質子、中子與核地景

核子與核素圖

質子和中子合稱為核子。它們不是基本粒子:每個都由三個夸克組成,並由膠子凝聚在一起。但在核能量尺度上,我們把它們當作點狀物體處理。

每個可能的原子核都由它的 (Z, N) 數對來識別。核素圖繪製了所有已知的原子核:Z 在垂直軸,N 在水平軸。穩定的原子核形成一條稱為穩定谷的狹窄帶狀區域。

重點特徵:對於輕核 (Z < 20),穩定的比例約為 N/Z ≈ 1。對於重核,穩定的核子擁有的中子明顯多於質子。鉛-208 (Z=82, N=126) 的 N/Z = 1.54。這個額外的中子數能部分抵消質子之間的庫侖排斥力。

遠離穩定谷的核子並不穩定:它們具有放射性。它們透過發射粒子或輻射來朝穩定方向衰變。

核半徑:根據經驗,R ≈ R₀ × A^(1/3),其中 R₀ ≈ 1.2 fm。這暗示核密度大致為固定值,約 2.3 × 10¹⁷ kg/m³:一頂針份量的核物質會重達約 5 億噸。

核殼層模型

幻數與核殼層

原子中的電子佔據量子化的殼層:包立不相容原理迫使它們進入不同的能階。核子也遵循相同的原理。核殼層模型(由瑪麗亞·戈佩特·邁耶與 J. Hans D. Jensen 提出,1963 年諾貝爾獎)描述核子在核位能阱中填充離散的能階。

結果是:當質子或中子的數量達到某些「幻數」時,核子就格外穩定:

幻數:2、8、20、28、50、82、126

幻數的證據:

- 氦-4 (Z=2, N=2):雙重幻數,極為穩定:就是 α 粒子

- 氧-16 (Z=8, N=8):雙重幻數

- 鉛-208 (Z=82, N=126):雙重幻數,最重的穩定核

- 錫 (Z=50) 有 10 種穩定同位素:比任何其他元素都多

- 在幻數殼層關閉後,每個核子的結合能驟降

殼層模型還能預測核自旋與宇稱。每個被佔據的核子軌道都有特定的角動量量子數 j。總核自旋 I 是所有核子自旋與軌道角動量的向量和。每個軌道的宇稱 π = (−1)^ℓ。偶偶核(偶數 Z、偶數 N)的基態自旋總是 I=0,且具有正宇稱。

為什麼幻數很特別?

鉛-208 具有 Z=82(幻數)和 N=126(幻數)。它是最重、完全穩定的原子核:沒有比它更重而能在地質時間尺度上抵抗所有衰變模式的核。

氦-4 是雙重幻數 (Z=2, N=2)。在 α 衰變中,原子核噴出一個氦-4 核。這並非巧合。

凝聚原子核的力

為什麼原子核不會爆炸

考慮一個鈾-238 核:92 個質子被擠進半徑約 7.4 fm 的球體中。它們之間的靜電排斥力相當巨大:在數百 MeV 的量級。然而原子核是穩定的。

必定有某種力量克服了那種排斥。這個力量就是強核力:四種基本力中最強的一種。

強核力的性質:

- 作用範圍:極短:只在約 1–2 fm 內有效。超過 2 fm,它幾乎降到零(湯川位能:V(r) ∝ e^(−r/r₀)/r,其中 r₀ ≈ 1.5 fm)。

- 強度:在核距離下,比電磁力強約 100 倍

- 電荷無關性:在 p-p、p-n、n-n 對之間作用相等(同位旋對稱性)

- 飽和性:每個核子只與其最近的鄰居發生強相互作用:而不是與所有其他核子。這就是為什麼核密度大致與 A 無關。

- 短程近處勝出,遠處庫侖力勝出:在原子核內部,強核力佔主導地位。隨著質子增加,庫侖排斥力(屬於長程力)成長得比強核力(會飽和)更快。最終:大約在 Z=83+ 時:原子核變得不穩定。

