Протоны, нейтроны и ядерный ландшафт

Нуклон & карта нуклидов

Протоны & нейтроны вместе называются нуклонами. Они не фундаментальны: каждый состоит из трёх кварков, удерживаемых вместе глюонами. Но при ядерных энергетических масштабах мы рассматриваем их как точечные объекты.

Каждое возможное ядро идентифицируется парой (Z, N). Карта нуклидов изображает все известные ядра: Z по вертикальной оси, N по горизонтальной. Стабильные ядра образуют узкую полосу, называемую долиной стабильности.

Ключевая особенность: для лёгких ядер (Z < 20) стабильное соотношение приблизительно N/Z ≈ 1. Для тяжёлых ядер стабильные ядра имеют значительно больше нейтронов, чем протонов. Свинец-208 (Z=82, N=126) имеет N/Z = 1,54. Этот избыток нейтронов частично компенсирует кулоновское отталкивание между протонами.

Ядра вдали от долины стабильности нестабильны: они радиоактивны. Они распадаются к стабильности путём испускания частиц или излучения.

Радиус ядра: эмпирически R ≈ R₀ × A^(1/3), где R₀ ≈ 1,2 фм. Это подразумевает, что плотность ядерной материи примерно постоянна и равна около 2,3 × 10¹⁷ кг/м³: напёрсток ядерного вещества весил бы около 500 миллионов тонн.

Оболочечная модель ядра

Магические числа & ядерные оболочки

Электроны в атомах занимают квантованные оболочки: принцип Паули заставляет их распределяться по разным энергетическим уровням. Нуклоны подчиняются тому же принципу. Оболочечная модель ядра (разработана Марией Гёпперт-Майер & Й. Хансом Д. Йенсеном, Нобелевская премия 1963) описывает нуклоны, заполняющие дискретные энергетические уровни в ядерном потенциале.

Результат: ядра с определёнными «магическими числами» протонов или нейтронов исключительно стабильны:

Магические числа: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126

Свидетельства магических чисел:

- Гелий-4 (Z=2, N=2): дважды магический, чрезвычайно стабильный: это альфа-частица

- Кислород-16 (Z=8, N=8): дважды магический

- Свинец-208 (Z=82, N=126): дважды магический, самое тяжёлое стабильное ядро

- Олово (Z=50) имеет 10 стабильных изотопов: больше, чем любой другой элемент

- После закрытия оболочек с магическими числами энергия связи на нуклон резко падает

Оболочечная модель также предсказывает ядерный спин & чётность. Каждая занятая нуклонная орбиталь имеет определённое квантовое число углового момента j. Полный ядерный спин I — векторная сумма всех спинов нуклонов & орбитальных угловых моментов. Чётность π = (−1)^ℓ для каждой орбитали. Чётно-чётные ядра (чётное Z, чётное N) всегда имеют спин основного состояния I=0 & положительную чётность.

Почему магические числа особенные?

Свинец-208 имеет Z=82 (магическое) & N=126 (магическое). Это самое тяжёлое полностью стабильное ядро: ничего тяжелее не стабильно ко всем модам распада на геологических масштабах времени.

Гелий-4 дважды магический (Z=2, N=2). При альфа-распаде ядро испускает ядро гелия-4. Это не совпадение.

Сила, удерживающая ядра вместе

Почему ядро не взрывается

Рассмотрим ядро урана-238: 92 протона упакованы в сферу радиусом ~7,4 фм. Электростатическое отталкивание между ними огромно: порядка сотен МэВ. Тем не менее ядро стабильно.

Что-то должно преодолевать это отталкивание. Это что-то — сильное ядерное взаимодействие: сильнейшее из четырёх фундаментальных взаимодействий.

Свойства сильного взаимодействия:

- Радиус действия: чрезвычайно короткий: эффективен только в пределах ~1–2 фм. За пределами 2 фм он падает практически до нуля (потенциал Юкавы: V(r) ∝ e^(−r/r₀)/r, где r₀ ≈ 1,5 фм).

- Величина: на ядерных расстояниях ~в 100 раз сильнее электромагнитного

- Зарядовая независимость: действует одинаково между парами p-p, p-n, & n-n (изоспиновая симметрия)

- Насыщение: каждый нуклон взаимодействует сильно только со своими ближайшими соседями: не со всеми другими нуклонами. Поэтому плотность ядра примерно постоянна независимо от A.

- Короткий радиус выигрывает близко, кулон выигрывает далеко: внутри ядра доминирует сильное взаимодействие. По мере добавления протонов кулоновское отталкивание (которое дальнодействующее) растёт быстрее, чем сильное взаимодействие (которое насыщается). В конечном итоге: примерно при Z=83+: ядро становится нестабильным.

Сильное взаимодействие на уровне кварков

От кварков к нуклонам & к ядрам

На фундаментальном уровне сильное взаимодействие описывается квантовой хромодинамикой (КХД). Кварки несут цветовой заряд (красный, зелёный, синий) & обмениваются глюонами для взаимодействия.

Каждый протон = два u-кварка + один d-кварк (uud). Каждый нейтрон = один u + два d-кварка (udd).

Сила между кварками передаётся безмассовыми глюонами, но в отличие от фотонов (которые передают электромагнетизм), глюоны сами также несут цветовой заряд: поэтому они взаимодействуют друг с другом. Это делает КХД сильно нелинейной & чрезвычайно сложной для аналитического решения.

Конфайнмент: свободные кварки никогда не наблюдаются. Энергия, требуемая для разделения двух кварков, растёт линейно с расстоянием (как у резинки), поэтому до того, как произойдёт разделение, энергия создаёт новую пару кварк-антикварк. Кварки всегда заключены внутри адронов (барионов, таких как протоны, или мезонов).

