どのようにして動くことができるか?
自由度: 動きの幾何学
自由度 (DOF) は、オブジェクトがどのように動くかを表す 1 つの独立した方法です。自由度を理解することは、ロボットが空間と相互作用する方法を理解する最初のステップです。
3D 空間の位置には、3DOFが必要です：x（左右）、y（前後）、z（上下）。空間のポイントには、3DOFが必要です。
オリエンテーションには、さらに 3 つが必要です：ロール（前方の軸周りの回転）、ピッチ（横軸周りの回転）、ヨー（垂直軸周りの回転）。空間内の剛体は、6DOF（位置 3 + オリエンテーション 3）を持っています。
ロボットアーム & DOF:
- 6軸アーティキュレートアーム（産業ロボットのようなもの）は、各ジョイントが 1DOF を追加する 6 つのジョイントを持っています。6DOFを持つエンドエフェクタは、ワークスペース内で任意の位置とオリエンテーションに達成できます：完全な空間の自由度を持っています。
- 4軸 SCARAロボットは、4DOFを持っています：平面上で位置を決められ、回転できますが、ツールを傾けることはできません。平らな表面でのピック・アンド・プレイスに適しています。
- 3軸カートエジアン/ガンTRYロボットは、3DOFを持っています：ボックス状のボリュームで位置を決められますが、ツールをオリアンテーションすることはできません。3Dプリンターに適しています。
6DOFを超える: 7軸ロボットは冗長性があり、完全な空間の位置付けが必要なDOFを持つよりも多くを持っています。余分なDOFは、オブジェクトの後ろに回ることができるようにし、人間の手が何か後ろに回るようにするようにします。冗長性は幾何学的な利点です。
DOFとタスクの要件
工場が 3 つの異なるタスクにロボットが必要です：（A）自動車ボディパネル上の 3D 曲線状のパスに接着剤を塗布する、（B）コナー・ベルトからチップを取り、平らな回路ボードに配置する、そして（C）複雑な 3D ジョイントを多角度から溶接する。
ロボットの幾何学の二つの方向
運動学：動きのみを考慮する幾何学
運動学は力の考慮なく動きを研究するものです。ロボットの場合、これは純粋な幾何学です。関節角度とエンドエフェクタの位置との関係です。
前向き運動学（FK）： 関節角度すべてがわかっていれば、エンドエフェクタの位置と向きを計算できます。これは「簡単な」方向です。
2リンク平面アームの場合：関節1は角度 θ₁ で、関節2は角度 θ₂ であり、リンク長さ L₁ および L₂ があれば、エンドエフェクタは以下のようになります。
- x = L₁ cos(θ₁) + L₂ cos(θ₁ + θ₂)
- y = L₁ sin(θ₁) + L₂ sin(θ₁ + θ₂)
6軸アームの場合、FK はローターと 同一形状変換行列 を使用します。各関節は回転と翻訳を含む 4 × 4 の行列を提供します。6つの行列をすべて乗算して、エンドエフェクタのポーズを得ます。それは機械的ですが、常に一意の答えを生成します。
逆運動学（IK）： 目標エンドエフェクタの位置と向きがわかっていれば、関節角度を計算できます。これは「難しい」方向です。
IK は難しいのは以下の理由です。
- 複数の解決策: 6軸アームは同じポイントに複数の構成で到達できます（ひじ上げ vs ひじ下げ、ワristがひっくり返る vs ひっくり返らない）。有効な解決策は 8 つ以上あります。
- 解決策なし: ターゲットがワークスペース外にある場合、関節角度が存在しません。
- 奇点: 特定のポーズでは、2つの関節軸が一致し、ロボットは DOF を失います：ギンバルロックと呼ばれるものです。奇点近くでは、カートエシアンの小さな動きが大きな関節速度を必要とします。
逆運動学：なぜそれが難しいのか
簡単な 2リンク平面アームを考えます。L₁ = L₂ = 1メートルの長さです。エンドエフェクタが点 (1.0, 1.0) に達する必要があります。
基部からターゲットまでの距離は、1² + 1² の平方根、すなわち sqrt(2) ≈ 1.414 m です。L₁ + L₂ = 2 m > 1.414 m のため、ポイントは到達可能です。
到達可能な範囲の形状
ワークスペース: ロボットがエンドエフェクタを達成できるすべての点の集合