夸克層次的強核力

從夸克到核子到原子核

在最基本層次上,強核力由量子色動力學 (QCD) 描述。夸克帶有色荷(紅、綠、藍),並透過交換膠子來相互作用。

每個質子 = 兩個上夸克 + 一個下夸克 (uud)。每個中子 = 一個上夸克 + 兩個下夸克 (udd)。

夸克之間的力由無質量的膠子傳遞,但與光子(傳遞電磁力)不同,膠子本身也帶有色荷:因此它們會彼此相互作用。這使 QCD 高度非線性,且在解析上極難處理。

禁閉:從未觀察到自由夸克。分離兩個夸克所需的能量會隨距離線性增加(像橡皮筋一樣),所以在分離真正發生之前,能量會生成新的夸克-反夸克對。夸克永遠被禁閉在強子之中(像質子這樣的重子,或介子)。

核力作為剩餘力:我們所說的核子之間的強核力,實際上是剩餘色力:電中性物體之間殘留的相互作用,類似於電中性分子之間的范德華力。這個剩餘力主要由π 介子交換傳遞(π 介子是最輕的介子,質量約 135 MeV/c²)。π 介子的質量決定了作用範圍:ℏc/m_π c² ≈ 1.4 fm。

飽和性與液滴類比

強核力會飽和:每個核子只與鄰居相互作用,而不是與原子核中所有的核子。這與重力或電磁力非常不同,在那些力中,每個粒子都與其他每個粒子相互作用。

由於飽和性,核結合能大致與 A 成正比(體積項),而不是與 A(A-1)/2 成正比(如果每對都相互作用,就會是這樣)。

放射性衰變的類型

為什麼原子核會衰變

不穩定的原子核會衰變以達到較低能量狀態:更接近核素圖上的穩定谷。釋放的能量(Q 值)等於母核與產物之間的質量差,經由 E=mc² 轉換得到。

α 衰變 (α):原子核發射一個氦-4 核 (²⁴He:2 個質子,2 個中子)。結果:Z 減 2,A 減 4。發生在重核中(典型 Z > 82)。例:²³⁸U → ²³⁴Th + ⁴He,Q = 4.27 MeV。

β 負衰變 (β⁻):中子轉換為質子:n → p + e⁻ + ν̄_e(反微中子)。結果:Z 加 1,A 不變。由弱核力傳遞。發生在 N/Z 太高(中子過多)時。

β 正衰變 (β⁺):質子轉換為中子:p → n + e⁺ + ν_e(正電子 + 微中子)。結果:Z 減 1,A 不變。發生在 N/Z 太低(質子過多)時。需要 Q > 2m_e c² = 1.022 MeV。

電子捕獲 (EC):質子捕獲一個內層電子:p + e⁻ → n + ν_e。淨結果與 β⁺ 相同,但不發射正電子。當 Q < 1.022 MeV 時與 β⁺ 競爭,或在重核中與之競爭,因為內層電子在原子核處的密度很高。

γ 衰變 (γ):在 α 或 β 衰變後,子核常處於激發態。它透過發射 γ 光子(高能電磁輻射)來去激發。Z 與 A 不變:只有能量改變。這類似於原子線發射,但能量在 MeV 量級。

內部轉換:γ 發射的另一種替代方式。核激發能直接轉移到內層電子上,將其彈出。它與 γ 發射競爭,特別是對於低能量躍遷與重核。

量子穿隧與 α 衰變

伽莫夫因子:α 粒子如何逃脫

α 衰變呈現一個量子力學的謎題。在原子核內部,α 粒子位於一個吸引位能阱中:強核力把它留住。在原子核外部不遠處,庫侖排斥力接管,形成一個位能障壁。

古典上,α 粒子無法逃脫:它沒有足夠的能量越過庫侖障壁(對於鈾,障壁峰值約為 30 MeV,而 α 的 Q 值只有約 4 MeV)。然而 α 衰變確實發生。

量子穿隧:由於 α 粒子遵守波動力學,它的波函數不會在障壁處突然停止。它會在古典禁區中以指數形式衰減。在另一邊找到該粒子的機率不為零。

穿隧機率由伽莫夫因子 G 表徵:

G = exp(−2γ),其中 γ = (Z_d × Z_α × e²)/(ℏv_α) × [arccos(√(R/R_C)) − √(R/R_C × (1 − R/R_C))]

關鍵相依性:能量較高的 α 粒子(較大的 Q 值)穿隧機率大得多 → 半衰期短得多。這就是蓋革-努塔爾定律:log(λ) ∝ −1/√Q,其中 λ 是衰變常數。

戲劇性的後果:把 Q 改變一個 2 的因子,就能讓半衰期改變許多個數量級。鈾-238 (Q=4.27 MeV) 的 t₁/₂ = 45 億年。釙-214 (Q=7.83 MeV) 的 t₁/₂ = 164 微秒。同樣的機制,完全不同的時間尺度:全都由伽莫夫因子解釋。