Ядерная сила как остаточная: то, что мы называем сильным ядерным взаимодействием между нуклонами, на самом деле является остаточной цветовой силой: оставшимся взаимодействием между цветово-нейтральными объектами, аналогичным силам Ван-дер-Ваальса между электрически нейтральными молекулами. Эта остаточная сила в основном передаётся обменом пионами (пионы — самые лёгкие мезоны, масса ~135 МэВ/c²). Масса пиона задаёт радиус действия: ℏc/m_π c² ≈ 1,4 фм.

Насыщение и аналогия жидкой капли

Сильное взаимодействие насыщается: каждый нуклон взаимодействует только со своими соседями, а не со всеми нуклонами в ядре. Это сильно отличается от гравитации или электромагнетизма, где каждая частица взаимодействует с каждой другой частицей.

Из-за насыщения ядерная энергия связи растёт примерно пропорционально A (объёмный член), а не A(A-1)/2 (как было бы, если бы каждая пара взаимодействовала).

Типы радиоактивного распада

Почему ядра распадаются

Нестабильное ядро распадается, чтобы достичь состояния с более низкой энергией: ближе к долине стабильности на карте нуклидов. Высвобождаемая энергия (Q-значение) равна разности масс между родительским ядром & продуктами, преобразованной через E=mc².

Альфа-распад (α): ядро испускает ядро гелия-4 (²⁴He: 2 протона, 2 нейтрона). Результат: Z уменьшается на 2, A уменьшается на 4. Происходит в тяжёлых ядрах (как правило, Z > 82). Пример: ²³⁸U → ²³⁴Th + ⁴He, Q = 4,27 МэВ.

Бета-минус распад (β⁻): нейтрон преобразуется в протон: n → p + e⁻ + ν̄_e (антинейтрино). Результат: Z увеличивается на 1, A не меняется. Опосредуется слабым взаимодействием. Происходит, когда N/Z слишком велико (слишком много нейтронов).

Бета-плюс распад (β⁺): протон преобразуется в нейтрон: p → n + e⁺ + ν_e (позитрон + нейтрино). Результат: Z уменьшается на 1, A не меняется. Происходит, когда N/Z слишком мало (слишком много протонов). Требует Q > 2m_e c² = 1,022 МэВ.

Электронный захват (ЭЗ): протон захватывает электрон с внутренней оболочки: p + e⁻ → n + ν_e. Тот же чистый результат, что у β⁺, но позитрон не испускается. Конкурирует с β⁺ при Q < 1,022 МэВ или для тяжёлых ядер, где плотность электронов внутренней оболочки в ядре высока.

Гамма-распад (γ): после альфа- или бета-распада дочернее ядро часто находится в возбуждённом состоянии. Оно девозбуждается, испуская гамма-фотон (высокоэнергетическое электромагнитное излучение). Z & A не меняются: меняется только энергия. Это аналогично атомному линейному излучению, но при энергиях МэВ.

Внутренняя конверсия: альтернатива гамма-эмиссии. Энергия ядерного возбуждения передаётся непосредственно электрону внутренней оболочки, который выбрасывается. Конкурирует с гамма-эмиссией, особенно для низкоэнергетических переходов & тяжёлых ядер.

Квантовое туннелирование и альфа-распад

Фактор Гамова: как альфа-частицы убегают

Альфа-распад представляет квантовомеханическую загадку. Внутри ядра альфа-частица сидит в притягивающей потенциальной яме: сильное взаимодействие удерживает её. Сразу за пределами ядра кулоновское отталкивание берёт верх, создавая потенциальный барьер.

Классически альфа-частица не может убежать: ей не хватает энергии, чтобы преодолеть кулоновский барьер (который достигает пика ~30 МэВ для урана, в то время как Q-значение альфы — всего ~4 МэВ). Тем не менее альфа-распад происходит.

Квантовое туннелирование: поскольку альфа-частица подчиняется волновой механике, её волновая функция не обрывается резко на барьере. Она экспоненциально затухает через классически запрещённую область. Существует ненулевая вероятность найти частицу с другой стороны.

Вероятность туннелирования характеризуется фактором Гамова G:

G = exp(−2γ), где γ = (Z_d × Z_α × e²)/(ℏv_α) × [arccos(√(R/R_C)) − √(R/R_C × (1 − R/R_C))]

Ключевая зависимость: альфа-частицы более высокой энергии (большее Q-значение) имеют гораздо большие вероятности туннелирования → гораздо более короткие периоды полураспада. Это закон Гейгера-Нуттолла: log(λ) ∝ −1/√Q, где λ — постоянная распада.

Драматическое следствие: изменение Q в 2 раза изменяет период полураспада на много порядков величины. Уран-238 (Q=4,27 МэВ) имеет t₁/₂ = 4,5 миллиарда лет. Полоний-214 (Q=7,83 МэВ) имеет t₁/₂ = 164 микросекунды. Тот же механизм, совершенно разные масштабы времени: полностью объясняется фактором Гамова.

Закон Гейгера-Нуттолла

Альфа-распад урана-238: Q-значение 4,27 МэВ, период полураспада 4,47 × 10⁹ лет.

Альфа-распад полония-212: Q-значение 8,95 МэВ, период полураспада 0,3 × 10⁻⁶ секунд.

Альфа-распад тория-228: Q-значение 5,52 МэВ, период полураспада 1,9 года.

Бета-распад и слабое взаимодействие

Слабое взаимодействие в ядре

Бета-распад фундаментально отличается от альфа-распада. Он не вовлекает предварительно сформированные кластеры или туннелирование в том же смысле. Вместо этого аромат кварка меняется через слабое взаимодействие.

При β⁻-распаде: d-кварк в нейтроне преобразуется в u-кварк, превращая нейтрон в протон. Посредник — W⁻-бозон (масса ~80 ГэВ/c²). Поскольку W-бозон такой массивный, слабое взаимодействие имеет чрезвычайно короткий радиус действия (~10⁻¹⁸ м) & по природе медленное.

