In Che Modo Può Muovere?
Gradi di Libertà: La Geometria del Movimento
Un grado di libertà (DOF) è un modo indipendente con cui un oggetto può muoversi. Capire i DOF è il primo passo per comprendere come i robot interagiscano con lo spazio.
Posizione nello spazio 3D richiede 3 DOF: x (destra/sinistra), y (avanti/dietro), z (su/giù). Un punto nello spazio ha 3 DOF.
Orientamento aggiunge altri 3: roll (rotazione intorno all'asse frontale), pitch (rotazione intorno all'asse laterale), yaw (rotazione intorno all'asse verticale). Un corpo rigido nello spazio ha 6 DOF: 3 posizione + 3 orientamento.
Braccia robotici & DOF:
- Un 6-asse articolato (come un robot industriale) ha 6 giunti, ognuno dei quali aggiunge 1 DOF. Con 6 DOF, l'estremità dell'effettore può raggiungere qualsiasi posizione e orientamento all'interno dello spazio di lavoro: ha completa libertà spaziale.
- Un 4-asse SCARA robot ha 4 DOF: può posizionarsi ovunque in un piano e ruotare, ma non può inclinare il suo strumento. Adatto per prelevare e posizionare oggetti su superfici piane.
- Un 3-asse Cartesian/gantry robot ha 3 DOF: può posizionarsi ovunque in un volume a scatola ma non può orientare il suo strumento. Adatto per stampanti 3D.
Più di 6 DOF: Un 7-asse robot è sovrabbondante: ha più DOF di quelli necessari per una posizionamento completo nello spazio. L'extra DOF consente di raggiungere intorno agli ostacoli, come un braccio umano che raggiunge dietro qualcosa. La sovrabbondanza è un vantaggio geometrico.
DOF e Requisiti di Compito
Una fabbrica ha bisogno di un robot per tre compiti diversi: (A) inzuppamento di colla lungo un percorso curvilineo 3D su un pannello di carrozzeria automobilistica, (B) prelievo di chip da una cintura di trasporto e posizionamento su una scheda stampata, e (C) saldatura di un giunto complesso 3D da angoli multipli.
Due direzioni della geometria del robot
Cinematica: Geometria in movimento
La cinematica è lo studio del movimento senza considerare le forze. In robotics, è pura geometria: la relazione tra gli angoli degli arti e la posizione del braccio di fine effetto.
Cinematica diretta (FK): Date tutti gli angoli degli arti → calcola la posizione e l'orientamento del braccio di fine effetto. Questa è la 'direzione facile'.
Per un braccio a 2 link piani: se l'arto 1 è a un angolo θ₁ e l'arto 2 è a un angolo θ₂, con lunghezze degli arti L₁ e L₂, il braccio di fine effetto è a:
- x = L₁ cos(θ₁) + L₂ cos(θ₁ + θ₂)
- y = L₁ sin(θ₁) + L₂ sin(θ₁ + θ₂)
Per un braccio a 6 assi, la FK utilizza una catena di matrici di trasformazione omogenee: ogni articolazione contribuisce con una matrice 4x4 che codifica la rotazione e la traduzione. Moltiplica tutte le sei matrici per ottenere la posizione del braccio di fine effetto. È meccanico ma produce sempre una risposta unica.
Cinematica inversa (IK): Date una posizione e un orientamento desiderati del braccio di fine effetto → calcola gli angoli degli arti che lo raggiungono. Questa è la 'direzione difficile'.
L'IK è difficile perché:
- Soluzioni multiple: Un braccio a 6 assi può raggiungere lo stesso punto in più configurazioni (gomito su vs. gomito giù, polso capovolto vs. non capovolto). Potrebbero esserci 8 o più soluzioni valide.
- Nessuna soluzione: Se il bersaglio è fuori dalla workspace, nessun angolo degli arti funziona.
- Singolarità: In certe pose, gli assi degli arti si allineano e il robot perde un grado di libertà: come il gimbal lock. Vicino alle singolarità, piccoli movimenti cartesiani richiedono grandi velocità degli arti.
Cinematica inversa: perché è difficile?
Considera un semplice braccio a 2 link piani con L₁ = L₂ = 1 metro. Il braccio di fine effetto deve raggiungere il punto (1.0, 1.0).
La distanza dal basamento al bersaglio è sqrt(1² + 1²) = sqrt(2) ≈ 1.414 m. Poiché L₁ + L₂ = 2 m > 1.414 m, il punto è raggiungibile.
Forma della raggiungibilità
L'ambiente di lavoro: il volume geometrico che un robot può raggiungere
L'enveloppe di lavoro è l'insieme di tutti i punti che il attuatore di fine può raggiungere. La sua forma dipende interamente dalla geometria del robot.