蓋革-努塔爾定律

鈾-238 α 衰變 Q 值:4.27 MeV,半衰期:4.47 × 10⁹ 年。

釙-212 α 衰變 Q 值:8.95 MeV,半衰期:0.3 × 10⁻⁶ 秒。

釷-228 α 衰變 Q 值:5.52 MeV,半衰期:1.9 年。

β 衰變與弱核力

原子核中的弱核力

β 衰變與 α 衰變從根本上不同。它不涉及預先形成的群集,也不涉及同樣意義上的穿隧。相反,它透過弱核力改變夸克味。

在 β⁻ 衰變中:中子裡的下夸克轉換為上夸克,將中子變成質子。傳遞者是 W⁻ 玻色子(質量約 80 GeV/c²)。由於 W 玻色子質量極大,弱核力的作用範圍極短(~10⁻¹⁸ m),且本質上很慢。

微中子:β 衰變總是會產生一個微中子(或反微中子)。這是 1930 年沃夫岡·包立為解釋連續 β 能譜而預測的:如果只發射電子,能量與動量守恆要求每次衰變都有固定的電子能量。觀察到的連續能譜證明有第三個粒子(微中子)帶走 Q 值的可變比例。

費米的 β 衰變理論:恩里科·費米 1934 年的理論將 β 衰變視為點交互作用(在核尺度下,弱核力的作用範圍可忽略)。衰變率取決於 Q 值的五次方:λ ∝ Q⁵。這意味著 Q 略微增加會大幅加速 β 衰變:不過沒有 α 衰變那麼戲劇化。

γ 衰變細節:在 α 或 β 衰變之後,子核典型上處於激發態(以 ᴬ_Z X* 表示)。原子核透過發射 γ 光子來去激發,光子能量 = E_excited − E_ground。躍遷率取決於躍遷的多極性 (E1, M1, E2, 等):電偶極躍遷最快(~10⁻¹⁴ s),而高多極性躍遷可以很慢(形成壽命長達數分鐘到數年的同核異構體)。鎝-99m(用於醫學影像)是一個具有 6 小時半衰期的核同核異構體,它透過異構轉換(γ 發射)衰變為 Tc-99。

鈾-238 衰變鏈

U-238 → Pb-206:45 億年中的 14 步

重核透過一連串的衰變鏈衰變,直到達到穩定核。U-238 衰變鏈在到達穩定的 Pb-206 之前,會產生 8 次 α 衰變和 6 次 β 衰變:

¹. ²³⁸U → ²³⁴Th + α (t₁/₂ = 4.47 Gy)

². ²³⁴Th → ²³⁴Pa + β⁻ (t₁/₂ = 24.1 天)

³. ²³⁴Pa → ²³⁴U + β⁻ (t₁/₂ = 1.17 分鐘)

⁴. ²³⁴U → ²³⁰Th + α (t₁/₂ = 245,500 年)

⁵. ²³⁰Th → ²²⁶Ra + α (t₁/₂ = 75,400 年)

⁶. ²²⁶Ra → ²²²Rn + α (t₁/₂ = 1,600 年)

⁷. ²²²Rn → ²¹⁸Po + α (t₁/₂ = 3.82 天)

⁸. ²¹⁸Po → ²¹⁴Pb + α (t₁/₂ = 3.05 分鐘)

⁹. ²¹⁴Pb → ²¹⁴Bi + β⁻ (t₁/₂ = 26.8 分鐘)

¹⁰. ²¹⁴Bi → ²¹⁴Po + β⁻ (t₁/₂ = 19.7 分鐘)

¹¹. ²¹⁴Po → ²¹⁰Pb + α (t₁/₂ = 164 μs)

¹². ²¹⁰Pb → ²¹⁰Bi + β⁻ (t₁/₂ = 22.3 年)

¹³. ²¹⁰Bi → ²¹⁰Po + β⁻ (t₁/₂ = 5.01 天)

¹⁴. ²¹⁰Po → ²⁰⁶Pb + α (t₁/₂ = 138 天)

最終產物:²⁰⁶Pb(穩定)

