質子、中子和核景觀

質子、中子和核景觀

質子和中子統稱為核子。在核能尺度上，它們都是由三個夸克組成的，但在核能尺度上，我們將它們視為點狀物體。

每個可能的核子都由它的(Z, N)對標識。核子圖將所有已知的核子都畫在一起：Z在縱軸上，N在橫軸上。穩定的核子形成一個狹窄的帶稱為穩定谷。

關鍵特徵：對於輕型核子(Z < 20)，穩定的比例約為N/Z ≈ 1。對於重型核子，穩定的核子有顯著更多的中子比質子。鉛-208(Z=82, N=126)有N/Z = 1.54。這些中子數量的部分過剩可以緩解其中子之間的柯爾姆反應。

離穩定谷遠的核子是不穩定的：它們通過放出粒子或輻射來解決穩定性。

核半徑：根據實驗，R ≈ R₀ × A^(1/3)，其中R₀ ≈ 1.2 fm。這意味著核密度大約為2.3 × 10¹⁷ kg/m³：一個核材的小杯子將重約5000萬噸。

核殼模型

神奇數字與核殼

電子在原子中占据量子化殼層：保羅排斥原理迫使它們進入不同的能量層次。核殼模型（由瑪麗亞·戈培特·梅耶和J.漢斯·D.金森開發，1963年諾貝爾獎）描述了核子在核電位中的能量層次填充。

結果：具有某些‘神奇數字’質子或中子數量的核子異常穩定。

神奇數字：2, 8, 20, 28, 50, 82, 126

神奇數字的證據為：

- 氦-4(Z=2, N=2)：雙重神奇，異常穩定：它是α粒子

- 氫-16 (Z=8, N=8): 雙魔法數

- 鉛-208 (Z=82, N=126): 雙魔法數, 最重的穩定核

- 鎘 (Z=50) 有 10 個穩定同位素: 比任何其他元素都多

- 當魔法數字殼被關閉後, 每核子結合能量會急劇下降

核殼模型還預測了核磁矩與對稱性。每個被占据的核子轨道都有特定的角動量量子數 j。總核磁矩 I 是所有核子磁矩與軌道角動量的向量和。對稱性 π = (−1)^ℓ 对每個軌道。偶-偶核 (偶 Z, 偶 N) 一直有地面狀態磁矩 I=0 和正對稱性。

為什麼魔法數字特別特別?

鉛-208 的 Z=82 (魔法) 和 N=126 (魔法)。它是地質時間尺度上所有衰變模式對所有更重的核都穩定的最重的核:

氦-4 是雙魔法數 (Z=2, N=2)。在α衰變中,核會放出一個氦-4核。这不是偶然的。

使原子核保持一起的力

為什麼原子核不會爆炸

考慮一顆鈾-238 的核: 92 個質子被壓入半徑約為 7.4 fm 的球體之內。它們之間的電靜力 repulsion 巨大: 約幾百 MeV。然而, 原子核是穩定的。

必須有一種力量克服這種 repulsion。這種力量就是強核力: 四個基本力中最強大的。

強核力的性質:

- 範圍: 極短: 只於 ~1–2 fm 內發揮作用。超過 2 fm, 它就降至幾乎為零 (Yukawa勢: V(r) ∝ e^(−r/r₀)/r, 其中 r₀ ≈ 1.5 fm).

- 強度: 在核距离范围内,强子力约为电磁力的一百倍

- 电荷独立性: 对质子-质子、质子-中子和中子-中子之间的相互作用一致(同位旋对称性)

- 饱和: 每个核子仅与其紧邻的核子强烈相互作用,而不是与所有其他核子相互作用。因此,无论A为多少,核子的密度都大致保持不变

- 短程优势近距离,电磁力优势远距离: 在核子内部,强子力占据优势。随着质子的增加,Coulomb repulsion(长程)的增长速度比强子力(饱和)更快。最终,当Z≈83时:原子核变得不稳定

强子力在夸克层面

从夸克到核子到原子核

在基本层面上,强子力由量子色动力学(QCD)来描述。夸克携带颜色电荷(红色、绿色、蓝色)并通过胶子来相互作用

每个质子由两个上夸克和一个下夸克组成(uud)。每个中子由一个上夸克和两个下夸克组成(udd)

夸克之间的力由无质量的胶子传递,但与光子(携带电磁力)不同,胶子本身还携带颜色电荷,因此它们彼此相互作用。这使得QCD在数学上非常复杂且非常难以解析求解

囚禁: 从未观察到自由夸克。将两个夸克分开所需的能量与距离成线性关系(如橡皮带),因此在分离发生之前,能量会创建一个新的夸克-反夸克对。夸克始终被困在hadrons(如质子)或介子中

