Hai Hướng Của Hình Học Robot

Kinematics: Hình Học Trong Động

Kinematics là nghiên cứu về chuyển động không xem xét đến lực. Trong robot, đó là hình học thuần túy: mối quan hệ giữa các góc khớp và vị trí, hướng của đầu cuối.

Forward kinematics (FK): Biết tất cả các góc khớp → tính vị trí và hướng của đầu cuối. Đây là hướng 'dễ'.

Đối với một cánh tay 2 liên kết planar: nếu khớp 1 ở góc θ₁ và khớp 2 ở góc θ₂, với độ dài liên kết L₁ và L₂, đầu cuối sẽ ở:

- x = L₁ cos(θ₁) + L₂ cos(θ₁ + θ₂)

- y = L₁ sin(θ₁) + L₂ sin(θ₁ + θ₂)

Đối với một cánh tay 6 khớp, FK sử dụng một chuỗi ma trận biến đổi đồng nhất: mỗi khớp đóng góp một ma trận 4x4 mã hóa xoay và dịch chuyển. Nhân tất cả sáu ma trận để có được vị trí đầu cuối. Nó là cơ khí nhưng luôn đưa ra một câu trả lời duy nhất.

Inverse kinematics (IK): Biết vị trí và hướng mong muốn của đầu cuối → tính các góc khớp cần thiết để đạt được nó. Đây là hướng 'khó'.

IK là khó vì:

- Có nhiều giải pháp: Một cánh tay 6 khớp có thể đạt được cùng một điểm ở nhiều cấu hình khác nhau (cánh tay gập lên vs. gập xuống, cổ tay lật vs. không). Có thể có 8 hoặc nhiều giải pháp có giá trị.

- Không có giải pháp: Nếu mục tiêu nằm ngoài không gian làm việc, không có góc khớp nào hoạt động.

- Singularities: Tại một số vị trí, hai trục khớp trùng nhau và robot mất một DOF: giống như hiện tượng gimbal lock. Gần các điểm đặc biệt, các chuyển động Cartesian nhỏ cần các tốc độ khớp lớn.

Inverse Kinematics: Tại Sao Là Khó?

Xin xem xét một cánh tay 2 liên kết đơn giản với L₁ = L₂ = 1 mét. Đầu cuối cần đến điểm (1.0, 1.0).

Khoảng cách từ gốc đến mục tiêu là sqrt(1² + 1²) = sqrt(2) ≈ 1.414 m. Vì L₁ + L₂ = 2 m > 1.414 m, điểm là đạt được.

Cấu trúc của khả năng tiếp cận

Không gian làm việc: Thể tích hình học mà robot có thể đạt được

Hộp công cụ không gian là tập hợp tất cả các điểm mà thiết bị cuối có thể tiếp cận. Cấu trúc của nó phụ thuộc hoàn toàn vào hình học của robot.

Tay robot có khớp (6 trục): Không gian làm việc là một quả bóng gần như trống. Giới hạn ngoài là phạm vi tối đa (tất cả các liên kết mở rộng). Giới hạn trong tồn tại vì tay robot không thể gấp lại vào nhau đủ để tiếp cận các điểm quá gần gốc. Hình cắt nhìn giống như cái ốc (torus).

SCARA: Không gian làm việc là một ống trụ. Tay robot lướt dọc theo chiều ngang (tạo thành một đường tròn cắt ngang) và trục Z di chuyển dọc. Kết quả là một thể tích trụ phẳng: phạm vi rộng theo chiều ngang, giới hạn theo chiều dọc.

Cartesian/Gantry: Không gian làm việc là một hộp chữ nhật. Mỗi trục di chuyển tuyến tính dọc theo một chiều. Dễ sử dụng, dễ lập trình: nhưng cồng kềnh vì robot phải lớn bằng với không gian làm việc của nó.

