Две стороны геометрии робота

Кинематика: геометрия в движении

Кинематика - это изучение движения без учета сил. В робототехнике это чистая геометрия: отношение угловых сечений и позиции концевого устройства.

Прямая кинематика (ПК): Зная все угловые сечения → вычислите позицию и ориентацию концевого устройства. Это "легкая" сторона.

Для 2-связного планарного рычага: если 1-й сустав на угол θ₁, а 2-й на угол θ₂, с длина связей L₁ и L₂, концевое устройство находится на:

- x = L₁ cos(θ₁) + L₂ cos(θ₁ + θ₂)

- y = L₁ sin(θ₁) + L₂ sin(θ₁ + θ₂)

Для 6-осевого робота, ПК использует цепочку гомогенных преобразованийных матриц: каждый сустав вносит 4x4 матрицу, кодирующую вращение и передачу. Умножив все шесть матриц, вы получите позицию концевого устройства. Это механическое, но всегда дает уникальный ответ.

Обратная кинематика (ОК): Зная желаемую позицию и ориентацию концевого устройства → вычислите углы сечения, которые достигают этого. Это "трудная" сторона.

ОК сложна потому что:

- Множественные решения: 6-осевой робот может достичь одной точки несколькими конфигурациями (локоть вверх против вниз, запястье перевернуто против не перевернуто). Может быть 8 или более действительных решений.

- Нет решений: если цель находится вне рабочей зоны, ни один набор углов не работает.

- Сингулярности: в определенных позах два оси суставов совпадают и роботу теряется один DOF: как блокировка гимбала. Близ сингулярностей, небольшие кartoши движения требуют огромных угловых скоростей.

Обратная кинематика: почему это сложно?

Рассмотрим простой 2-связный планарный рычаг с L₁ = L₂ = 1 метр. Концевое устройство должно достичь точки (1.0, 1.0).

Расстояние от основания до цели sqrt(1² + 1²) = sqrt(2) ≈ 1.414 м. Поскольку L₁ + L₂ = 2 м > 1.414 м, точка достижима.

Форма достичимости

Рабочее пространство: Геометрический объем, который может достичь конечный агент

Оболочка рабочего пространства - это множество всех точек, которые может достичь конечный агент. Ее форма зависит исключительно от геометрии робота.

Артикулярная рука (6-осевая): Рабочее пространство примерно представляет собой пустую сферу. Внешняя граница находится на максимальном дистанции (все звена вытянуты). Внутренняя граница существует из-за того, что рука не может достаточно сложиться обратно на себя, чтобы достичь точек, расположенных слишком близко к базе. Кросс-сечение выглядит как кольцо (тор)

SCARA: Рабочее пространство представляет собой цилиндр. Рука движется горизонтально (генерируя круговое сечение) и Z-ось движется вертикально. Результат - плоский цилиндрический объем: широкий радиус действия горизонтально, ограничен вертикально.

Картезианская/Гантерская: Рабочее пространство представляет собой прямоугольный ящик. Каждая ось движется вдоль одной координаты. Просто, предсказуемо, легко программировать: но громоздко, потому что робот должен быть таким же большим, как его рабочее пространство.

Сингулярности в рабочем пространстве: В определенных позах робот теряет одну степень свободы. Полностью вытянутая артикулярная рука (на внешней границе ее рабочего пространства) находится в сингулярности: она не может перемещать конечный агент дальше в радиальном направлении. Сингулярности в запястье возникают, когда два оси суставов запястья совпадают. В сингулярности матрица Якоби теряет ранг, и эффективное количество степеней свободы робота временно уменьшается.

Рабочее пространство, дexterous: Рабочее пространство, на котором конечный агент может достичь хотя бы в одной ориентации. Дexterous рабочее пространство - это где он может достичь любую произвольную ориентацию. Dexterous рабочее пространство всегда является подмножеством рабочего пространства, достижимого: и часто намного меньше.

Выбор робота по рабочему пространству

На производственном участке расположены три станции в форме буквы "L". Станция А находится слева, станция Б - прямо перед вами, станция С - справа и слегка приподнята (высота 300 мм). Робот должен брать детали с А, выполнять операцию на Б и размещать готовые детали на С: все это из одной точки установки.

Конфигурационное пространство: абстрактная геометрия робота

Конфигурационное пространство: где живет планирование пути

Конфигурационное пространство (C- пространство) - одна из самых мощных геометрических абстракций в робототехнике. Вместо того чтобы думать о физической форме робота, представьте его весь набор состояний в виде единой точки в N-мерном пространстве.

Для робота с N-мя гнездами, C- пространство имеет N измерений: одна ось на каждое гнезд. Каждое возможное положение робота - это одна точка в C- пространстве. Путь (последовательность положений) - это кривая в C- пространстве.

Препятствия в C- пространстве: Физическое препятствие в реальном мире становится запрещенной областью в C- пространстве. Если положить робота в гнездных углах (θ₁, θ₂, ..., θN) вызовет столкновение, то эта точка находится внутри препятствия C- пространства. Форма препятствий C- пространства очень сложна: простой блок в реальном мире становится странной формой в C- пространстве.

Планирование пути = поиск беспрепятственного пути: Дан начальный набор состояний (точка в C- пространстве) и конечный набор состояний (еще одна точка), найти непрерывную кривую, соединяющую их, которая не входит в запрещенную область.

Алгоритмы:

- A* (grid-based): Дискретизация C-пространства на сетку, поиск самого короткого пути. Хорошо работает в низких измерениях (2-3 СО) , но размер сетки стремительно растет с ростом измерений.

- RRT (Быстро-расследующая случайная ветвь): Строительство дерева случайных образцов в C-пространстве, рост в направлении малоисследованных районов. Работает в высокомерительных измерениях (6+ СО). Не оптимален, но быстро находит возможные пути.

- PRM (Вероятностная дорожная карта): Предварительная компьютеризация графа случайных конфигураций, свободных от столкновений, затем поиск в графе. Хорошо подходит для повторных запросов в одной и той же среде.

Геометрический взгляд: задача планирования пути для 6-СО робота - это проблема построения кривой через 6-мерное пространство. Высокомерительность делает точные решения невозможными: вероятностные методы (RRT, PRM) являются практическим подходом.

Мысли о пространстве конфигураций

2-связанный планарный рук (2 СО) работает в комнате с одним прямоугольным препятствием. Связь 1 варьируется от 0° до 360°, связь 2 варьируется от 0° до 360°. Конфигурационное пространство - это 2D квадрат: θ₁ по одной оси, θ₂ по другой.