氡-222:第 6–7 步涉及氡,一種惰性氣體。由於它是氣體,可以從土壤中逸出並在建築物中累積。氡是美國僅次於吸菸的第二大肺癌成因:這是鈾自然衰變鏈的直接後果。

長期平衡:在古老的鈾礦床中,每個中間產物都與鈾-238 達到長期平衡。在平衡狀態下,每個衰變產物的活度等於 U-238 的活度。這意味著即使中間半衰期從微秒到數千年不等,在平衡狀態下它們的活度都相等。

放射性衰變的數學

N(t) = N₀ × e^(−λt)

放射性衰變是純粹的統計過程。每個原子核獨立衰變,單位時間的固定機率為 λ(衰變常數)。這導致一階動力學:

N(t) = N₀ × e^(−λt)

其中 N₀ 是初始核子數,N(t) 是時間 t 時剩餘的核子數。

半衰期:一半核子衰變所需的時間:t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0.693/λ

活度:A = λN:每秒衰變數。單位:貝克勒 (Bq) = 1 衰變/秒。較舊的單位:居里 (Ci) = 3.7 × 10¹⁰ Bq(定義為 1 克鐳-226 的活度)。

比活度:單位質量的活度。對於純同位素:SA = λ × N_A / M,其中 N_A 是亞佛加厥常數,M 是莫耳質量。短半衰期 → 高比活度。Po-210 的 t₁/₂ = 138 天 → SA ≈ 1.7 × 10¹⁴ Bq/g = 4,500 Ci/g。鈾-238 的 t₁/₂ = 4.47 Gy → SA ≈ 12,400 Bq/g。

平均壽命:τ = 1/λ = t₁/₂/ln(2) ≈ 1.44 × t₁/₂。經過一個平均壽命後,數量已降至初始值的 1/e ≈ 36.8%。

經過 n 個半衰期:N(n) = N₀/2ⁿ

長期平衡

當快速子核與緩慢母核達到平衡

考慮母核 P 衰變為子核 D(子核本身也會衰變)。如果母核的半衰期遠長於子核的半衰期 (t_{P} >> t_{D}),子核就會與母核達到長期平衡。

在長期平衡中:λ_P × N_P = λ_D × N_D,或等價地,A_P = A_D(活度相等)。

物理意義:子核被母核以與其衰變相同的速率產生。子核族群保持恆定:衰變鏈處於穩定狀態。

達到平衡的時間:大約 7 × t₁/₂(子核)。Ra-226 (t₁/₂ = 1,600 年) 在約 11,200 年後與 U-238 (t₁/₂ = 44.7 億年) 達到長期平衡。

實務後果:在鈾礦中,礦石含有所有處於長期平衡的子核。礦工和選礦工人不僅暴露於 U-238,還暴露於它的整個平衡衰變鏈:包括發射 α 的氡、釙和鉛同位素,所有這些的活度都與 U-238 相同。

計算殘餘活度

一座研究反應爐產生碘-131 (t₁/₂ = 8.02 天) 作為核分裂產物。停機後立即,樣品含有 3.7 × 10¹⁰ Bq (1 Ci) 的 I-131。

I-131 在醫學上很重要:它會集中在甲狀腺,既用於治療(治療甲狀腺癌),也是核事故的輻射危害(車諾比與福島釋放都涉及大量 I-131)。

質量虧損與 E=mc²

結合能從哪裡來?

原子核的重量小於其自由質子和中子的總和。這就是質量虧損 (Δm),也是核結合能的來源。

公式:B = Δm × c² = [Z × m_p + N × m_n − m(原子核)] × 931.5 MeV/u

範例:鐵-56 (²⁵⁶Fe,結合最緊密的常見原子核)

- Z = 26 個質子,N = 30 個中子

- 26 個自由質子的質量:26 × 1.007276 u = 26.189 u

- 30 個自由中子的質量:30 × 1.008665 u = 30.260 u

- 自由核子的總和:56.449 u

- ⁵⁶Fe 原子核的測量質量:55.921 u

- 質量虧損:Δm = 56.449 − 55.921 = 0.528 u

- 結合能:B = 0.528 u × 931.5 MeV/u = 492 MeV

- 每核子結合能:B/A = 492/56 = 8.79 MeV/核子

範例:鈾-235

- Z = 92,N = 143,A = 235

- 自由核子的總和:92 × 1.007276 + 143 × 1.008665 = 236.908 u

- ²³⁵U 的測量原子質量:235.044 u(扣除 92 個電子質量:92 × 0.000549 u = 0.0505 u → 核質量 ≈ 234.994 u)