ワークスペースエンクロージャーは、ロボットのジオメトリによって完全に決定されるセットです。
6軸アーティキュレーテッドアーム: ワークスペースは、リンクが全て伸ばされている最大達成範囲の外部境界を持っています。アームが自身を十分に折り込むことができないため、基部の近くにあるポイントに達成できないため、内部境界が存在します。断面はドーナツのような形状(トーラス)です。
SCARA: ワークスペースは、水平方向にアームがスイープし、Z軸が垂直に移動するため、水平方向に広い達成範囲を持つ平面状のシリンダーです。
カートエジソン/Gantry: ワークスペースは、各軸が1つの次元に線形に移動するため、箱のような四角形です。シンプルで予測可能で、プログラムが簡単ですが、ワークスペースの大きさに合わせてロボットが大きくなることが多いです。
ワークスペースのシングラー: 特定のポーズでは、ロボットがDOFを失います。完全に伸ばされたアーティキュレーテッドアーム(ワークスペースの外部境界に位置している)は、エンドエフェクタをさらに外側に動かすことができないシングラーにあります。ワristシングラーは、2つのワristジョイント軸が一致する場合に発生します。シングラーにいる場合、ジャコビアン行列のランクが失われ、ロボットの有効なDOFが一時的に減少します。
器用なワークスペースと到達可能なワークスペース: 到達可能なワークスペースは、少なくとも1つのオリエンテーションでエンドエフェクタが達成できる範囲です。器用なワークスペースは、任意のオリエンテーションを達成できる範囲です。器用なワークスペースは常に到達可能なワークスペースのサブセットであり、通常は小さいです。
ワークスペースに基づくロボットの選択
工場セルには、L字型に三つのステーションが配置されています。ステーションAは左側、ステーションBは正面、ステーションCは右側にあり、若干上部（300 mm）に位置しています。ロボットはAから部品を取り、Bで操作を行い、Cに完成品を置くことが求められており、これらは単一のマウントポジションから行われます。
設定空間：ロボットの抽象的な幾何学
設定空間：動きの計画が住む場所
設定空間（C-space） はロボティクスにおける最も強力な幾何学的抽象の一つです。ロボットの物理的な形状を考慮するのではなく、その全状態をN次元空間の単一の点として表現します。
N本のジョイントを持つロボットの場合、C-space はN個の次元を持ち、ジョイント角の1軸ごとに1つの軸があります。ロボットのすべての可能なポーズは、C-space の単一の点です。動き（ポーズの順列）はC-space の曲線です。
C-space の障害物： 実世界の物理障害物は、C-space に禁止された領域になります。ロボットのジョイント角（θ₁、θ₂、...、θN）に配置すると衝突が発生する場合、その点はC-space の障害物内部にあります。実世界の箱は、C-space において奇妙に形状が変わった領域になります。
パスプランニング = 衝突フリーの曲線の検索： 始点構成（C-space の点）とゴール構成（もう一つの点）を与えると、禁止領域に入らない連続した曲線を見つけることで、パスプランニングが行われます。
アルゴリズム:
- A* (グリッドベース): C空間をグリッドに分割し、最短経路を検索。低次元（2-3 DOF）では効果的ですが、次元が増えるごとにグリッドサイズが指数関数的に増加します。
- RRT (Rapidly-Exploring Random Tree): C空間でランダムサンプルの木を構築し、未探索地域に向かって成長させます。高次元（6 DOF以上）で効果的。最適ではないが、可行可能な経路を見つけるのに速いです。
- PRM (Probabilistic Roadmap): 環境同じで再利用可能なランダムな衝突フリーの構成を事前に計算し、そのグラフを検索します。
幾何学的な洞察：6-DOFロボットの経路計画問題は、6次元空間を通して曲線を描く問題です。次元が高すぎるため、厳密な解は実用性がありません：確率的方法（RRT、PRM）は実践的なアプローチです。
配置空間の思考
2リンク平面アーム（2 DOF）は、単一の四角形障害物がある部屋で動作しています。ジョイント1は0°から360°、ジョイント2は0°から360°です。配置空間は、θ₁が一軸、θ₂がもう一軸の2Dの正方形です。