Auf wie viele Arten kann es sich bewegen?
Freiheitsgrade: Die Geometrie der Bewegung
Ein Freiheitsgrad (DOF) ist eine unabhängige Art, wie sich ein Objekt bewegen kann. Das Verständnis von Freiheitsgraden ist der erste Schritt zum Verständnis, wie Roboter mit dem Raum interagieren.
Position im 3D-Raum erfordert 3 Freiheitsgrade: x (links/rechts), y (vorwärts/rückwärts), z (oben/unten). Ein Punkt im Raum hat 3 Freiheitsgrade.
Orientierung fügt 3 weitere hinzu: roll (Rotation um die Vorwärtsachse), pitch (Rotation um die Seitenachse), yaw (Rotation um die vertikale Achse). Ein starrer Körper im Raum hat 6 Freiheitsgrade: 3 für Position & 3 für Orientierung.
Roboterarme & Freiheitsgrade:
- Ein 6-achsiger gelenkiger Arm (wie ein Industrieroboter) hat 6 Gelenke, jedes fügt 1 Freiheitsgrad hinzu. Mit 6 Freiheitsgraden kann der Endeffektor jede Position und Orientierung im Arbeitsraum erreichen: er hat volle räumliche Freiheit.
- Ein 4-achsiger SCARA-Roboter hat 4 Freiheitsgrade: er kann überall in einer Ebene positionieren und drehen, kann sein Werkzeug aber nicht neigen. Gut für Pick-and-Place auf ebenen Flächen.
- Ein 3-achsiger Kartesischer/Galgen-Roboter hat 3 Freiheitsgrade: er kann überall in einem kastenförmigen Volumen positionieren, kann sein Werkzeug aber überhaupt nicht orientieren. Gut für 3D-Drucker.
Mehr als 6 Freiheitsgrade: Ein 7-achsiger Roboter ist redundant: er hat mehr Freiheitsgrade als für die vollständige räumliche Positionierung erforderlich. Die zusätzlichen Freiheitsgrade ermöglichen es ihm, um Hindernisse herumzugreifen, wie ein menschlicher Arm, der um etwas herumgreift. Redundanz ist ein geometrischer Vorteil.
Freiheitsgrade und Aufgabenanforderungen
Eine Fabrik benötigt einen Roboter für drei verschiedene Aufgaben: (A) Aufbringung von Kleber entlang eines 3D-gekrümmten Pfads auf einem Karosseriepanel, (B) Aufnahme von Chips von einem Förderband & Platzierung auf einer ebenen Leiterplatte, & (C) Schweißen einer komplexen 3D-Verbindung aus mehreren Winkeln.
Zwei Richtungen der Robotergeometrie
Kinematik: Geometrie in Bewegung
Kinematik ist die Lehre der Bewegung ohne Berücksichtigung von Kräften. In der Robotik ist sie reine Geometrie: die Beziehung zwischen Gelenkwinkeln und Position & Orientierung des Endefektors.
Vorwärtskinematik (FK): Alle Gelenkwinkel gegeben → Berechnung der Position & Orientierung des Endefektors. Dies ist die 'einfache' Richtung.
Für einen 2-gliedrigen ebenen Arm: wenn Gelenk 1 im Winkel θ₁ ist & Gelenk 2 im Winkel θ₂, mit Gliedlängen L₁ & L₂, ist der Endeffektor bei:
- x = L₁ cos(θ₁) + L₂ cos(θ₁ + θ₂)
- y = L₁ sin(θ₁) + L₂ sin(θ₁ + θ₂)
Für einen 6-achsigen Arm verwendet FK eine Kette von homogenen Transformationsmatrizen: jedes Gelenk trägt eine 4×4-Matrix bei, die Rotation und Translation kodiert. Multiplizieren Sie alle sechs Matrizen miteinander, um die Endeffektor-Pose zu erhalten. Es ist mechanisch, aber liefert immer eine eindeutige Antwort.
Inversekinematik (IK): Gewünschte Endeffektor-Position & Orientierung gegeben → Berechnung der Gelenkwinkel, die sie erreichen. Dies ist die 'schwierige' Richtung.
IK ist schwierig, weil:
- Mehrere Lösungen: Ein 6-achsiger Arm kann denselben Punkt oft in mehreren Konfigurationen erreichen (Ellbogen oben gegen unten, Handgelenk gekippt oder nicht). Es kann 8 oder mehr gültige Lösungen geben.
- Keine Lösungen: Wenn das Ziel außerhalb des Arbeitsraums liegt, funktionieren keine Gelenkwinkel.
- Singularitäten: Bei bestimmten Posen richten sich zwei Gelenkachsen aus und der Roboter verliert einen Freiheitsgrad: wie Gimbal Lock. Nahe Singularitäten erfordern kleine kartesische Bewegungen große Gelenkgeschwindigkeiten.
Inversekinematik: Warum ist sie schwierig?
Betrachten Sie einen einfachen 2-gliedrigen ebenen Arm mit L₁ = L₂ = 1 Meter. Der Endeffektor muss den Punkt (1,0, 1,0) erreichen.
Der Abstand von der Basis zum Ziel beträgt sqrt(1² + 1²) = sqrt(2) ≈ 1,414 m. Da L₁ + L₂ = 2 m > 1,414 m, ist der Punkt erreichbar.
Form der Erreichbarkeit
Arbeitsraum: Das geometrische Volumen, das ein Roboter erreichen kann
Die Arbeitsraumhülle ist die Menge aller Punkte, die der Endeffektor erreichen kann. Ihre Form hängt vollständig von der Geometrie des Roboters ab.