Điểm hòa vốn trong không gian làm việc: Tại một số vị trí, robot mất một DOF. Một tay robot có khớp mở rộng hoàn toàn (ở giới hạn ngoài của không gian làm việc của nó) đang ở một điểm hòa vốn: nó không thể di chuyển thiết bị cuối của mình ra xa hơn. Điểm hòa vốn ở khớp tay xảy ra khi hai trục của khớp tay cùng hướng. Tại một điểm hòa vốn, ma trận Jacobian mất hạng, và hiệu quả DOF của robot tạm thời giảm.

Không gian dexterous vs không gian có thể tiếp cận: Không gian có thể tiếp cận là nơi thiết bị cuối có thể tiếp cận ít nhất một hướng. Không gian dexterous là nơi nó có thể đạt được bất kỳ hướng nào. Không gian dexterous luôn là một phần của không gian có thể tiếp cận: và thường nhỏ hơn nhiều.

Lựa chọn robot dựa trên không gian làm việc

Một cell sản xuất có ba trạm được sắp xếp theo hình L. Trạm A ở phía trái, Trạm B trực tiếp trước, Trạm C ở phía phải và hơi cao hơn (300 mm). Robot phải lấy phần từ A, thực hiện một quá trình tại B và đặt các phần hoàn thành tại C: tất cả từ một vị trí gắn kết hợp.

Không gian Tính cấu hình: Hình học trừu tượng của Robot

Không gian Tính cấu hình: Đâu là Không gian sống của Robot Motion Planning

Không gian Tính cấu hình (C-space) là một trong những hình học trừu tượng mạnh mẽ nhất trong lĩnh vực robot. Thay vì suy nghĩ về hình dạng vật lý của robot, bạn sẽ đại diện cho toàn bộ trạng thái của nó thành một điểm duy nhất trong một không gian có N chiều.

Vì một robot có N khớp, C-space có N chiều: một trục mỗi góc khớp. Mỗi vị trí có thể của robot là một điểm duy nhất trong C-space. Một đường đi (dãy vị trí) là một đường cong trong C-space.

Cái cớ trong C-space: Một vật cản vật lý trong thế giới thực sẽ trở thành một vùng cấm trong C-space. Nếu đặt robot ở các góc khớp (θ₁, θ₂, ..., θN) sẽ gây ra va chạm, điểm đó nằm trong vùng cấm của C-space. Hình dạng của vùng cấm trong C-space là phức tạp: một hộp đơn giản trong thế giới thực sẽ trở thành một vùng có hình dạng kỳ lạ trong C-space.

Lập kế hoạch đường đi = tìm đường đi không va chạm: Có một điểm bắt đầu (điểm trong C-space) và một điểm cuối (điểm khác) tìm một đường liên tục kết nối chúng mà không vào bất kỳ vùng cấm nào.

Các thuật toán:

- A* (grid-based): Phân chia C-space thành một lưới, tìm đường ngắn nhất. Hoạt động tốt trong các chiều thấp (2-3 DOF) nhưng kích thước lưới tăng theo cấp số nhân với chiều.

- RRT (Cây ngẫu nhiên khám phá nhanh): Xây dựng một cây gồm các mẫu ngẫu nhiên trong C-space, phát triển hướng các vùng chưa khám phá. Hoạt động tốt trong các chiều cao (6+ DOF). Không tối ưu nhưng nhanh trong việc tìm đường khả thi.

- PRM (Kết cấu ngẫu nhiên roadmap): Tính trước một đồ thị gồm các cấu hình ngẫu nhiên không va chạm, sau đó tìm kiếm trong đồ thị. Tốt cho các truy vấn lặp lại trong cùng môi trường.

Ý kiến hình học: vấn đề lập kế hoạch đường đi của một robot 6-DOF là một vấn đề đường cong qua 6 không gian. Độ phân tích cao khiến các giải pháp chính xác không khả thi: phương pháp xác suất (RRT, PRM) là cách tiếp cận thực tế.

Giải pháp không gian cấu hình

Một cánh tay robot 2 liên kết (2 DOF) hoạt động trong một phòng với một vật cản hình chữ nhật duy nhất. Liên kết 1 từ 0° đến 360°, liên kết 2 từ 0° đến 360°. Không gian cấu hình là một hình vuông 2D: θ₁ trên một trục, θ₂ trên trục khác.