Нейтрино: бета-распад всегда производит нейтрино (или антинейтрино). Это было предсказано Вольфгангом Паули в 1930 году для объяснения непрерывного бета-спектра: если бы испускался только электрон, сохранение энергии & импульса требовало бы фиксированной энергии электрона для каждого распада. Наблюдаемый непрерывный спектр доказал, что третья частица (нейтрино) уносила переменные доли Q-значения.

Теория Ферми бета-распада: теория Энрико Ферми 1934 года рассматривает бета-распад как точечное взаимодействие (радиус слабой силы пренебрежимо мал на ядерных масштабах). Скорость распада зависит от Q-значения в пятой степени: λ ∝ Q⁵. Это означает, что небольшое увеличение Q резко ускоряет бета-распад: хотя не так драматически, как при альфа-распаде.

Детали гамма-распада: после альфа- или бета-распада дочерние ядра обычно находятся в возбуждённых состояниях (показанных как ᴬ_Z X*). Ядро девозбуждается, испуская гамма-фотон с энергией = E_возб − E_осн. Скорости переходов зависят от мультипольности перехода (E1, M1, E2 и т.д.): электрические дипольные переходы самые быстрые (~10⁻¹⁴ с), в то время как переходы высокой мультипольности могут быть медленными (образуя изомеры, которые живут от минут до лет). Технеций-99m (используемый в медицинской визуализации) — ядерный изомер с периодом полураспада 6 часов, распадающийся через изомерный переход (гамма-эмиссию) до Tc-99.

Цепочка распада урана-238

U-238 → Pb-206: 14 шагов за 4,5 миллиарда лет

Тяжёлые ядра распадаются через цепь последовательных распадов, пока не достигнут стабильного ядра. Цепочка U-238 производит 8 альфа-распадов & 6 бета-распадов до достижения стабильного Pb-206:

¹. ²³⁸U → ²³⁴Th + α (t₁/₂ = 4,47 млрд лет)

². ²³⁴Th → ²³⁴Pa + β⁻ (t₁/₂ = 24,1 дня)

³. ²³⁴Pa → ²³⁴U + β⁻ (t₁/₂ = 1,17 мин)

⁴. ²³⁴U → ²³⁰Th + α (t₁/₂ = 245 500 лет)

⁵. ²³⁰Th → ²²⁶Ra + α (t₁/₂ = 75 400 лет)

⁶. ²²⁶Ra → ²²²Rn + α (t₁/₂ = 1600 лет)

⁷. ²²²Rn → ²¹⁸Po + α (t₁/₂ = 3,82 дня)

⁸. ²¹⁸Po → ²¹⁴Pb + α (t₁/₂ = 3,05 мин)

⁹. ²¹⁴Pb → ²¹⁴Bi + β⁻ (t₁/₂ = 26,8 мин)

¹⁰. ²¹⁴Bi → ²¹⁴Po + β⁻ (t₁/₂ = 19,7 мин)

¹¹. ²¹⁴Po → ²¹⁰Pb + α (t₁/₂ = 164 мкс)

¹². ²¹⁰Pb → ²¹⁰Bi + β⁻ (t₁/₂ = 22,3 года)

¹³. ²¹⁰Bi → ²¹⁰Po + β⁻ (t₁/₂ = 5,01 дня)

¹⁴. ²¹⁰Po → ²⁰⁶Pb + α (t₁/₂ = 138 дней)

Конечный продукт: ²⁰⁶Pb (стабильный)

Радон-222: шаг 6–7 включает радон, благородный газ. Поскольку это газ, он может вырываться из почвы & накапливаться в зданиях. Радон — вторая ведущая причина рака лёгких в США после курения: прямое следствие естественной цепочки распада урана.

Вековое равновесие: в старом урановом рудном месторождении каждый промежуточный продукт достигает векового равновесия с ураном-238. В равновесии активность каждого продукта распада равна активности U-238. Это означает, что несмотря на то, что промежуточные периоды полураспада варьируются от микросекунд до тысяч лет, их активности все равны в равновесии.

Математика радиоактивного распада

N(t) = N₀ × e^(−λt)

Радиоактивный распад — чисто статистический процесс. Каждое ядро распадается независимо с фиксированной вероятностью в единицу времени λ (постоянная распада). Это приводит к кинетике первого порядка:

N(t) = N₀ × e^(−λt)

где N₀ — начальное количество ядер & N(t) — количество, оставшееся в момент t.

Период полураспада: время, за которое распадается половина ядер: t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0,693/λ

Активность: A = λN: количество распадов в секунду. Единица: беккерель (Бк) = 1 распад/с. Старая единица: кюри (Ки) = 3,7 × 10¹⁰ Бк (определена как активность 1 грамма радия-226).

Удельная активность: активность на единицу массы. Для чистого изотопа: УА = λ × N_A / M, где N_A — число Авогадро & M — молярная масса. Короткий период полураспада → высокая удельная активность. Po-210 имеет t₁/₂ = 138 дней → УА ≈ 1,7 × 10¹⁴ Бк/г = 4500 Ки/г. Уран-238 имеет t₁/₂ = 4,47 млрд лет → УА ≈ 12 400 Бк/г.

Среднее время жизни: τ = 1/λ = t₁/₂/ln(2) ≈ 1,44 × t₁/₂. После одного среднего времени жизни количество уменьшается до 1/e ≈ 36,8% от начального значения.

После n периодов полураспада: N(n) = N₀/2ⁿ

Вековое равновесие

Когда быстрые дочерние ядра достигают равновесия с медленными родительскими

Рассмотрим родительское ядро P, распадающееся в дочернее ядро D (которое само распадается). Если период полураспада родителя намного больше периода полураспада дочернего (t_{P} >> t_{D}), дочернее ядро достигает векового равновесия с родителем.