核力为剩余色力: 我们称之为核子之间的强子力实际上是剩余色力：与颜色中立物体之间的剩余相互作用,类似于范德华力在电中立分子之间的作用。这一剩余力主要通过π介子交换进行(π介子是最轻的介子,质量约为135 MeV/c²)。π介子的质量确定了其作用范围: ℏc/m_π c² ≈ 1.4 fm

饱和与液体滴原子核模型

由于饱和,核子之间的相互作用仅限于相邻核子,而不是所有的核子。与引力或电磁力不同,每个粒子都会与所有其他粒子相互作用

由于饱和,原子核的结合能大致与A成比例(体积项)而不是与A(A-1)/2成比例(如果每对粒子都相互作用的话)

放射性衰變的類型

為什麼核子衰變

不穩定的核子衰變以達到較低的能量狀態：更接近核素表的谷地。衰變所釋放的能量（Q值）等於父核與產品之間的質量差，經由E=mc²轉換。

α衰變（α）：核子發射一個氦-4核子（²⁴He：2個質子，2個中子）。結果：Z減少2，A減少4。通常出現在重核中（Z > 82）。例子：²³⁸U → ²³⁴Th + ⁴He，Q = 4.27 MeV。

β負衰變（β⁻）：中子轉化為質子：n → p + e⁻ + ν̄_e（反中子）。結果：Z增加1，A保持不變。由弱力介導。出現在N/Z過高（中子太多）時。

β正衰變（β⁺）：質子轉化為中子：p → n + e⁺ + ν_e（正電子+中子）。結果：Z減少1，A保持不變。出現在N/Z過低（質子太多）時。需要Q > 2m_e c² = 1.022 MeV。

電子捕獲（EC）：質子捕獲一個內層電子：p + e⁻ → n + ν_e。與β⁺的結果相同，但沒有正電子被發射。與β⁺競爭時，Q < 1.022 MeV或對於重核時，內層電子在核子附近的密度高。

γ衰變（γ）：在α或β衰變後，女核通常處於激發狀態。它通過發射高能電磁輻射（γ光子）來降低激發狀態。Z和A保持不變：只有一個能量的變化。這與原子線發射相似，但能量為MeV級別。

內部轉換：與γ輻射發射相對應的替代方式。核子的激發能直接轉移到一個內層電子上，這個電子被拋出。特別是對於低能量轉換和重核，內部轉換與γ輻射發射競爭。

量子隧穿與α衰變

Gamow因子：α粒子是如何逃脫的

α衰变呈现一个量子力学谜题。在核中，α粒子位于一个吸引力潜在井中：强力将其保持在内。就在核外，库仑排斥力接管，创建了一个势屏障。

从经典的角度来看，α粒子无法逃脱：它缺乏足够的能量来攀爬库仑屏障（铀的屏障峰值约为30MeV，而α粒子的Q值只有~4MeV）。然而，α衰变仍然发生。

量子穿隙：因为α粒子遵循波动力学，它的波函数在屏障处不会突然停止。它通过经典禁止区域的指数衰减。在另一侧发现粒子的可能性不为零。

穿隙概率由Gamow因子G来描述:

G = exp(−2γ) 其中 γ = (Z_d × Z_α × e²)/(ℏv_α) × [arccos(√(R/R_C)) − √(R/R_C × (1 − R/R_C))]

关键依赖：能量更高的α粒子（更大的Q值）有着更大的穿隙概率→更短的半衰期。这就是Geiger-Nuttall法则：log(λ) ∝ −1/√Q，其中λ是衰变常数。

戏剧性后果：将Q值增加一个因子2，半衰期会改变多个数量级。铀-238（Q=4.27MeV）有t₁/₂ = 4.5亿年。铋-214（Q=7.83MeV）有t₁/₂ = 164微秒。相同机制，时间尺度完全不同：完全由Gamow因子解释。

![/static/diagrams/nuc101_alpha_tunneling.svg]

Geiger-Nuttall法则

铀-238α衰变Q值：4.27MeV，半衰期：4.47 × 10⁹年。

铋-212α衰变Q值：8.95MeV，半衰期：0.3 × 10⁻⁶秒。

钍-228α衰变Q值：5.52MeV，半衰期：1.9年。

β衰變與弱力

弱力在核內

β衰變與α衰變有本質的不同。它不涉及同樣的預先形成的聚集或隧道效應。相反,一個夸克味變化通過弱力。

在β⁻衰變中,核子中的下夸克轉化為上夸克,將中子轉化為質子。介質是W⁻玻色子 (質量約為80 GeV/c²)。由於W玻色子質量非常大,因此弱力具有極短的作用範圍(約10⁻¹⁸ m)且本質上緩慢。

中微子: β衰變總是產生中微子(或反中微子)。這是由沃爾夫岡·保利在1930年預測的,以解釋連續β光譜:如果只有電子被發射,則能量和動量的守恆需要每次衰變都有固定的電子能量。如果只有電子被發射,觀察到的連續光譜證實了第三個粒子(中微子)將能量值變化的部分帶走。