- 質量虧損:Δm ≈ 236.908 − 234.994 ≈ 1.914 u

- 結合能:1.914 × 931.5 ≈ 總共 1,784 MeV = 7.59 MeV/核子

比較:每核子來說,⁵⁶Fe 比 ²³⁵U 結合得更緊密。這就是鈾分裂釋放能量背後的物理:產物(中等質量的核,如鋇與氪)每核子結合得比鈾更緊密。

結合能曲線

核物理學中最重要的圖表

每核子結合能 (B/A) 對質量數 A 作圖,揭示了核能的全部邏輯:

曲線的關鍵特徵:

- 從 A=1 上升到 A~56:當原子核從氫成長到鐵,B/A 增加。把輕核合併成較重的核會釋放能量(核融合)。

- 峰值在 A=56-62 附近:鐵-56 (8.79 MeV/核子) 與鎳-62 (8.80 MeV/核子) 位於峰值。它們是最穩定的核:宇宙從恆星核合成留下的「灰燼」。

- 從 A=56 到 A=238 漸減:重核每核子的結合不如鐵緊密。隨著每增加一個質子,庫侖排斥力會累積,每核子結合能下降。把重核分裂成中等質量的核會釋放能量(核分裂)。

- 顯著的隆起:幻數造成局部峰值:氦-4 (7.07 MeV/核子) 在其質量範圍內明顯突出於趨勢之上。

U-235 核分裂釋放的能量:

U-235 的 B/A ≈ 7.59 MeV/核子。典型的核分裂產物(例如 Ba-141 與 Kr-92)的 B/A ≈ 8.4 MeV/核子。

釋放的能量 ≈ (8.4 − 7.59) × 235 ≈ 0.81 × 235 ≈ 每次核分裂 190 MeV

(再加上即發中子動能與 γ 射線約 10 MeV,每次核分裂總共約 200 MeV)

D-T 核融合釋放的能量:

D (²H, B/A = 1.11 MeV) + T (³H, B/A = 2.83 MeV) → ⁴He (B/A = 7.07 MeV) + n

Q = [m(D) + m(T) − m(⁴He) − m(n)] × 931.5 MeV/u = 每次反應 17.6 MeV

每公斤 D-T 燃料:~3.4 × 10¹⁴ J = 340 TJ/kg:相對於汽油的 ~43 MJ/kg(約 800 萬倍)

為什麼鐵標記恆星核合成的終點

恆星透過將較輕的原子核融合成較重的原子核來產生能量:氫融合成氦,氦融合成碳,以此類推。每一個融合步驟都釋放能量,因為產物每核子結合得比反應物更緊密。

當大質量恆星核心達到鐵時,核融合就停止了。

核分裂如何運作

核分裂:分裂重核

核分裂發生在重核(典型 A > 230)吸收一個中子後,變得如此變形,以致強核力無法再對抗庫侖排斥力把它凝聚在一起。

核分裂過程:

1. 原子核吸收一個中子 → 變成 ²³⁶U*(激發複合核)

2. 原子核振盪:液滴變形

3. 如果激發能量超過分裂障壁(對於 U-235 + 慢中子,約為 6 MeV),頸部變細,原子核分裂

4. 兩個分裂碎片飛離(Ba、Kr、Cs、I 等:典型 A ~ 90 與 A ~ 140)

5. 即發中子(平均 2-3 個)在 10⁻¹⁴ 秒內被發射

6. 碎片經歷 β 衰變鏈(它們富含中子),歷時數小時到數年

一次 U-235 核分裂事件的能量分佈(總共約 200 MeV):

- 分裂碎片動能:~168 MeV

- 即發中子動能:~5 MeV

- 即發 γ 射線:~7 MeV

- 來自碎片的延遲 β:~8 MeV

- 來自碎片的延遲 γ:~7 MeV

- 反微中子能量(逸散):~12 MeV(無法回收)

反應爐中可回收的能量:每次核分裂約 188 MeV

中子截面

截面:中子如何看到原子核

截面 (σ) 量度中子與原子核交互作用的機率。儘管名稱如此,它並不是一個幾何面積:它是一個有效面積,捕捉了交互作用的量子力學機率。

單位:靶恩 (b) = 10⁻²⁴ cm² = 10⁻²⁸ m²。(由來:在曼哈頓計畫期間,物理學家發現鈾核的截面意外地大,並說原子核「大得像穀倉」。)