При вековом равновесии: λ_P × N_P = λ_D × N_D, или эквивалентно, A_P = A_D (активности равны).

Физический смысл: дочернее ядро производится родителем с той же скоростью, с которой оно распадается. Население дочерних ядер постоянно: цепочка находится в стационарном состоянии.

Время до равновесия: примерно 7 × t₁/₂(дочернее). Ra-226 (t₁/₂ = 1600 лет) достигает векового равновесия с U-238 (t₁/₂ = 4,47 миллиарда лет) после ~11 200 лет.

Практическое следствие: в добыче урана руда содержит все дочерние ядра в вековом равновесии. Шахтёры & работники мельниц подвергаются воздействию не только U-238, но & всей его равновесной цепочки распада: включая альфа-излучающие изотопы радона, полония & свинца, все на одном уровне активности с U-238.

Расчёт остаточной активности

Исследовательский реактор производит йод-131 (t₁/₂ = 8,02 дня) как продукт деления. Сразу после остановки образец содержит 3,7 × 10¹⁰ Бк (1 Ки) I-131.

I-131 медицински значим: он концентрируется в щитовидной железе & используется как терапевтически (лечение рака щитовидной железы), так & представляет радиационную опасность от ядерных аварий (выбросы Чернобыля & Фукусимы включали значительный I-131).

Дефект масс и E=mc²

Откуда берётся энергия связи?

Ядро весит меньше, чем сумма его свободных протонов & нейтронов. Это дефект масс (Δm), & это происхождение ядерной энергии связи.

Формула: B = Δm × c² = [Z × m_p + N × m_n − m(ядро)] × 931,5 МэВ/а.е.м.

Пример: железо-56 (²⁵⁶Fe, наиболее тесно связанное обычное ядро)

- Z = 26 протонов, N = 30 нейтронов

- Масса 26 свободных протонов: 26 × 1,007276 а.е.м. = 26,189 а.е.м.

- Масса 30 свободных нейтронов: 30 × 1,008665 а.е.м. = 30,260 а.е.м.

- Сумма свободных нуклонов: 56,449 а.е.м.

- Измеренная масса ядра ⁵⁶Fe: 55,921 а.е.м.

- Дефект масс: Δm = 56,449 − 55,921 = 0,528 а.е.м.

- Энергия связи: B = 0,528 а.е.м. × 931,5 МэВ/а.е.м. = 492 МэВ

- Энергия связи на нуклон: B/A = 492/56 = 8,79 МэВ/нуклон

Пример: уран-235

- Z = 92, N = 143, A = 235

- Сумма свободных нуклонов: 92 × 1,007276 + 143 × 1,008665 = 236,908 а.е.м.

- Измеренная атомная масса ²³⁵U: 235,044 а.е.м. (вычитаем 92 электронные массы: 92 × 0,000549 а.е.м. = 0,0505 а.е.м. → ядерная масса ≈ 234,994 а.е.м.)

- Дефект масс: Δm ≈ 236,908 − 234,994 ≈ 1,914 а.е.м.

- Энергия связи: 1,914 × 931,5 ≈ 1784 МэВ всего = 7,59 МэВ/нуклон

Сравнение: ⁵⁶Fe более тесно связан на нуклон, чем ²³⁵U. Это физика, лежащая в основе того, почему деление урана высвобождает энергию: продукты (ядра средней массы, такие как барий & криптон) более тесно связаны на нуклон, чем уран.

Кривая энергии связи

Самый важный график в ядерной физике

Энергия связи на нуклон (B/A), построенная в зависимости от массового числа A, раскрывает всю логику ядерной энергии:

Ключевые особенности кривой:

- Подъём от A=1 до A~56: по мере того, как ядра растут от водорода до железа, B/A увеличивается. Объединение лёгких ядер в более тяжёлые высвобождает энергию (синтез).

- Пик около A=56-62: железо-56 (8,79 МэВ/нуклон) & никель-62 (8,80 МэВ/нуклон) находятся на пике. Это самые стабильные ядра: «зола» Вселенной от звёздного нуклеосинтеза.

- Постепенный спад от A=56 до A=238: тяжёлые ядра менее тесно связаны на нуклон, чем железо. По мере накопления кулоновского отталкивания с каждым добавленным протоном энергия связи на нуклон падает. Расщепление тяжёлых ядер в ядра средней массы высвобождает энергию (деление).

- Заметные выступы: магические числа создают локальные пики: гелий-4 (7,07 МэВ/нуклон) сидит заметно выше тренда для своего диапазона масс.

Энергия, высвобождаемая при делении U-235:

U-235 имеет B/A ≈ 7,59 МэВ/нуклон. Типичные продукты деления (например, Ba-141 & Kr-92) имеют B/A ≈ 8,4 МэВ/нуклон.

Высвобождаемая энергия ≈ (8,4 − 7,59) × 235 ≈ 0,81 × 235 ≈ 190 МэВ на одно деление

(Плюс ~10 МэВ от мгновенной кинетической энергии нейтронов & гамма-лучей, всего ~200 МэВ на деление)

Энергия, высвобождаемая в синтезе D-T:

D (²H, B/A = 1,11 МэВ) + T (³H, B/A = 2,83 МэВ) → ⁴He (B/A = 7,07 МэВ) + n

Q = [m(D) + m(T) − m(⁴He) − m(n)] × 931,5 МэВ/а.е.м. = 17,6 МэВ на реакцию

На килограмм топлива D-T: ~3,4 × 10¹⁴ Дж = 340 ТДж/кг: против ~43 МДж/кг для бензина (фактор ~8 миллионов)

Почему железо отмечает конечную точку звёздного нуклеосинтеза

Звёзды производят энергию путём синтеза более лёгких ядер в более тяжёлые: водород в гелий, гелий в углерод & так далее. Каждый шаг синтеза высвобождает энергию, потому что продукт более тесно связан на нуклон, чем реагенты.

