すべての建物の頂上の三角形
すべての切妻屋根は三角形です。その三角形の幾何学：立ち上がり、水平距離、斜辺：は、すべてを決定します：屋根が水をどのように流すか、必要な材料の量、そしてすべての垂木に切り込むべき角度。
勾配は垂直上昇と水平距離の比率です。6/12勾配は、12インチの水平走行ごとに屋根が6インチ上昇することを意味します。12/12勾配は45度の屋根です。4/12勾配は緩やかな傾斜です。
垂木は直角三角形の斜辺です。上昇と走行がわかれば、垂木の長さがわかります：それは世界のすべての屋根に適用されるピタゴラスの定理です。
勾配を角度に変換する： 角度 = arctan(上昇 / 水平距離)。6/12勾配はarctan(6/12) = arctan(0.5) = 26.57度を与えます。その角度は、垂木のすべての本切りと座り切りに設定するスピードスクエアです。
屋根の角度を計算する
建物は24フィートのスパン（棟の両側に12フィートの走行）を持ち、9/12勾配を使用します。
隅木と複合角
普通垂木は棟梁に垂直に走ります：それらの幾何学は単純な直角三角形です。しかし隅木は建物の角から棟梁に斜めに走ります。それは複合角に位置します。
隅木の走行は普通垂木の走行より長いです。なぜなら、それは平面図全体を斜めに走るからです。正方形の建物では、隅木の走行=普通垂木の走行×sqrt(2)。これは正方形の対角線です。
隅木の勾配は常に普通垂木の勾配より浅いです。普通垂木が9/12の場合、隅木は9/16.97（12 × sqrt(2) = 16.97だから）です。隅木の角度 = arctan(9/16.97) = 27.9度。
この複合幾何学は、切妻屋根よりも隅棟屋根の方がフレーム構成がより難しい理由です：隅木のすべての切り込みには、1つではなく2つの角度が関与します。
立ち上がり、走行、および弦張
階段の幾何学
すべての階段は直角三角形です。弦張：踏み板を支える対角線の板：は斜辺です。総立ち上がり（床から床までの高さ）と総走行（水平距離）は三角形を定義します。
建築基準はその幾何学を厳しく制約します：
- 単位立ち上がり（各段の高さ）：7～7-3/4インチ（IRC住宅コード）
- 単位走行（各踏み面の深さ）：最小10インチ
- 立ち上がり+走行ルール：単位立ち上がり+単位走行は17～18インチの間にあるべき（快適な階段の大工のルール）
- ヘッドルーム：階段の鼻から頭上の障害物までを垂直に測定して、最小6フィート8インチ
蹴上の数を計算するには：総立ち上がりを目標単位立ち上がりで割ります。整数に丸めます。その後、正確な単位立ち上がりを再計算します = 総立ち上がり / 蹴上の数。
例：総立ち上がり = 108インチ（床から床までの9フィート）。目標単位立ち上がり = 7.5インチ。108 / 7.5 = 14.4、したがって14個の蹴上を使用します。正確な単位立ち上がり = 108 / 14 = 7.714インチ。踏み面の数 = 蹴上 - 1 = 13（最上階が最後の「踏み面」）。
階段を設計する
2階建ての家は、床から床までの高さが9フィート4インチ（112インチ）です。階段井戸の開口部は、最大水平走行12フィートを許容します。
回り段と扇形踏み面
ランディングなしでコーナーを曲がる
階段が曲がる必要があるが、スペースが着地するには狭すぎる場合、ビルダーは回り段：コーナーの周りに扇状に広がる扇形踏み面を使用します。
幾何学：各回り段の踏み面は円の扇形です。狭い端（内側コーナー）は少なくとも6インチ幅でなければなりません（コード最小値）。歩行線で測定した踏み面の深さ（狭い側から12インチ）は、直線踏み面と同じ最小値を満たす必要があります：通常10インチ。
90度の回転は通常、3つの回り段踏み面（それぞれ30度にまたがる）または2つの回り段プラス小さな着地を使用します。180度の回転（スイッチバック）は6つの回り段または回り段と半着地の組み合わせを使用します。
回り段階段は直線階段よりも構築や使用がより危険です：各踏み面の狭い端は、曲がりの内側でより少ない足のスペースを与えます。それが基準がそれらの幾何学を慎重に制限する理由です。
アーチが機能する理由
荷重転移の幾何学
アーチは下向きの垂直荷重を、その支持体への圧縮力に変換します。ビームとは異なり、ビームは曲げを通じて荷重に抵抗し（また下部面に張力を発達させます）、純粋な圧縮のアーチには張力がありません：そして石工、石、コンクリートはすべて圧縮で強いですが、張力で弱いです。
それはアーチが数千年間石とレンガの構造で使用されている理由を説明します：それらは材料の強さと協力して働き、それに対してではなく。
アーチの形は、異なる荷重パターンをどの程度うまく処理するかを決定します。異なる曲線は異なる荷重を最適に処理します。
4つのアーチ形状