Fermi的β衰變理論: 恩里科·費米的1934年理論將β衰變視為點互作用(弱力在核尺度上被忽略)。衰敗速率取決於Q值的五次方:λ ∝ Q⁵。這意味著Q值微小增加會大大加快β衰變:雖然不如α衰變那麼劇烈。

Gamma衰變細節: α或β衰變後,母核通常處於激發態(用標記,如ᴬ_Z X)。核子通過發射能量等於E_excited - E_ground的Gamma光子放射性解激。轉換速率取決於轉換的多極性(如E1, M1, E2等):電偶極轉換速度最快(約10⁻¹⁴ s),而高多極性轉換可能很慢(形成長時間(分鐘到年)穩定異形的異形體)。用於醫學成像的技術鈾-99m是一種核異形體,其半衰期為6小時,通過異型轉變(γ發射)衰變為Tc-99。

鈾-238衰變鏈

U-238 → Pb-206: 4.5億年14個步驟

重核子通過一系列連續衰變最終達到穩定核子。U-238鏈通過8個α衰變和6個β衰變到達穩定Pb-206:

¹. ²³⁸U → ²³⁴Th + α (t₁/₂ = 4.47 Gy)

². ²³⁴Th → ²³⁴Pa + β⁻ (t₁/₂ = 24.1 days)

³. ²³⁴Pa → ²³⁴U + β⁻ (t₁/₂ = 1.17 min)

⁴. ²³⁴U → ²³⁰Th + α (t₁/₂ = 245,500 years)

⁵. ²³⁰Th → ²²⁶Ra + α (t₁/₂ = 75,400 years)

⁶. ²²⁶Ra → ²²²Rn + α (t₁/₂ = 1,600 years)

⁷. ²²²Rn → ²¹⁸Po + α (t₁/₂ = 3.82 days)

⁸. ²¹⁸Po → ²¹⁴Pb + α (t₁/₂ = 3.05 min)

⁹. ²¹⁴Pb → ²¹⁴Bi + β⁻ (t₁/₂ = 26.8 min)

¹⁰. ²¹⁴Bi → ²¹⁴Po + β⁻ (t₁/₂ = 19.7 min)

¹¹. ²¹⁴Po → ²¹⁰Pb + α (t₁/₂ = 164 μs)

¹². ²¹⁰Pb → ²¹⁰Bi + β⁻ (t₁/₂ = 22.3 years)

¹³. ²¹⁰Bi → ²¹⁰Po + β⁻ (t₁/₂ = 5.01 days)

¹⁴. ²¹⁰Po → ²⁰⁶Pb + α (t₁/₂ = 138 days)

Final product: ²⁰⁶Pb (stable)

氡-222: 第六、七步涉及氡，是一种珍贵气体。因为它是气体，所以可以从土壤中逃脱并积聚在建筑物中。氡是美国肺癌第二大原因，仅次于吸烟：这是铀的自然衰变链的直接结果。

世世代代平衡: 在一个古老的铀矿中，每个中间都与铀-238达到世世代代平衡。在平衡状态下，每个衰变产物的活性都等于铀-238的活性。这意味着即使衰变中间的半衰期从微秒到千年不等，其活动量在平衡时都相等。

放射性衰减的数学

N(t) = N₀ × e^(−λt)

放射性衰减是一个纯粹的统计过程。每个核子独立地衰减，具有固定的概率每单位时间λ（衰变常数）。这导致一级动力学：

N(t) = N₀ × e^(−λt)

其中 N₀ 是初始核数，N(t) 是在时间t时剩余的核数。

半衰期: 时间为半核数衰减：t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0.693/λ

活性: A = λN: 每秒衰变次数。单位：贝克勒尔(Bq) = 1衰变/s。旧单位：居里(Ci) = 3.7 × 10¹⁰ Bq（定义为镭-226的1克活性）。

特异活性: 每单位质量的活性。对于纯是otope：SA = λ × N_A / M，其中N_A是阿伏加达罗常数，M是摩尔质量。半衰期短→高特异活性。Po-210的t₁/₂ = 138天→ SA ≈ 1.7 × 10¹⁴ Bq/g = 4,500 Ci/g。铀-238的t₁/₂ = 4.47 Gy→ SA ≈ 12,400 Bq/g。

平均寿命: τ = 1/λ = t₁/₂/ln(2) ≈ 1.44 × t₁/₂。在一个平均寿命之后，数量减少到其初始值的1/e ≈ 36.8%。

在n个半衰期之后：N(n) = N₀/2ⁿ

世世代代平衡

当快速女儿与慢速父母达到平衡

考虑一个父核子P衰变到一个女儿核子D（这个核子本身衰变）。如果父核子的半衰期远远大于女儿核子的半衰期（t_{P} >> t_{D}),女儿达到世世代代平衡与父母。