Когда ядро массивной звезды достигает железа, синтез останавливается.

Как работает деление

Ядерное деление: расщепление тяжёлого ядра

Деление происходит, когда тяжёлое ядро (обычно A > 230) поглощает нейтрон & становится настолько деформированным, что сильное взаимодействие больше не может удерживать его вместе против кулоновского отталкивания.

Процесс деления:

1. Ядро поглощает нейтрон → становится ²³⁶U* (возбуждённое составное ядро)

2. Ядро колеблется: жидкая капля деформируется

3. Если энергия возбуждения превышает барьер деления (~6 МэВ для U-235 + медленный нейтрон), шейка истончается & ядро расщепляется

4. Два осколка деления разлетаются (Ba, Kr, Cs, I и т.д.: обычно A ~ 90 & A ~ 140)

5. Мгновенные нейтроны (в среднем 2-3) испускаются в течение 10⁻¹⁴ секунд

6. Осколки подвергаются цепям бета-распада (они нейтрон-богатые) в течение часов до лет

Распределение энергии от одного события деления U-235 (~200 МэВ всего):

- Кинетическая энергия осколков деления: ~168 МэВ

- Кинетическая энергия мгновенных нейтронов: ~5 МэВ

- Мгновенные гамма-лучи: ~7 МэВ

- Запаздывающие беты от осколков: ~8 МэВ

- Запаздывающие гаммы от осколков: ~7 МэВ

- Энергия антинейтрино (улетает): ~12 МэВ (не извлекается)

Извлекаемая энергия в реакторе: ~188 МэВ на деление

Нейтронные сечения

Сечения: как нейтроны видят ядра

Сечение (σ) измеряет вероятность взаимодействия нейтрона с ядром. Несмотря на название, это не геометрическая площадь: это эффективная площадь, которая отражает квантово-механическую вероятность взаимодействия.

Единица: барн (б) = 10⁻²⁴ см² = 10⁻²⁸ м². (Происхождение: во время Манхэттенского проекта физики обнаружили, что урановые ядра неожиданно велики по сечению & сказали, что ядро «размером с амбар (barn)».)

Ключевые сечения для U-235:

- Деление (σ_f): ~580 барн при тепловых энергиях (0,025 эВ)

- Полное поглощение: ~680 барн при тепловых энергиях

- Деление быстрых нейтронов: ~1-2 барна при 1 МэВ

Закон 1/v: для тепловых нейтронов (низкая энергия) сечения взаимодействия масштабируются как 1/v (обратная скорость), или эквивалентно, 1/√E. Более медленные нейтроны проводят больше времени около ядра & имеют большую вероятность взаимодействия.

Резонансная область: между тепловой (~0,025 эВ) & быстрой (~1 МэВ) энергиями многие ядра показывают драматические пики в сечении, называемые резонансами: соответствующие конкретным возбуждённым состояниям составного ядра. U-238 имеет огромные пики резонансного захвата в диапазоне 1-1000 эВ, поэтому тепловые реакторы используют замедлители, чтобы привести нейтроны ниже резонансной области.

Следствие для проектирования реактора: тепловые нейтроны (замедленные замедлителем: вода, тяжёлая вода, графит) имеют в 300 раз большую вероятность деления в U-235, чем быстрые нейтроны. Поэтому большинство реакторов используют замедлители.

Цепные реакции и критичность

Самоподдерживающаяся цепная реакция

Каждое деление U-235 высвобождает в среднем 2,43 мгновенных нейтрона (обозначается ν). Для самоподдерживающейся цепной реакции ровно один из этих нейтронов должен вызвать другое деление.

Коэффициент размножения k: отношение нейтронов в одном поколении к предыдущему поколению.

- k < 1: подкритическое: реакция затухает

- k = 1: критическое: устойчивая мощность

- k > 1: надкритическое: реакция растёт экспоненциально

Формула шести факторов (для тепловых реакторов): k_eff = η × f × p × ε × P_NL(тепл) × P_NL(быстр)

- η (эта): нейтронов, произведённых на нейтрон, поглощённый в топливе

- f: коэффициент тепловой утилизации (доля тепловых нейтронов, поглощённых топливом)

- p: вероятность избегания резонанса (доля, избегающая резонансного захвата при замедлении)

- ε (эпсилон): коэффициент быстрого деления

- P_NL: вероятности неутечки

Запаздывающие нейтроны: критичны для управления реактором. Около 0,65% нейтронов от деления U-235 запаздывают: испускаются от 0,05 до 55 секунд после деления. Без запаздывающих нейтронов мгновенный период реактора был бы ~10⁻⁴ секунд: слишком быстро для механических управляющих стержней. С запаздывающими нейтронами эффективный мгновенный период составляет ~0,1 секунды: управляемо.

Мгновенная критичность: если k > 1 на основе одних мгновенных нейтронов (игнорируя запаздывающие), реактор становится мгновенно критичным. Это условие в ядерном оружии. Реакторы спроектированы, чтобы никогда не достигать мгновенной критичности.

Почему тепловым реакторам нужны замедлители

Природный уран содержит 99,3% U-238 & только 0,7% U-235. U-238 имеет огромное сечение резонансного поглощения для нейтронов в диапазоне от 1 эВ до 10 кэВ, но не делится тепловыми нейтронами. U-235 имеет сечение деления 580 барн при тепловых энергиях.

Большинство энергетических реакторов используют 3-5% обогащённый уран (3-5% U-235) с лёгкой водой как замедлителем & теплоносителем.

Физика синтеза

Преодоление кулоновского барьера

Синтез требует сближения двух ядер достаточно близко для того, чтобы сильное взаимодействие взяло верх: в пределах ~1 фм. Но оба ядра положительно заряжены, поэтому они отталкиваются друг от друга электростатически.