U-235 的關鍵截面:

- 核分裂 (σ_f):在熱能 (0.025 eV) 下約 580 靶恩

- 總吸收:在熱能下約 680 靶恩

- 快中子核分裂:在 1 MeV 下約 1-2 靶恩

1/v 定律:對於熱中子(低能量),交互作用截面按 1/v(速度倒數)縮放,或等價地,1/√E。較慢的中子在原子核附近停留的時間更長,交互作用機率更高。

共振區:在熱能 (~0.025 eV) 與快能 (~1 MeV) 之間,許多原子核在截面上呈現戲劇化的峰值,稱為共振:對應於複合核的特定激發態。U-238 在 1-1000 eV 範圍有巨大的共振捕獲峰,這就是為什麼熱中子反應爐使用減速劑將中子帶到共振區以下。

對反應爐設計的後果:熱中子(經由減速劑減速:水、重水、石墨)在 U-235 中的核分裂機率比快中子高 300 倍。這就是為什麼大多數反應爐使用減速劑。

連鎖反應與臨界性

自我維持的連鎖反應

每次 U-235 核分裂平均釋放 2.43 個即發中子(以 ν 表示)。對於自我維持的連鎖反應,這些中子中必須恰好有一個引起另一次核分裂。

倍增因子 k:一個世代的中子數與前一個世代的比率。

- k < 1:次臨界:反應消亡

- k = 1:臨界:穩定功率

- k > 1:超臨界:反應指數增長

六因子公式(對於熱中子反應爐):k_eff = η × f × p × ε × P_NL(熱) × P_NL(快)

- η (eta):每被燃料吸收一個中子產生的中子

- f:熱中子利用因子(被燃料吸收的熱中子比例)

- p:共振逃脫機率(慢化期間避免共振捕獲的比例)

- ε (epsilon):快中子核分裂因子

- P_NL:不洩漏機率

延遲中子:對反應爐控制至關重要。U-235 核分裂中約 0.65% 的中子是延遲的:在核分裂後 0.05 到 55 秒被發射。沒有延遲中子,反應爐的即發週期會是 ~10⁻⁴ 秒:對機械控制棒來說太快。有了延遲中子,有效的即發週期是 ~0.1 秒:可控制。

即發臨界:如果僅基於即發中子(忽略延遲中子)k > 1,反應爐就會達到即發臨界。這是核武器中的條件。反應爐的設計從不允許達到即發臨界。

為什麼熱中子反應爐需要減速劑

天然鈾含有 99.3% 的 U-238,只有 0.7% 的 U-235。U-238 在 1 eV 到 10 keV 範圍對中子有巨大的共振吸收截面,但不會與熱中子發生核分裂。U-235 在熱能下有 580 靶恩的核分裂截面。

大多數動力反應爐使用 3-5% 濃縮的鈾(3-5% U-235),以輕水兼作減速劑與冷卻劑。

核融合物理

克服庫侖障壁

核融合需要把兩個原子核拉得夠近,讓強核力接管:在 ~1 fm 內。但兩個原子核都帶正電,所以在靜電上相互排斥。

庫侖障壁:兩個帶有 Z₁e 與 Z₂e 電荷的原子核,在核距離 r 處的靜電位能:

V_C = k_e × Z₁ × Z₂ × e² / r

對於 D-T 核融合 (Z₁=1, Z₂=1, r ≈ 1 fm):V_C ≈ 1.4 MeV

古典上,你需要動能至少 1.4 MeV 的原子核(溫度 ~10¹⁰ K)。但量子穿隧穿過庫侖障壁可以降低這個要求:即使在遠低於障壁的能量下,顯著的穿隧仍以古典速率的 ~10⁻¹⁰ 發生。

熱電漿:在核融合反應爐中,原子核並不是單一能量。它們遵循馬克士威-波茲曼分佈。反應率是截面與速度乘積的馬克士威平均:<σv>。這個函數對不同反應在不同溫度達到峰值。

最佳溫度:

- D-T (²H + ³H → ⁴He + n,Q = 17.6 MeV):<σv> 峰值在 ~70 keV (≈ 8 億 K)。實際點火閾值:~10 keV 電漿溫度 (≈ 1 億 K)