在世世代代平衡时：λ_P × N_P = λ_D × N_D，或者等价地，A_P = A_D（活动量相等）。

物理意義：女兒是由母親在同一速率下產生並衰變。女兒群體的數量是恆定的：鏈在靜態狀態。

達到平衡的時間：約為7 × t₁/₂(女兒)。Ra-226（t₁/₂ = 1,600年）與U-238（t₁/₂ = 4.47億年）達到約11,200年的世俗平衡。

實際後果：在鈾礦中，礦石中含有所有的女兒在世俗平衡中。礦工和磨粉工人暴露於不僅僅是U-238，而是其整個平衡衰變鏈：包括α輻射的鿨素、釙和鉛同位素，所有的活動水平與U-238相同。

計算殘餘活度

研究反應器產生碘-131（t₁/₂ = 8.02天）作為裂變產物。立即關機後，樣本含有3.7 × 10¹⁰ Bq（1 Ci）之I-131。

I-131具有醫學意義：它會集中在甲狀腺中，用于治療（治疗甲状腺癌）和是核事故（喬治比爾和福島釋放涉及大量I-131）之輻射危害。

質量缺陷和E=mc²

結合能來自何處？

一個核子比其自由的質子和中子總和輕這是質量缺陷（Δm），也是核結合能的來源。

公式：B = Δm × c² = [Z × m_p + N × m_n − m(nucleus)] × 931.5 MeV/u

示例：鐵-56（²⁵⁶Fe，最緊密束縛的常見核子）

- Z = 26個質子，N = 30個中子

- 26個自由質子的質量：26 × 1.007276 u = 26.189 u

- 30個自由中子的質量：30 × 1.008665 u = 30.260 u

- 自由核子之和：56.449 u

- ⁵⁶Fe核子的測量質量：55.921 u

- 質量缺陷：Δm = 56.449 - 55.921 = 0.528 u

- 結合能: B = 0.528 u × 931.5 MeV/u = 492 MeV

- 每核結合能: B/A = 492/56 = 8.79 MeV/nucleon

範例: 鈾-235

- Z = 92, N = 143, A = 235

- 自由核子之和: 92 × 1.007276 + 143 × 1.008665 = 236.908 u

- ²³⁵U 的測量原子質量: 235.044 u (減去 92 個電子質量: 92 × 0.000549 u = 0.0505 u → 核質量約為 234.994 u)

- 質量缺陷: Δm ≈ 236.908 − 234.994 ≈ 1.914 u

- 結合能: 1.914 × 931.5 ≈ 1,784 MeV 總計 = 7.59 MeV/nucleon

比較: ⁵⁶Fe 的每核結合能比²³⁵U 更緊密。這就是裂變釙釋放能量的物理原理:裂變產物(如銫和氪)的每核結合能比鈾更緊密。

結合能曲線

核物理學中最重要的圖表

結合能每核子( B/A )與質量數 A 的圖表揭示了核能的整個邏輯:

曲線的關鍵特徵:

- 從 A=1 到 A~56 的上升:當核子從氫結合成鐵時,B/A 增加。將輕核結合成重核釋放能量(核融合)。

- 約 A=56-62 的峰值:鐵-56 (8.79 MeV/nucleon) 和鎳-62 (8.80 MeV/nucleon) 位於峰值。這些是最穩定的核子:宇宙的'灰燼'從恆星核合成中產生。

- 從 A=56 到 A=238 的逐漸下降:重核的每核結合能比鐵低。隨著每添加一個質子，顛覆作用累積，結合能每核子下降。將重核分裂成中等質量核釋放能量(裂變)。

- 顯著的波動:魔法數字創造了局部峰值:氦-4 (7.07 MeV/nucleon) 在其質量範圍內顯著地高出趨勢線。

裂變的 U-235 釋放的能量:

U-235 的 B/A ≈ 7.59 MeV/nucleon。典型的裂變產物(如 Ba-141 & Kr-92) 的 B/A ≈ 8.4 MeV/nucleon。

釋放的能量 ≈ (8.4 − 7.59) × 235 ≈ 0.81 × 235 ≈ 190 MeV per fission

(加上~10 MeV 的即時中子動能與γ射線,總計~200 MeV per fission)

D-T融合釋放的能量:

D (²H, B/A = 1.11 MeV) + T (³H, B/A = 2.83 MeV) → ⁴He (B/A = 7.07 MeV) + n

Q = [m(D) + m(T) − m(⁴He) − m(n)] × 931.5 MeV/u = 17.6 MeV per reaction

每公斤的 D-T 燃料: ~3.4 × 10¹⁴ J = 340 TJ/kg: 比汽油的 43 MJ/kg (約為 8000 萬倍)

