Dans Combien de Manières Peut-il Se Déplacer?
Degrés de Liberté : La Géométrie du Mouvement
Un degré de liberté (DOF) est une manière indépendante selon laquelle un objet peut se déplacer. Comprendre le DOF est le premier pas pour comprendre comment les robots interagissent avec l'espace.
Une position dans l'espace tridimensionnel nécessite 3 DOF : x (gauche/droite), y (avant/arrière), z (haut/en bas). Un point dans l'espace a 3 DOF.
L'orientation ajoute 3 autres : roulis (rotation autour de l'axe frontal), tangage (rotation autour de l'axe latéral), tangage (rotation autour de l'axe vertical). Un corps rigide dans l'espace a 6 DOF : 3 positions + 3 orientations.
Bras Robotiques & DOF :
- Un bras articulé à 6 axes (comme un robot industriel) a 6 joints, chacun ajoutant 1 DOF. Avec 6 DOF, l'effet de poignée peut atteindre toute position et orientation dans l'espace de travail : il a la liberté spatiale complète.
- Un robot SCARA à 4 axes a 4 DOF : il peut se positionner n'importe où dans un plan et se retourner, mais ne peut pas incliner son outil. Idéal pour le prenumage et la mise en place sur des surfaces planes.
- Un robot cartésien/trayport à 3 axes a 3 DOF : il peut se positionner n'importe où dans un volume en boîte, mais ne peut pas orienter son outil du tout. Idéal pour les imprimantes 3D.
Plus de 6 DOF : Un 7-axis robot est redondant : il a plus de DOF que nécessaire pour une positionnement complet dans l'espace. L'excès de DOF permet de se déplacer autour des obstacles, comme un bras humain se déplaçant derrière quelque chose. La surabondance est un avantage géométrique.
DOF et Exigences des Tâches
Une usine a besoin d'un robot pour trois tâches différentes : (A) déversement d'un colles le long d'un chemin courbé 3D sur un panneau de carrosserie automobile, (B) préhension de poudres d'un bande transporteuse et les placant sur une carte circuite plane, et (C) soudage d'un joint 3D complexe depuis de multiples angles.
Deux directions de la géométrie des robots
Kinématique : la géométrie en mouvement
La kinématique étudie le mouvement sans considérer les forces. En robotique, c'est de la géométrie pure : la relation entre les angles des joints et la position de l'effet de levier final.
Kinématique directe (KD) : Donnez tous les angles des joints → calculez la position et l'orientation de l'effet de levier final. C'est la direction 'facile'.
Pour un bras planaire à 2 liaisons : si le joint 1 est à un angle θ₁ et le joint 2 est à un angle θ₂, avec des longueurs de liaisons L₁ et L₂, l'effet de levier final est à :
- x = L₁ cos(θ₁) + L₂ cos(θ₁ + θ₂)
- y = L₁ sin(θ₁) + L₂ sin(θ₁ + θ₂)
Pour un bras à 6 axes, la KD utilise une chaîne de matrices de transformation homogènes : chaque joint contribue à une matrice 4x4 codant la rotation et la translation. Multipliez toutes les six matrices pour obtenir la position de l'effet de levier. C'est mécanique, mais produit toujours une réponse unique.
Kinématique inverse (KI) : Donnez une position et une orientation souhaitées de l'effet de levier final → calculez les angles des joints qui l'atteignent. C'est la direction 'difficile'.
La KI est difficile parce que :
- Plusieurs solutions : Un bras à 6 axes peut souvent atteindre le même point en plusieurs configurations (coude vers le haut contre coude vers le bas, poignet retourné contre non). Il peut y avoir 8 solutions valides ou plus.
- Aucune solution : Si l'objectif est en dehors de l'espace de travail, aucun angle des joints ne fonctionne.
- Singulier : À certaines positions, deux axes de joint se trouvent alignés et le robot perd un DOF : comme le blocage de gimbal. Près des singularités, de petits mouvements cartésiens nécessitent de grandes vitesses de joint.
Kinématique inverse : pourquoi est-ce difficile ?
Considérez un simple bras planaire à 2 liaisons avec L₁ = L₂ = 1 mètre. L'effet de levier final doit atteindre le point (1.0, 1.0).
La distance du base à l'objectif est √(1² + 1²) = √2 ≈ 1.414 m. Puisque L₁ + L₂ = 2 m > 1.414 m, le point est accessible.
Forme de la reachabilité
Espaces de travail : Le volume géométrique qu'un robot peut atteindre
L'enveloppe de l'espace de travail est l'ensemble de tous les points que le manipulateur à l'extrémité peut atteindre. Sa forme dépend uniquement de la géométrie du robot.
