên trong lượt. Đó là lý do tại sao mã hạn chế hình học của họ cẩn thận.
Tại Sao Vòm Cung Hoạt Động
Hình học của Chuyển Giao Tải
Một vòm cung chuyển đổi tải dọc hướng xuống thành lực nén chảy dọc theo đường cong của nó đến các giá đỡ. Không giống như một dầm, chuyển đổi tải thông qua uốn (& phát triển căng thẳng trên mặt dưới), một vòm cung trong nén thuần túy không có căng thẳng: & đá, gạch & bê tông đều mạnh trong nén nhưng yếu trong căng thẳng.
Điều này giải thích tại sao vòm cung đã được sử dụng trong hàng nghìn năm trong xây dựng đá & gạch: chúng hoạt động với sức mạnh của vật liệu, không phải chống lại nó.
Hình dáng của vòm cung xác định cách nó xử lý các mô hình tải khác nhau. Các đường cong khác nhau xử lý các tải khác nhau một cách tối ưu.
Bốn Hình Dáng Vòm
Vòm cung bán kính: một nửa vòng tròn hoàn hảo. Đơn giản nhất để xây dựng (chỉ cần vẽ la bàn từ điểm trung tâm). Phân phối tải đều đặn. Người La Mã sử dụng cho các kênh, cầu, & Đấu trường Colosseum. Hạn chế của nó: chiều cao luôn chính xác bằng nửa khoảng.
Vòm cung Gothic/Nhọn: được hình thành bởi hai cung tròn gặp nhau ở một điểm phía trên trung tâm. Có thể cao hơn nó rộng. Hướng nhiều lực xuống (lực đẩy ngang ít hơn), cho phép các bức tường mỏng hơn. Đây là lý do tại sao các nhà thờ Gothic có thể có những cửa sổ khổng lồ: các vòm cung nhọn giảm áp lực đẩy ra ngoài lên tường.
Vòm cung parabol: theo sau đường cong y = ax². Tối ưu cho việc mang theo tải phân tán đều (như bộ phận cầu có lưu lượng truy cập đều). Parabol đảm bảo rằng đường đẩy theo đường cong vòm cung trung tâm chính xác dưới tải đều.
Vòm cung xích: đường cong được hình thành bởi một xích treo (lộn ngược). Theo sau y = a × cosh(x/a). Tối ưu cho việc mang theo trọng lượng riêng của nó. Cổng Gateway ở St. Louis là một xích được tính trọng lượng: hình dáng của nó đảm bảo nén thuần túy dưới trọng lượng riêng của nó mà không uốn cong.
Xích & Trọng Lượng Riêng
Đường cong xích là hình dáng một xích hoặc cáp mất khi nó treo tự do dưới trọng lượng riêng của nó. Về mặt toán học, nó là y = a × cosh(x/a), nơi 'a' là một hằng số phụ thuộc vào trọng lượng xích trên một đơn vị chiều dài & lực căng ngang.
Nếu bạn lật một xích treo lên dưới, bạn sẽ có một vòm cung xích. Vòm cung này nằm trong nén thuần túy dưới trọng lượng riêng của nó: nó là đảo ngược chính xác của căng thẳng thuần túy trong xích treo.
Cổng Gateway ở St. Louis (630 feet cao) là một xích được tính trọng lượng. Eero Saarinen & kỹ sư Hannskarl Bandel thiết kế nó sao cho tiết diện vòm cung thay đổi: dày hơn ở cơ sở, mỏng hơn ở đỉnh: & phương trình xích được sửa đổi để tính toán phân phối trọng lượng thay đổi này.
Vuông Góc trên Công Trường
Hình học trong Bụi Bặm
Trước khi một chân đơn duy nhất được đào, tòa nhà phải được bố trí trên trang trại với hình học chính xác. Các công cụ rất đơn giản: dây căng, tấm batt, thước dây & các cọc: nhưng độ chính xác cần thiết cao.
Tấm batt là các tấm ngang được gắn trên cọc, được đặt lùi từ các góc tòa nhà. Các dây căng được kéo căng giữa các tấm batt đánh dấu các đường nền. Bằng cách điều chỉnh nơi dây gắn vào tấm batt, người xây dựng có thể tinh chỉnh bố trí mà không làm phiền các cọc.
Vuông một góc sử dụng tam giác 3-4-5: bộ ba Pitago đơn giản nhất. Đo 3 feet dọc theo một dây từ góc, 4 feet dọc theo dây kia, & nếu đường chéo chính xác 5 feet, góc là 90 độ. Để độ chính xác lớn hơn, hãy sử dụng các bội số: 6-8-10, 9-12-15, hoặc 12-16-20.
Xác minh một hình chữ nhật sử dụng các phép đo đường chéo. Trong một hình chữ nhật thực, cả hai đường chéo phải bằng nhau. Nếu họ không phải, bố trí là một hình bình hành & cần điều chỉnh. Kiểm tra này bắt các lỗi mà phương pháp 3-4-5 ở các góc riêng lẻ có thể bỏ lỡ.
Các mức laser chiếu một mặt phẳng tham chiếu ngang của ánh sáng. Một laser quay vòng thiết lập một đường ngang quanh toàn bộ trang trại, cho phép người xây dựng kiểm tra độ cao ở bất kỳ điểm nào. Trước khi có các mức laser, những người xây dựng sử dụng một mức nước: một ống dài chứa đầy nước, dựa trên thực tế rằng nước tìm kiếm mức của nó.
Phương Pháp 3-4-5
Tam giác 3-4-5 hoạt động vì 3² + 4² = 5² (9 + 16 = 25). Đây là định lý Pitago: nếu cạnh huyền của một tam giác vuông bằng căn bậc hai của tổng bình phương của hai bên kia, góc chính xác là 90 độ.
Trên một công trường xây dựng, bạn làm việc với thước dây. Bạn đánh dấu 3 feet trên một chân, 4 feet trên chân kia, & kiểm tra xem đường chéo có phải là 5 feet không. Nếu đường chéo quá dài, góc lớn hơn 90 độ (obtuse). Nếu quá ngắn, góc nhỏ hơn 90 độ (nhọn).
Hình học Nói Ngôn Ngữ của Một Người Xây Dựng
Những Gì Bạn Đã Học
Mỗi phần của bài học này quay trở lại các công cụ giống nhau: tam giác vuông, định lý Pitago, các hàm lượng giác, & các đường cong được xác định bởi các phương trình toán học.
- Mái nhà là tam giác vuông. Độ dốc là độ cao/tầm. Độ dài xà nhà là cạnh huyền. Các góc xuất phát từ arctan.
- Cầu thang là tam giác vuông. Dầm cầu thang là cạnh huyền. Độ cao & tầm bị hạn chế bởi mã.
- Vòm cung là các đường cong được chọn để khớp với các đường đẩy dưới các mô hình tải cụ thể: hình tròn, parabol, & xích.
- Bố trí trang trại sử dụng định lý Pitago để vuông các góc & xác minh các hình chữ nhật.
Toán học không phải là trừu tượng: nó được cắt thành mỗi xà nhà, định tuyến thành mỗi dầm cầu thang, & kéo dài trên mỗi công trường xây dựng. Các thợ mộc, nhà xây dựng bằng gạch, & những người xây dựng đã được các nhà hình học ứng dụng trong hàng nghìn năm.