為什麼鐵標誌著恆星核合成的終點

恆星通過將輕質核融合成更重的核產生能量：氫轉化為氦，氦轉化為碳，依此類推。每一步融合都會釋放能量，因為產品比原料更緊密地束縛每個核子。

當一顆質量龐大的恆星核心達到鐵時，融合就停止了。

裂變是如何工作的

原子核分裂：分裂重核

裂變發生在原子核（通常A > 230）吸收一個中子並變得如此扭曲，以至於強力無法將其與柯爾姆（Coulomb）排斥力之間的相互作用力保持在一起。

裂變過程:

1. 原子核吸收一個中子→變成激發的複合原子核²³⁶U*

2. 原子核振動：液體傾斜

3. 如果激發能量高於裂變屏障（約6 MeV for U-235 + 慢中子），脊椎變薄，核子分裂

4. 兩個裂變碎片分離（Ba，Kr，Cs，I等：通常A ~ 90和A ~ 140）

5. 在10⁻¹⁴秒內立即釋放促使中子（平均約2-3個）

6. 碎片進行β衰變鏈（他們是中子豐富的）數小時到數年

從一個U-235裂變事件中獲得的能量（約200 MeV總計）:

- 分裂碎片的動能：~168 MeV

- 促使中子的動能：~5 MeV

- 立即γ射線：~7 MeV

- 分裂碎片的延遲β：~8 MeV

- 分裂碎片的延遲γ射線：~7 MeV

- 退隱粒子能量（逃脫）：~12 MeV（不可恢復）

在反應爐中恢復的能量：~188 MeV per fission

中子截面積

截面積：中子如何看到核子

一条截面积（σ）衡量中子-核相互作用的概率。尽管名称如此，它并不是几何面积：它是一个有效面积，捕捉了量子力学相互作用的概率。

单位：畝（b）= 10⁻²⁴ cm² = 10⁻²⁸ m²。在曼哈顿计划期间，物理学家意外发现铀核的截面积非常大，便说这个核是‘大得像一间仓库’的大小。

U-235的关键截面积：

- 核分裂（σ_f）：在热能（0.025 eV）下的截面积约为580畝

- 总吸收：在热能下截面积约为680畝

- 快中子核分裂：在1 MeV下截面积约为1-2畝

1/v定律：在热中子（低能）下，相互作用截面积与1/v（倒数velocity）成正比，或者说与1/√E成正比。速度较慢的中子在一个核附近停留的时间更长，相互作用的概率更高。

共振区：在热能（~0.025 eV）和快中子（~1 MeV）之间，许多核显示出截面积的显著峰值，称为共振：对应于化合物核的特定激发状态。U-238在1-1000 eV范围内有巨大的共振吸收峰，这就是为什么热反应器使用减速剂（如水、重水、石墨）将中子放慢的原因。

对反应器设计的影响：通过减速剂（如水、重水、石墨）减速的热中子，在U-235上有300倍的核分裂概率高于快中子。这就是大多数反应器为什么使用减速剂的原因。

链反应和临界性

自我维持的链反应

每次U-235核分裂平均释放出2.43个即时中子（表示为ν）。为了实现自我维持的链反应，必须有一个中子引发另一次核分裂。

乘数因子k：前一代中子的比率是后一代中子的数量。

- k < 1：亚临界：反应消亡

- k = 1：临界：稳定功率

- k > 1：超临界：反应指数增长

六因子公式（对于热反应器）：k_eff = η × f × p × ε × P_NL(thermal) × P_NL(fast)

- η（eta）：每个被吸收在燃料中的中子产生的中子数

- f：热利用因子（热中子被吸收的燃料的比例）

- p：共振逃脱概率（在减速过程中避免共振捕获的比例）

- ε（epsilon）：快中子核分裂因子

- P_NL：非漏出概率

延遲中子: 对反应控制至关重要。从U-235裂变中产生的中子约有0.65%是延迟中子：在裂变后0.05到55秒内释放。没有延迟中子，反应的瞬时周期将约为10⁻⁴秒：对于机械控制杆来说太快了。有了延迟中子，有效的瞬时周期是约0.1秒：可控的。

瞬时临界: 如果仅基于瞬时中子（忽略延迟），k > 1，反应器将瞬时临界。这是核武器中的情况。反应器设计得永远不会达到瞬时临界。

为什么热反应器需要调节剂

自然铀含有99.3%的U-238和0.7%的U-235。U-238在1eV到10keV范围内具有巨大的共振吸收截面积，但不与热中子裂变。U-235在热能下的裂变截面积为580巴恩。