Кулоновский барьер: электростатическая потенциальная энергия на ядерном расстоянии r для двух ядер с зарядами Z₁e & Z₂e:

V_C = k_e × Z₁ × Z₂ × e² / r

Для синтеза D-T (Z₁=1, Z₂=1, r ≈ 1 фм): V_C ≈ 1,4 МэВ

Классически вам нужны ядра с по крайней мере 1,4 МэВ кинетической энергии (температура ~10¹⁰ К). Но квантовое туннелирование через кулоновский барьер снижает это требование: значительное туннелирование происходит при ~10⁻¹⁰ от классической скорости даже при энергиях значительно ниже барьера.

Тепловая плазма: в реакторе синтеза ядра не моноэнергетичны. Они следуют распределению Максвелла-Больцмана. Скорость реакции — это максвелловски усреднённое произведение сечения & скорости: <σv>. Эта функция достигает пика при разных температурах для разных реакций.

Оптимальные температуры:

- D-T (²H + ³H → ⁴He + n, Q = 17,6 МэВ): пик <σv> при ~70 кэВ (≈ 800 миллионов К). Практический порог зажигания: ~10 кэВ температуры плазмы (≈ 100 миллионов К)

- D-D (²H + ²H → ³He + n или ³H + p): пик при ~500 кэВ: требует гораздо более высокой температуры

- D-³He (²H + ³He → ⁴He + p, Q = 18,3 МэВ): пик при ~200 кэВ: безнейтронная, очень привлекательная, но более сложная

- p-¹¹B (протон + бор-11 → 3 ⁴He, Q = 8,7 МэВ): безнейтронная, требуется ~10⁹ К: самая трудная

Почему D-T первая? D-T имеет наивысшее <σv> при наименьшей температуре: примерно в 100 раз выше, чем D-D при 10 кэВ. Поэтому все текущие программы синтеза (ITER, NIF, частные предприятия, такие как TAE, Commonwealth Fusion) используют D-T, несмотря на необходимость воспроизводить тритий & управлять нейтронной активацией.

Критерий Лоусона

Когда синтез производит больше энергии, чем потребляет

Чтобы плазма синтеза была самоподдерживающейся (зажигание), энергия, производимая синтезом, должна превышать энергию, теряемую плазмой. Это количественно описывается критерием Лоусона, выведенным Джоном Лоусоном в 1957 году.

Для синтеза D-T зажигание требует: n × τ_E > 10²⁰ м⁻³ с (при T ≈ 20 кэВ)

где n — числовая плотность плазмы & τ_E — время удержания энергии (как долго плазма сохраняет свою энергию).

Современные представления используют тройное произведение: n × T × τ_E > ~3 × 10²¹ м⁻³ · кэВ · с

Прогресс токамаков (тройное произведение):

- JET (1997): n×T×τ_E ≈ 10²¹ м⁻³·кэВ·с, Q ≈ 0,65 (энергия синтеза / входная энергия)

- ITER (прогноз): Q ≈ 10 (500 МВт мощности синтеза от 50 МВт входной)

- DEMO (запланировано): Q > 25, чистое производство электроэнергии

Инерционное удержание (NIF): вместо магнитного удержания плазмы NIF использует 192 лазерных луча для сжатия & нагрева пеллеты D-T до условий синтеза. Пеллета имплодирует за ~10⁻¹⁰ секунд: время удержания — это время имплозии. NIF достиг зажигания (Q > 1) в декабре 2022 года, впервые в истории.

Энергетический вызов: даже при Q = 10 электростанция синтеза должна преобразовывать энергию синтеза в электричество (тепловой КПД ~40%) & рециркулировать мощность для нагрева плазмы. Чистый КПД Q_стенка ≈ Q × η − 1. Для экономичного производства электроэнергии необходимо Q > ~25.

D-T против D-D против p-B11

Рассмотрим три реакции синтеза:

D-T: Q = 17,6 МэВ, оптимальная T ≈ 100 миллионов К, производит энергичные нейтроны (14,1 МэВ)

D-D: Q ≈ 3,65 МэВ (среднее двух каналов), оптимальная T ≈ 500 миллионов К, испускаются нейтроны

p-B11: Q = 8,7 МэВ, оптимальная T ≈ 10 миллиардов К, полностью безнейтронная (производятся только альфа-частицы)

Тритий имеет период полураспада 12,3 года & не встречается в природе: его нужно воспроизводить из лития в бланкете, окружающем реактор (⁶Li + n → ⁴He + T).

E=mc² в числах

Уравнение Эйнштейна в конкретных числах

E = mc², где c = 2,998 × 10⁸ м/с, поэтому c² = 8,988 × 10¹⁶ м²/с² = 8,988 × 10¹⁶ Дж/кг

Полное преобразование массы (гипотетическое):

1 грамм вещества, полностью преобразованный: E = 0,001 кг × 8,988 × 10¹⁶ Дж/кг = 8,988 × 10¹³ Дж = ~90 ТДж

Это примерно энергия ядерного оружия мощностью 20 килотонн (бомба Хиросимы — ~15 кт тротилового эквивалента ≈ 63 ТДж).

Дефект масс при делении U-235:

U-235 делится с образованием Ba-141 + Kr-92 + 3n (типичное разделение)

Масса до: m(²³⁵U) + m(n) = 235,0439 а.е.м. + 1,0087 а.е.м. = 236,0526 а.е.м.

Масса после: m(¹⁴¹Ba) + m(⁹²Kr) + 3 × m(n) = 140,9144 а.е.м. + 91,9262 а.е.м. + 3 × 1,0087 а.е.м. = 235,8667 а.е.м.

Дефект масс: Δm = 236,0526 − 235,8667 = 0,1859 а.е.м.

Выделяемая энергия: 0,1859 а.е.м. × 931,5 МэВ/а.е.м. = 173 МэВ

(Оставшиеся ~27 МэВ поступают от последующих бета/гамма-распадов осколков, антинейтрино и т.д.)