Bras articulé (6 axes) : L'espace de travail est approximativement un sphère creuse. La limite externe est à la portée maximale (toutes les liaisons étendues). La limite interne existe parce que le bras ne peut pas se replier suffisamment sur lui-même pour atteindre les points trop proches de la base. La coupe transversale ressemble à un donut (tore).
SCARA : L'espace de travail est un cylindre. Le bras balaye horizontalement (générant une section circulaire) et l'axe Z se déplace verticalement. Le résultat est un volume cylindrique plat : une portée importante horizontalement, limitée verticalement.
Cartésien / Pont roulant : L'espace de travail est un boîtier rectangulaire. Chaque axe se déplace linéairement le long d'une dimension. Simple, prévisible, facile à programmer : mais volumineux parce que le robot doit être aussi grand que son espace de travail.
Singularités dans l'espace de travail : À certaines positions, le robot perd un degré de liberté. Un bras articulé étendu à pleine portée (à la limite externe de son espace de travail) se trouve dans une singularité : il ne peut pas déplacer le manipulateur à l'extrémité plus loin. Les singularités du poignet se produisent lorsque deux axes de rotation du poignet sont alignés. À une singularité, la matrice jacobienne perd de rang, et la portée effective du robot diminue temporairement.
Espace de travail expert vs espace de travail accessible : L'espace de travail accessible est où le manipulateur à l'extrémité peut atteindre sous au moins un angle. L'espace de travail expert est où il peut atteindre toute orientation arbitraire. L'espace de travail expert est toujours un sous-ensemble de l'espace de travail accessible : et souvent beaucoup plus petit.
Choisir un robot en fonction de son espace de travail
Une cellule de fabrication a trois postes agencés en L. La station A est à gauche, la station B est directement devant, la station C est à droite et légèrement élevée (300 mm de plus). Le robot doit prélever des pièces à A, effectuer une opération à B et placer les pièces finies à C : tout cela depuis une position de montage unique.
Espace de configuration : la géométrie abstraite du robot
Espace de configuration : où réside la planification de la motion
Espace de configuration (C-espace) est l'une des abstractions géométriques les plus puissantes en robotique. Au lieu de penser à la forme physique du robot, représentez son état total comme un seul point dans un espace à N dimensions.
Pour un robot à N joints, l'Espace de configuration a N dimensions : une axe par angle de joint. Chaque position possible du robot est un seul point dans l'Espace de configuration. Une trajectoire (suite de positions) est une courbe dans l'Espace de configuration.
Obstacles dans l'Espace de configuration: Un obstacle physique dans le monde réel devient une région interdite dans l'Espace de configuration. Si placer le robot à des angles de joint (θ₁, θ₂, ..., θN) entraînerait une collision, ce point se trouve à l'intérieur d'un obstacle de l'Espace de configuration. La forme des obstacles de l'Espace de configuration est complexe : un simple boîte dans le monde réel devient une région bizarrement formée dans l'Espace de configuration.
Planification de la trajectoire = trouver une courbe sans collision: Donnez une configuration de départ (point dans l'Espace de configuration) et une configuration de but (un autre point), trouvez une courbe continue les reliant qui ne pénètre pas dans aucune région interdite.
Algorithmes:
- A* (grid-based): Discretiser l'Espace de configuration en grille, recherche du chemin le plus court. Fonctionne bien en basse dimension (2-3 DOF) mais la taille de la grille explose exponentiellement avec la dimension.
- RRT (Arbre de recherche rapide): Construire un arbre de prises aléatoires dans l'Espace de configuration, pousser vers les régions non explorées. Fonctionne en haute dimension (6+ DOF). Pas optimal mais rapide pour trouver des chemins réalisables.
- PRM (Planfiabilité de la carte de probabilité): Pré-calculer un graphe de configurations aléatoires sans collision, puis rechercher dans le graphe. Bon pour les requêtes répétées dans le même environnement.
L'insight géométrique : le problème de planification de chemin d'un robot à 6-DOF est un problème de courbe-à-travers-l'espace-à-6D. La dimensionalité rend les solutions exactes inabordables : les méthodes probabilistes (RRT, PRM) sont l'approche pratique.
Penser l'Espace de configuration
Un bras robotique plan à 2 liaisons (2 DOF) opère dans une pièce avec un seul obstacle rectangulaire. La liaison 1 varie de 0° à 360°, la liaison 2 varie de 0° à 360°. L'Espace de configuration est un carré 2D : θ₁ sur un axe, θ₂ sur l'autre.