大多数功率反应器使用3-5%浓缩铀（3-5%U-235）作为轻水调节剂和冷却剂。

融合物理

克服库仑屏障

融合需要将两个核在强力作用力范围内（约1fm）接近。但两个核都是正电的，因此它们以电静压力相互排斥。

库仑屏障: 两个核的电荷Z₁e和Z₂e的电静力势能，在核距离r处：

V_C = k_e × Z₁ × Z₂ × e² / r

对于D-T融合（Z₁=1，Z₂=1，r≈1fm）：V_C≈1.4MeV

從古典來看，您需要具有至少1.4 MeV的動能（溫度約10¹⁰ K）的核子。但是，通過柯爾文障礙的量子隧道效應，降低了這一要求：即使在能量遠低於屏障的條件下，顯著的隧道效應在~10⁻¹⁰的古典速率上發生。

熱等離子體：在融合反應器中，核子不是單能的。它們遵循馬克士威-博爾特茲曼分佈。反應速率是交叉截面積與速度的馬克士威平均值：<σv>。這個函數在不同反應中峰值出現在不同的溫度上。

最佳溫度：

- D-T（²H + ³H → ⁴He + n，Q = 17.6 MeV）：峰值<σv>約為70 keV（≈ 800百萬K）。實用點火門檻：~10 keV等離子體溫度（≈ 10億K）

- D-D（²H + ²H → ³He + n或³H + p）：峰值為~500 keV：需要更高的溫度

- D-³He（²H + ³He → ⁴He + p，Q = 18.3 MeV）：峰值為~200 keV：無中子，非常吸引人但更難

- p-¹¹B（質子+硼-11 → 3 ⁴He，Q = 8.7 MeV）：無中子，~10^9 K所需：最難

為什麼選擇D-T？ D-T在最低溫度下具有最高的<σv>，比D-D在10 keV時高出約100倍。這就是目前所有融合計劃（ITER、NIF、私人企業如TAE、聯邦融合）為什麼選擇D-T的原因，儘管需要生長氚並管理中子激活。

Lawson准则

何時融合產生能量多於消耗

為了使等離子體融合 plasma 自持續（點火），由於融合所產生的能量必須高於等離子體損失的能量。這被量化為由John Lawson在1957年提出的Lawson准则。

對於D-T融合，點火需要：n × τ_E > 10²⁰ m⁻³ s（在T ≈ 20 keV）

其中n是等離子體數密度，τ_E是能量保持時間（等離子體保持能量的時間）。

現代的表述使用三元產品：n × T × τ_E > ~3 × 10²¹ m⁻³ · keV · s

Tokamak進展（三元產品）：

- JET（1997）：n×T×τ_E ≈ 10²¹ m⁻³·keV·s，Q ≈ 0.65（融合能量/輸入能量）

- ITER（計劃）：Q ≈ 10（500 MW融合輸出從50 MW輸入）

- DEMO（計劃）：Q > 25，實現淨電力生產

惰性限制（NIF）：而不是磁性地將等離子體束縛，NIF使用192束激光將D-T顆粒壓縮和加熱到融合條件。顆粒在~10⁻¹⁰秒內塌縮：保持時間是塌縮時間。NIF在2022年12月達到點火（Q > 1），這是歷史上第一次。

能源挑戰：即使在 Q = 10，融合電力廠也必須將融合能轉化為電力（熱效率約40%）並將電力回歸於融合加熱。整體效率 Q_wall ≈ Q × η - 1。為了實現經濟效益的電力生產，Q > ~25是必需的。

D-T vs D-D vs p-B11

考慮三種融合反應：

D-T：Q = 17.6 MeV，最佳 T ≈ 100百萬K，產生能量中子（14.1 MeV）

D-D：Q ≈ 3.65 MeV（兩個通道的平均值），最佳 T ≈ 500百萬K，產生中子

p-B11：Q = 8.7 MeV，最佳 T ≈ 10億K，完全無中子（只產生α粒子）

鈾礦種的半壽命為12.3年，並不自然產生：它必須從環繞反應爐的鋁鋁板中生長（⁶Li + n → ⁴He + T）。

E=mc²的數字

讓愛因斯坦的方程成為具體數字

E = mc²，其中 c = 2.998 × 10⁸ m/s，因此 c² = 8.988 × 10¹⁶ m²/s² = 8.988 × 10¹⁶ J/kg

完全質量轉換（假設性）：

將 1 公克物質完全轉換：E = 0.001 kg × 8.988 × 10¹⁶ J/kg = 8.988 × 10¹³ J ≈ 90 TJ

這是20千噸炸彈的能量（希روش瑪城的炸彈約為15 kt TNT ≈ 63 TJ）。

質量缺陷在 U-235 分裂中：

U-235 分裂產生 Ba-141 + Kr-92 + 3n（典型分裂）

質量前：m(²³⁵U) + m(n) = 235.0439 u + 1.0087 u = 236.0526 u

質量後：m(¹⁴¹Ba) + m(⁹²Kr) + 3 × m(n) = 140.9144 u + 91.9262 u + 3 × 1.0087 u = 235.8667 u