Доля преобразованной массы: 0,1859 а.е.м. / 236,0526 а.е.м. = 0,079%: менее 0,1% массы преобразуется в энергию

Для сравнения: химическое горение:

Сжигание 1 атома углерода (12 а.е.м.): C + O₂ → CO₂, ΔH ≈ −393 кДж/моль = −4,1 эВ на молекулу

Дефект масс: 4,1 эВ / (931,5 × 10⁶ эВ/а.е.м.) = 4,4 × 10⁻⁹ а.е.м. на атом: совершенно неизмеримо

Доля преобразованной массы: ~3,6 × 10⁻¹⁰ = 0,000000036%: в 200 000 раз меньше, чем при делении

Сравнение плотностей энергии:

- Бензин: ~43 МДж/кг

- Деление U-235: ~8,2 × 10¹³ Дж/кг = 82 000 000 МДж/кг

- Синтез D-T: ~3,4 × 10¹⁴ Дж/кг = 340 000 000 МДж/кг

- Полная аннигиляция: 9 × 10¹⁶ Дж/кг = 90 000 000 000 МДж/кг

Вычислите дефект масс

Атомная электростанция работает с электрической мощностью 1000 МВт при КПД 33% (типичный водо-водяной реактор). Рассматривается один год работы.

1 год = 3,156 × 10⁷ секунд

Тепловая мощность = 1000 МВт / 0,33 = ~3030 МВт тепловых

Энергия за год = 3030 × 10⁶ Вт × 3,156 × 10⁷ с = 9,56 × 10¹⁶ Дж тепловых

Подсказка: 1 а.е.м. = 931,5 МэВ/c², 1 МэВ = 1,602 × 10⁻¹³ Дж, 1 а.е.м. = 1,66054 × 10⁻²⁷ кг

Единицы радиоактивности и дозы

Полный справочник по единицам радиации

Ядерные инженеры и специалисты по радиационной защите используют специфический набор единиц. Понимание того, какую величину измеряет каждая единица & когда какую использовать, совершенно необходимо.

Активность (мощность источника):

- Беккерель (Бк): 1 Бк = 1 радиоактивный распад в секунду. Единица СИ.

- Кюри (Ки): 1 Ки = 3,7 × 10¹⁰ Бк. Определяется как активность 1 грамма Ra-226. По-прежнему широко используется в ядерной медицине США. 1 мКи = 3,7 × 10⁷ Бк.

Активность говорит о мощности источника: количество распадов в секунду: но ничего не говорит о биологическом эффекте.

Экспозиционная доза (ионизация в воздухе):

- Рентген (Р): Количество рентгеновского или гамма-излучения, производящего 2,58 × 10⁻⁴ кулона ионного заряда на килограмм сухого воздуха. Теперь в основном вытеснено единицами СИ, но по-прежнему используется в старой дозиметрической литературе.

Поглощённая доза (энергия, осаждённая в ткани):

- Грей (Гр): 1 Гр = 1 джоуль энергии, осаждённой на килограмм ткани. Единица СИ.

- Рад: 1 рад = 0,01 Гр = 10 мГр. Старая единица (radiation absorbed dose — поглощённая доза излучения).

Поглощённая доза говорит об осаждённой энергии, но разные типы излучения вызывают разные биологические повреждения при одинаковом осаждении энергии.

Эффективная доза (биологический эффект):

- Зиверт (Зв): Эффективная доза = поглощённая доза × весовой коэффициент излучения (w_R). Единица СИ.

- Бэр: 1 бэр = 0,01 Зв = 10 мЗв. (Биологический эквивалент рентгена). Старая единица.

Весовые коэффициенты излучения (w_R):

- Гамма-лучи, рентгеновские лучи, бета-частицы: w_R = 1 (1 Гр = 1 Зв)

- Нейтроны (1 МэВ): w_R = 20

- Альфа-частицы: w_R = 20

- То есть 1 Гр альфа-излучения = 20 Зв биологического эффекта: в 20 раз более поражающее на джоуль, чем гамма

Мощность дозы и интегральная доза:

Мощность дозы (Зв/ч или мЗв/ч) — мгновенная скорость осаждения энергии. Интегральная доза (Зв) — суммарная, накопленная за время.

Мощность дозы × время = интегральная доза. Но биологические эффекты зависят как от мощности, так и от суммарного значения: острая высокая мощность дозы вызывает лучевую болезнь; та же суммарная доза, распределённая по годам, имеет меньший эффект.

Справочные дозы:

- Годовое фоновое излучение (среднее по США): ~3,1 мЗв/год

- Рентгенография грудной клетки: ~0,1 мЗв

- КТ (брюшная полость): ~8 мЗв

- Профессиональный предел (работники ядерной отрасли США): 50 мЗв/год

- Порог острой лучевой болезни: ~1 Зв при остром облучении всего тела

- ЛД50/30 (летальная доза для 50% населения за 30 дней без лечения): ~4–5 Зв при остром облучении всего тела

Применение единиц радиации

Пациенту ядерной медицины вводят Tc-99m (технеций-99m) для сцинтиграфии костей. Вводимая активность составляет 20 мКи.

Tc-99m распадается только через испускание гамма-лучей (E_γ = 140 кэВ), t₁/₂ = 6,0 часов.

Примерно 30% введённой активности концентрируется в костях; 70% выводится почками в течение 24 часов.

Эффективная доза для пациента от сцинтиграфии костей с 20 мКи Tc-99m составляет приблизительно 4,0 мЗв (по данным дозиметрических расчётов).

Ядерная физика в мире

Где встречается эта физика

Типы реакторов, работающих сегодня:

- Водо-водяной энергетический реактор (ВВЭР/PWR): ~70% мировых мощностей ядерной энергетики. Замедлитель & теплоноситель H₂O, давление 155 бар, температура теплоносителя 315°C, топливо UO₂ с обогащением 3–5%.