Braccio articolato (6 assi): L'ambiente di lavoro è circa un sfera vuota. Il bordo esterno è alla massima portata (tutti i link estesi). Il bordo interno esiste perché il braccio non può piegarsi all'indietro abbastanza da raggiungere i punti troppo vicini alla base. La sezione trasversale assomiglia a un anello (toro).
SCARA: L'ambiente di lavoro è un cilindro. L'arto scorre orizzontalmente (generando una sezione circolare) e l'asse Z si muove verticalmente. Il risultato è un volume cilindrico piano: ampia portata orizzontalmente, limitata verticalmente.
Cartesian/Gantry: L'ambiente di lavoro è un cubo rettangolare. Ogni asse si muove linearmente lungo una dimensione. Simple, prevedibile, facile da programmare: ma voluminoso perché il robot deve essere così grande come il suo ambiente di lavoro.
Singolarità nell'ambiente di lavoro: In certi posizionamenti, il robot perde un DOF. Un braccio articolato completamente esteso (sulla fascia esterna del suo ambiente di lavoro) è in una singolarità: non può muovere l'attuatore di fine ulteriormente verso l'esterno. Le singolarità del gomito si verificano quando due assi di giunzione del gomito si allineano. In una singolarità, la matrice Jacobi perde il rango e il numero effettivo di gradi di libertà del robot diminuisce temporaneamente.
Ambiente di lavoro duttile vs. ambiente di lavoro raggiungibile: L'ambiente di lavoro raggiungibile è dove il attuatore di fine può raggiungere in almeno una orientazione. L'ambiente di lavoro duttile è dove può raggiungere qualsiasi orientazione arbitraria. L'ambiente di lavoro duttile è sempre un sottinsieme dell'ambiente di lavoro raggiungibile: e spesso molto più piccolo.
Scegliere un robot in base all'ambiente di lavoro
Una cella di fabbrica ha tre stazioni disposte a L. La stazione A è a sinistra, la stazione B è direttamente davanti, la stazione C è a destra e leggermente elevata (300 mm più in alto). Il robot deve estrarre parti da A, eseguire un'operazione su B e posizionare le parti finite su C: tutto da una singola posizione di montaggio.
Spazio di configurazione: la geometria astratta del robot
Spazio di configurazione: dove vive la pianificazione del movimento
Spazio di configurazione (C-space) è una delle astrazioni geometriche più potenti in robotics. Invece di pensare alla forma fisica del robot, rappresenta lo stato complessivo del robot come un unico punto in uno spazio a N dimensioni.
Per un robot con N giunti, lo spazio di configurazione ha N dimensioni: un asse per ogni angolo del giunto. Ogni posizione possibile del robot è un unico punto nello spazio di configurazione. Un movimento (sequenza di posizioni) è una curva nello spazio di configurazione.
Ostiache nello spazio di configurazione: Un ostacolo fisico nel mondo reale diventa una regione proibita nello spazio di configurazione. Se posizionare il robot con gli angoli dei giunti (θ₁, θ₂, ..., θN) causasse un urto, quel punto è all'interno di un ostacolo nello spazio di configurazione. La forma degli ostacoli nello spazio di configurazione è complessa: un semplice box nel mondo reale diventa una regione a forma strana nello spazio di configurazione.
Pianificazione del percorso = trovare una curva senza collisioni: Data una configurazione di partenza (punto nello spazio di configurazione) e una configurazione di destinazione (altro punto), trovare una curva continua che li connette senza entrare in alcuna regione proibita.
Algoritmi:
- A* (grid-based): Discretizzare lo spazio di configurazione in una griglia, cercare il percorso più breve. Funziona bene in basse dimensioni (2-3 DOF) ma la dimensione della griglia esplode esponenzialmente con le dimensioni.
- RRT (Albero Randomizzato di Esplorazione Rapida): Costruire un albero di campioni casuali nello spazio di configurazione, crescendo verso regioni inesplorate. Funziona in alte dimensioni (6+ DOF). Non ottimale ma veloce nel trovare percorsi fattibili.
- PRM (Roadmap Probabilistico): Pre-calcolare un grafo di configurazioni casuali libere da collisioni, poi cercare nel grafo. Buono per le interrogazioni ripetute nello stesso ambiente.
L'intuizione geometrica: il problema di pianificazione dei percorsi di un robot a 6 DOF è un problema di curva-nel-6D-space. La dimensionalità rende le soluzioni esatte inattuabili: i metodi probabilistici (RRT, PRM) sono l'approccio pratico.
Pensiero nello Spazio di Configurazione
Un braccio a 2 link piani (2 DOF) opera in una stanza con un unico ostacolo rettangolare. Giro 1 va da 0° a 360°, giro 2 va da 0° a 360°. Lo spazio di configurazione è un 2D quadrato: θ₁ su un asse, θ₂ sull'altro.