質量缺陷：Δm = 236.0526 - 235.8667 = 0.1859 u

釋放的能量：0.1859 u × 931.5 MeV/u = 173 MeV

(剩餘約27 MeV 來自後續 beta/gamma 衰變的碎片、反中微子等)

質量轉化比例: 0.1859 u / 236.0526 u = 0.079%: 少於 0.1% 的質量轉化為能量

比較: 化學燃燒:

燃燒 1 碳原子 (12 u): C + O₂ → CO₂, ΔH ≈ −393 kJ/mol = −4.1 eV per 分子

質量缺陷: 4.1 eV / (931.5 × 10⁶ eV/u) = 4.4 × 10⁻⁹ u per 原子: 完全無法測量

質量轉化比例: ~3.6 × 10⁻¹⁰ = 0.000000036%: 比裂變小 200,000 倍

能量密度比較:

- 汽油: ~43 MJ/kg

- U-235 衰變: ~8.2 × 10¹³ J/kg = 82,000,000 MJ/kg

- D-T 環融: ~3.4 × 10¹⁴ J/kg = 340,000,000 MJ/kg

- 完全湮滅: 9 × 10¹⁶ J/kg = 90,000,000,000 MJ/kg

計算質量缺陷

一座核電站以 1,000 MW 電力輸出運作,熱效率為 33% (壓水反應爐的典型值)。一年運營時間內提供這種功率。

1 年 = 3.156 × 10⁷ 秒

熱功率 = 1,000 MW / 0.33 = ~3,030 MW 熱

一年內生產的能量 = 3,030 × 10⁶ W × 3.156 × 10⁷ s = 9.56 × 10¹⁶ J 熱

提示: 1 u = 931.5 MeV/c², 1 MeV = 1.602 × 10⁻¹³ J, 1 u = 1.66054 × 10⁻²⁷ kg

輻射活性和劑量單位

完整輻射單位參考

核工程師和健康物理學家使用特定的單位集。了解每個單位衡量的量以及何時使用哪個單位至關重要。

活動(源強度):

- 貝克勒爾 (Bq): 1 Bq = 1 秒內的放射性衰變。SI 單位。

- Curie (Ci): 1 Ci = 3.7 × 10¹⁰ Bq。定義為1克Ra-226的活性。美國核醫學仍普遍使用。1 mCi = 3.7 × 10⁷ Bq。

活動量告訴您輻射源的強度：每秒發生多少衰變，但對生物效應一無所知。

曝露(空氣中的離子化)：

- 倫琴(R)：是指在干燥空氣中產生2.58 × 10⁻⁴庫隆離子電量的X射線或γ射線量。現已主要由SI單位取代，但仍用於舊的輻射劑量文獻中。

吸收劑量(在組織中投入的能量)：

- 格雷(Gy)：1 Gy = 1焦耳能量投入每公斤組織。是SI單位。

- 拉德：1 rad = 0.01 Gy = 10 mGy。是舊的單位(輻射吸收劑量)。

吸收劑量告訴您能量被投入，但不同輻射類型在相同的能量沉積下引起不同的生物損傷。

有效劑量(生物效應)：

- 西維特(Sv)：有效劑量 = 吸收劑量 × 射線加權因子(w_R)。是SI單位。

- 雷姆：1 rem = 0.01 Sv = 10 mSv。(人類等效倫琴)舊單位。

射線加權因子(w_R)：

- γ射線、X射線、β射線：w_R = 1 (1 Gy = 1 Sv)

- 中子(1 MeV)：w_R = 20

- α粒子：w_R = 20

- 所以1 Gy的α輻射等於20 Sv生物效應：α輻射每焦耳的損傷是γ射線的20倍。

劑量率 vs 積分劑量：

劑量率(Sv/hr或mSv/hr)是能量沉積的瞬時速率。積分劑量(Sv)是累積的總量。

劑量率 × 時間 = 積分劑量。但生物效應取決於兩者：急性高劑量率會導致輻射病；相同的總劑量分散在多年中，其影響較小。

參考劑量：

- 年間背景輻射(美國平均)：~3.1 mSv/年

- 胸部X光：~0.1 mSv

- CT掃描(腹部)：~8 mSv

- 職業限制(美國核工)：50 mSv/年

- 急性輻射病症臨界值：~1 Sv全身急性劑量

- LD50/30(30天內無治療下人口中50%致死劑量)：~4-5 Sv急性全身劑量

應用輻射單位

一位核醫學病人接受了一次Tc-99m（技術鈾-99m）骨骼掃描的注射。注射的活性是20毫克里。

Tc-99m通過γ輻射衰變（E_γ = 140 keV），t₁/₂ = 6.0小時。

約30%的注射活性定位在骨骼；70%在24小時內由腎臟體清除。

從20毫克里Tc-99m骨骼掃描中，病人的有效劑量約為4.0毫西弗（從輻射學計算得出）。

核物理在世界上的應用

這個物理學在哪裡顯現

今天運行中的反應器類型:

- 壓水堆(PWR)：全球核能容量的70%。H₂O中介體和冷卻劑，155巴壓力，冷卻劑溫度315°C，3-5%濃縮的UO₂燃料。

- 沸水堆(BWR)：H₂O中介體，內部沸騰75巴，單循環（冷卻劑直接驅動汽機）。結構更緊湊，略為簡單。

- CANDU：D₂O中介體和冷卻劑，天然鈾燃料，可以在線加燃料。

- RBMK（喬治希波型）：石墨中介體，輕水冷卻。當冷卻劑沸騰時，活度增加（低功率時不穩定）。現在正在退役中。

- 快反應堆(SFR等)：沒有中介體。快中子。可以從U-238中生產鈾（生長反應堆），消耗長壽命的錳質廢料。鈣鹽冷卻劑（高熱導率，無中介作用）。俄羅斯的BN-800正在商業運行中。

醫學物理:

- PET掃描：正電子發射器（¹⁸F，t₁/₂ = 110分鐘）從e⁺e⁻湮滅產生背對背的511 keV γ光子：在共振中檢測以圖像代謝。

- 放射治療：線粒體加速器生產6-18 MV X射線。質子治療使用Bragg峰物理學：質子在特定深度最大劑量，保護周圍組織。

- 中子捕获治疗（BNCT）：肿瘤细胞中的¹⁰B捕获热中子→¹¹B*→⁴He + ⁷Li + gamma，在肿瘤细胞本身内存储剂量。

核武器物理学:

- 核分裂炸弹：微秒内组装超临界质量。冲击波设计（特里尼，Fat Man）或枪式（小男孩）。产量以千克-兆吨TNT等效度表示。

- 热核武器：裂变初级压缩并加热一个融合次要部分（D-T或Li-D燃料）。产量最高可达50Mt（沙皇炸弹）。裂变是触发器；融合提供了大部分的产量。

地球物理学:

- 放射性定年：¹⁴C（半衰期为5,730年）用于最近的有机物质；U-Pb系统用于岩石至4.5亿年；K-Ar用于火成岩。所有这些都基于N(t) = N₀e^(−λt)。

- 地球内部的热量：每秒约有45TW的热量从地球内部流出。约有一半是原始的（来自形成）；一半是长寿命放射性核素（²³⁸U，²³²Th，⁴⁰K）衰变的结果：这个星球仍然温暖是因为放射性衰变。

最终综合

您已经覆盖了：核结构与壳模型、强弱力、α/β/γ/EC衰变与量子力学、半衰期动力学与平静平衡、结合能与曲线、裂变截面积与链反应、融合等离子体与劳森准则、E=mc²计算、以及辐射单位。

您所学到的知识

核物理学 101: 完成

您已覆盖了初级核工程物理学的全范围:

核结构：核子、核素表、壳模型、魔法数（2, 8, 20, 28, 50, 82, 126）核磁矩 & 对称性、核半径缩放为 R₀A^(1/3).

强力：Yukawa短程相互作用、饱和、夸克层面上的胶子交换、残余力通过π介子交换以及饱和的液体模型。

放射性衰变：α（隧道量子化、Gamow因子、Geiger-Nuttall）、β-和β+（弱力、W玻色子、夸克味的变化）、电子捕获、γ衰减、内部转换、以及U-238 → Pb-206链的完整衰变。

半衰期动力学：N(t) = N₀e^(−λt)、活度Bq & Ci、特定活度、平均寿命、世纪平衡、以及真实衰变计算。

结合能：质量缺陷计算（Δm × 931.5 MeV/u）、Bethe-Weizsäcker公式项、以及Fe-56和U-235的具体示例。

结合能曲线：为什么轻核的融合释放能量，为什么重核的裂变释放能量，为什么铁是恒星核合成的终点，以及能量密度在J/kg。

裂变物理：复合核、裂变产物的能量分布、中子截面积 & barn、1/v法则、共振捕获、六因子公式、延迟中子、以及临界性。

融合物理：库仑障碍、量子隧道、Maxwell-Boltzmann平均、D-T vs D-D vs p-B11权衡、Lawson准则、托卡马克进展、以及NIF点火。

E=mc²计算：完全质量转换（1 g = 90 TJ）、U-235裂变的质量缺陷（0.186 u = 173 MeV）、以及能量密度比较。

辐射单位：活度（Bq, Ci）、吸收剂量（Gy, rad）、有效剂量（Sv, rem）、辐射加权因子、以及参考剂量。

最终反思

您刚刚覆盖了核电站设计、健康物理学计算剂量限制以及决策者关于核能在去碳化过程中的作用的基础知识。

这就是核工程师、健康物理学家以及政策制定者在核能的角色定位和决策中的基础。