半円形アーチ：完璧な半円。構築が最も簡単（中心点からコンパスを振るだけ）。荷重を均等に分散させます。ローマ人が水道橋、橋、コロッセオに使用しました。その制限：高さは常に正確にスパンの半分です。
ゴシック/尖塔アーチ：中心の上で交わる2つの円弧で形成されます。幅より背が高くできます。より多くの力を下向きに向ける（より少ない水平推力）、これはより薄い壁を許容します。これがゴシック大聖堂が巨大な窓を持つことができた理由です：尖塔アーチは壁への外向きの押しを減らしました。
放物線アーチ：曲線y = ax²に従います。均等な分散荷重を運ぶのに最適（均等なトラフィックを含む橋のデッキなど）。放物線は、均等な荷重の下で推力線がアーチの中心線に正確に従うことを保証します。
カテナリー曲線アーチ：吊り鎖によって形成される曲線（反転）。y = a × cosh(x/a)に従います。独自の自己重量を運ぶのに最適です。セントルイスのゲートウェイアーチは重い重いカテナリー曲線です：その形状は、曲げなしの独自の重量の下での純粋な圧縮を保証します。
カテナリー曲線と自己重量
カテナリー曲線は、チェーンまたはケーブルが独自の重量の下で自由に吊るされるときに取る形状です。数学的には、y = a × cosh(x/a)です。ここで「a」は、チェーンの単位長あたりの重量と水平張力に依存する定数です。
吊り鎖を上下逆さにしたら、カテナリー曲線アーチが得られます。このアーチは自己重量の下で純粋な圧縮です：それはそれは吊り鎖の純粋な張力の正確な逆です。
セントルイスのゲートウェイアーチ（高さ630フィート）は、重み付けされたカテナリー曲線です。エーロ・サーリネンとエンジニアのハンスカール・バンデルは、アーチの断面が変動するように設計しました：ベースで厚い、上部で薄い：そしてカテナリー曲線方程式は、この変動する重量分布を説明するために修正されました。
工事現場でコーナーを正方形にする
土の中の幾何学
単一の足掘る前に、建物は正確な幾何学で敷地にレイアウトされる必要があります。ツールはシンプルです：弦線、バッター板、測定テープ、杭：しかし、要求される精度は高いです。
バッター板は、建物のコーナーから離れた杭に取り付けられた水平な板です。バッター板の間に引かれた弦線は、基礎線を示します。弦が配られる位置を調整することで、大工は杭を乱さずにレイアウトを微調整できます。
コーナーを正方形にするは3-4-5三角形を使用します：最も単純なピタゴラス三つ組。コーナーから弦線の1本に沿って3フィートを測定し、別の弦線に沿って4フィートを測定し、対角線がちょうど5フィートの場合、コーナーは90度です。より大きな精度については、倍数を使用します：6-8-10、9-12-15、または12-16-20。
長方形を検証するは、対角線測定を使用します。真の長方形では、両方の対角線は等しい必要があります。そうでない場合、レイアウトは平行四辺形であり、調整が必要です。このチェックは、各コーナーで3-4-5方法が見落とす可能性のあるエラーをキャッチします。
レーザーレベルは、光の水平参照平面を投影します。回転レーザーは、サイト全体の周りに水平線を確立し、大工が任意の地点で標高を確認できます。レーザーレベルの前に、ビルダーは水準を使用していました：水で満たされた長いチューブ、水がそれ自身のレベルを見つけるという事実に頼っていました。
3-4-5方法
3-4-5三角形が機能するのは、3² + 4² = 5²（9 + 16 = 25）です。これはピタゴラスの定理です：直角三角形の斜辺が、他の2つの辺の二乗の合計の平方根に等しい場合、角度は正確に90度です。
工事現場では、測定テープを使用して作業します。1本の脚に3フィートをマークし、もう一方に4フィートをマークし、対角線が5フィートであることを確認します。対角線が長すぎる場合、角度は90度より大きい（鈍い）です。短すぎる場合、角度は90度未満（鋭い）です。
幾何学は大工の言語を話す
学んだこと
このレッスンのすべてのセクションは同じツールに戻ります：直角三角形、ピタゴラスの定理、三角関数、& 数学方程式で定義された曲線。
- 屋根は直角三角形です。勾配は立ち上がり/走行です。垂木の長さは斜辺です。角度はarctanから来ます。
- 階段は直角三角形です。弦張は斜辺です。立ち上がり & 走行はコードによって制約されます。
- アーチは、特定の荷重パターンの下でスラスト線と一致するように選択された曲線です：円、放物線、& カテナリー曲線。
- 敷地レイアウトはピタゴラスの定理を使用して、コーナーを正方形にし、長方形を検証します。
数学は抽象的ではありません：それはすべての垂木に切り込まれ、すべての弦張にルーティングされ、すべての工事現場で引き伸ばされます。大工、石工、ビルダーは数千年間、応用幾何学者であってきました。