Gelenkiger Arm (6-Achse): Der Arbeitsraum ist ungefähr eine hohle Kugel. Die äußere Grenze liegt bei maximaler Reichweite (alle Glieder ausgestreckt). Die innere Grenze existiert, weil der Arm sich nicht genug auf sich selbst falten kann, um Punkte zu erreichen, die zu nah an der Basis sind. Der Querschnitt sieht wie ein Donut (Torus) aus.
SCARA: Der Arbeitsraum ist ein Zylinder. Der Arm fegt horizontal (erzeugt einen kreisförmigen Querschnitt) und die Z-Achse bewegt sich vertikal. Das Ergebnis ist ein flaches zylindrisches Volumen: große horizontale Reichweite, begrenzt vertikal.
Kartesisch/Galgen: Der Arbeitsraum ist eine rechteckige Kiste. Jede Achse bewegt sich linear entlang einer Dimension. Einfach, vorhersagbar, leicht zu programmieren: aber sperrig, weil der Roboter so groß sein muss wie sein Arbeitsraum.
Singularitäten im Arbeitsraum: Bei bestimmten Posen verliert der Roboter einen Freiheitsgrad. Ein vollständig ausgestreckter gelenkiger Arm (an der äußeren Grenze seines Arbeitsraums) ist in einer Singularität: er kann den Endeffektor nicht weiter nach außen bewegen. Handgelenk-Singularitäten treten auf, wenn sich zwei Handgelenk-Gelenkachsen ausrichten. Bei einer Singularität verliert die Jacobi-Matrix ihren Rang, und die wirksamen Freiheitsgrade des Roboters nehmen vorübergehend ab.
Geschickter Arbeitsraum vs. erreichbarer Arbeitsraum: Der erreichbare Arbeitsraum ist, wo der Endeffektor in mindestens einer Orientierung erreichen kann. Der geschickte Arbeitsraum ist, wo er eine beliebige Orientierung erreichen kann. Der geschickte Arbeitsraum ist immer eine Teilmenge des erreichbaren Arbeitsraums: und oft viel kleiner.
Auswahl eines Roboters nach Arbeitsraum
Eine Fabrikzelle hat drei Stationen in einem L-Shape angeordnet. Station A ist auf der linken Seite, Station B ist direkt davor, Station C ist auf der rechten Seite und leicht erhöht (300 mm höher). Der Roboter muss Teile von A aufnehmen, eine Bedienung bei B durchführen, & fertige Teile bei C platzieren: alles von einer einzigen Montageposition aus.
Konfigurationsraum: Die abstrakte Geometrie des Roboters
Konfigurationsraum: Wo Bewegungsplanung stattfindet
Konfigurationsraum (C-space) ist eine der mächtigsten geometrischen Abstraktionen in der Robotik. Anstatt über die physische Form des Roboters nachzudenken, repräsentieren Sie seinen gesamten Zustand als einen einzigen Punkt in einem N-dimensionalen Raum.
Für einen Roboter mit N Gelenken hat der Konfigurationsraum N Dimensionen: eine Achse pro Gelenkwinkel. Jede mögliche Pose des Roboters ist ein einzelner Punkt im Konfigurationsraum. Eine Bewegung (Folge von Posen) ist eine Kurve durch den Konfigurationsraum.
Hindernisse im Konfigurationsraum: Ein physisches Hindernis in der realen Welt wird zu einer verbotenen Region im Konfigurationsraum. Wenn die Platzierung des Roboters bei Gelenkwinkeln (θ₁, θ₂, ..., θN) zu einer Kollision führt, liegt dieser Punkt in einem Konfigurationsraum-Hindernis. Die Form von Konfigurationsraum-Hindernissen ist komplex: eine einfache Kiste in der realen Welt wird zu einer seltsam geformten Region im Konfigurationsraum.
Pfadplanung = eine kollisionsfreie Kurve finden: Gegeben sei eine Start-Konfiguration (Punkt im Konfigurationsraum) & eine Ziel-Konfiguration (ein anderer Punkt), finden Sie eine kontinuierliche Kurve, die sie verbindet, ohne in eine verbotene Region einzudringen.
Algorithmen:
- A* (gitterbasiert): Diskretisieren Sie den Konfigurationsraum in ein Gitter, suchen Sie den kürzesten Pfad. Funktioniert gut in niedrigen Dimensionen (2-3 DOF), aber die Rastergröße explodiert exponentiell mit der Dimension.
- RRT (Rapidly-Exploring Random Tree): Erstellen Sie einen Baum von zufälligen Samples im Konfigurationsraum, der in unerforschte Regionen wächst. Funktioniert in hohen Dimensionen (6+ DOF). Nicht optimal, aber schnell beim Finden machbarer Pfade.
- PRM (Probabilistic Roadmap): Berechnen Sie vorab ein Diagramm zufälliger kollisionsfreier Konfigurationen, dann durchsuchen Sie das Diagramm. Gut für wiederholte Abfragen in derselben Umgebung.
Die geometrische Einsicht: Das Pfadplanungsproblem eines 6-DOF-Roboters ist ein Kurven-durch-6D-Raum-Problem. Die Dimensionalität macht exakte Lösungen unmöglich: probabilistische Methoden (RRT, PRM) sind der praktische Ansatz.
Denken im Konfigurationsraum
Ein 2-gliedriger ebener Arm (2 DOF) operiert in einem Raum mit einem einzigen rechteckigen Hindernis. Gelenk 1 reicht von 0° bis 360°, Gelenk 2 reicht von 0° bis 360°. Der Konfigurationsraum ist ein 2D-Quadrat: θ₁ auf einer Achse, θ₂ auf der anderen.