- Кипящий водяной реактор (BWR): Замедлитель H₂O, кипение в активной зоне при 75 бар, одноконтурный (теплоноситель = пар непосредственно вращает турбину). Более компактный, несколько проще.

- CANDU: Замедлитель & теплоноситель D₂O, топливо из природного урана, возможна перегрузка топлива на ходу.

- РБМК (тип Чернобыля): Замедлитель графит, теплоноситель лёгкая вода. Положительный паровой коэффициент реактивности: при кипении теплоносителя реактивность возрастает (неустойчив на малой мощности). В настоящее время выводится из эксплуатации.

- Быстрые реакторы (БН и др.): Без замедлителя. Быстрые нейтроны. Могут нарабатывать плутоний из U-238 (реакторы-размножители), дожигать долгоживущие актиниды. Натриевый теплоноситель (высокая теплопроводность, без замедления). Российский БН-800 находится в коммерческой эксплуатации.

Медицинская физика:

- ПЭТ-сканирование: Позитронные излучатели (¹⁸F, t₁/₂ = 110 мин) производят встречные гамма-кванты с энергией 511 кэВ от аннигиляции e⁺e⁻: регистрируются в совпадении для визуализации метаболизма.

- Лучевая терапия: Линейные ускорители производят рентгеновские лучи 6–18 МВ. Протонная терапия использует физику пика Брэгга: протоны осаждают максимальную дозу на определённой глубине, щадя окружающие ткани.

- Нейтронозахватная терапия (BNCT): Тепловые нейтроны захватываются ¹⁰B в клетках опухоли → ¹¹B* → ⁴He + ⁷Li + гамма, осаждая дозу непосредственно в опухолевой клетке.

Физика ядерного оружия:

- Атомная бомба: Сверхкритическая масса собирается за микросекунды. Имплозионная конструкция (Тринити, Толстяк) или пушечная (Малыш). Мощность в кт-Мт тротилового эквивалента.

- Термоядерное оружие: Делительный первичный узел сжимает & нагревает термоядерный вторичный узел (топливо D-T или Li-D). Мощность до ~50 Мт (Царь-бомба). Деление — спусковой механизм; синтез обеспечивает большую часть мощности.

Геофизика:

- Радиометрическое датирование: ¹⁴C (t₁/₂ = 5730 лет) для недавнего органического материала; системы U-Pb для горных пород возрастом до 4,5 миллиарда лет; K-Ar для магматических пород. Всё основано на N(t) = N₀e^(−λt).

- Тепло Земли: ~45 ТВт тепла поступает из недр Земли. Около половины — первичное (от формирования); половина — от распада долгоживущих радионуклидов (²³⁸U, ²³²Th, ⁴⁰K): планета остаётся тёплой благодаря радиоактивному распаду.

Итоговый синтез

Вы изучили: структуру ядра & оболочечную модель, сильное & слабое взаимодействия, альфа/бета/гамма/ЭЗ-распад с квантовой механикой, кинетику периода полураспада & вековое равновесие, энергию связи & кривую, сечения деления & цепные реакции, плазму синтеза & критерий Лоусона, расчёты E=mc², & единицы радиации.

Что вы изучили

Ядерная физика 101: Курс завершён

Вы охватили полный объём вводного курса ядерной инженерной физики:

Структура ядра: Нуклоны, карта нуклидов, оболочечная модель, магические числа (2, 8, 20, 28, 50, 82, 126), ядерный спин & чётность, & масштабирование ядерного радиуса как R₀A^(1/3).

Сильное взаимодействие: Короткодействующее взаимодействие Юкавы, насыщение, обмен глюонами на уровне кварков, остаточная сила через обмен пионами, & капельная модель как следствие насыщения.

Радиоактивный распад: Альфа (квантовое туннелирование, фактор Гамова, закон Гейгера-Нуттолла), бета-минус & бета-плюс (слабое взаимодействие, W-бозон, изменение аромата кварка), электронный захват, гамма-девозбуждение, внутренняя конверсия & полная цепочка ²³⁸U → ²⁰⁶Pb.

Кинетика периода полураспада: N(t) = N₀e^(−λt), активность в Бк & Ки, удельная активность, среднее время жизни, вековое равновесие & реальные расчёты распада.

Энергия связи: Расчёт дефекта масс (Δm × 931,5 МэВ/а.е.м.), члены формулы Бете-Вайцзекера & вычисленные примеры для Fe-56 & U-235.

Кривая энергии связи: Почему синтез высвобождает энергию для лёгких ядер, почему деление высвобождает энергию для тяжёлых ядер, почему железо является конечной точкой звёздного нуклеосинтеза & плотности энергии в Дж/кг.

Физика деления: Составное ядро, распределение энергии продуктов деления, нейтронные сечения & барн, закон 1/v, резонансный захват, формула шести факторов, запаздывающие нейтроны & критичность.

Физика синтеза: Кулоновский барьер, квантовое туннелирование, усреднение по Максвеллу-Больцману, компромиссы D-T против D-D против p-B11, критерий Лоусона, прогресс токамаков & воспламенение NIF.

Расчёты E=mc²: Полное преобразование массы (1 г = 90 ТДж), дефект масс при делении U-235 (0,186 а.е.м. = 173 МэВ) & сравнение плотностей энергии.

Единицы радиации: Активность (Бк, Ки), поглощённая доза (Гр, рад), эффективная доза (Зв, бэр), весовые коэффициенты излучения & справочные дозы.

Итоговое размышление

Вы только что изучили физику, лежащую в основе ядерной энергетики, ядерной медицины, радиационной безопасности, астрофизики & нераспространения ядерного оружия.

Это фундамент, на котором ядерные инженеры проектируют реакторы, специалисты по радиационной защите рассчитывают допустимые дозы, & политики принимают решения о роли ядерной энергетики в декарбонизации.