- D-D (²H + ²H → ³He + n 或 ³H + p):峰值在 ~500 keV:需要更高的溫度

- D-³He (²H + ³He → ⁴He + p,Q = 18.3 MeV):峰值在 ~200 keV:無中子,非常吸引人但更困難

- p-¹¹B(質子 + 硼-11 → 3 ⁴He,Q = 8.7 MeV):無中子,需要 ~10⁹ K:最困難

為什麼 D-T 優先? D-T 在最低溫度下擁有最高的 <σv>:在 10 keV 下比 D-D 高約 100 倍。這就是為什麼所有目前的核融合計畫(ITER、NIF、像 TAE、Commonwealth Fusion 這類私人企業)都使用 D-T,儘管需要培育氚並管理中子活化。

勞森判據

當核融合產生的能量超過它消耗的能量

核融合電漿要自我維持(點火),核融合產生的能量必須超過電漿損失的能量。這由 1957 年由 John Lawson 推導出的勞森判據量化。

對於 D-T 核融合,點火需要:n × τ_E > 10²⁰ m⁻³ s (在 T ≈ 20 keV)

其中 n 是電漿數密度,τ_E 是能量約束時間(電漿保留其能量多久)。

現代呈現方式使用三重積:n × T × τ_E > ~3 × 10²¹ m⁻³ · keV · s

托卡馬克進展(三重積):

- JET (1997):n×T×τ_E ≈ 10²¹ m⁻³·keV·s,Q ≈ 0.65(核融合能量 / 輸入能量)

- ITER(預測):Q ≈ 10(從 50 MW 輸入產生 500 MW 核融合輸出)

- DEMO(規劃中):Q > 25,淨電力產出

慣性約束(NIF):與其用磁場約束電漿,NIF 使用 192 道雷射光束將 D-T 顆粒壓縮並加熱到核融合條件。顆粒在 ~10⁻¹⁰ 秒內內爆:約束時間就是內爆時間。NIF 在 2022 年 12 月達成點火 (Q > 1),這是史上第一次。

能量挑戰:即使在 Q = 10,核融合電廠也必須將核融合能量轉換為電力(熱效率 ~40%),並回送功率以加熱電漿。淨效率 Q_wall ≈ Q × η − 1。為了經濟地產電,需要 Q > ~25。

D-T 與 D-D 與 p-B11

考慮三個核融合反應:

D-T:Q = 17.6 MeV,最佳 T ≈ 1 億 K,產生高能中子 (14.1 MeV)

D-D:Q ≈ 3.65 MeV(兩個通道的平均),最佳 T ≈ 5 億 K,發射中子

p-B11:Q = 8.7 MeV,最佳 T ≈ 100 億 K,完全無中子(只產生 α 粒子)

氚的半衰期為 12.3 年,並非自然存在:必須從圍繞反應爐的覆層中的鋰培育出來 (⁶Li + n → ⁴He + T)。

E=mc² 用數字

把愛因斯坦方程式變得具體

E = mc²,其中 c = 2.998 × 10⁸ m/s,所以 c² = 8.988 × 10¹⁶ m²/s² = 8.988 × 10¹⁶ J/kg

完全質量轉換(假設):

1 克物質完全轉換:E = 0.001 kg × 8.988 × 10¹⁶ J/kg = 8.988 × 10¹³ J = ~90 TJ

這大約是一枚 20 千噸核武器的能量(廣島原子彈大約是 15 kt TNT ≈ 63 TJ)。

U-235 核分裂中的質量虧損:

U-235 分裂產生 Ba-141 + Kr-92 + 3n(典型分裂)

之前的質量:m(²³⁵U) + m(n) = 235.0439 u + 1.0087 u = 236.0526 u

之後的質量:m(¹⁴¹Ba) + m(⁹²Kr) + 3 × m(n) = 140.9144 u + 91.9262 u + 3 × 1.0087 u = 235.8667 u

質量虧損:Δm = 236.0526 − 235.8667 = 0.1859 u

釋放的能量:0.1859 u × 931.5 MeV/u = 173 MeV

(剩下的 ~27 MeV 來自碎片後續的 β/γ 衰變、反微中子等)

轉換的質量比例:0.1859 u / 236.0526 u = 0.079%:不到 0.1% 的質量轉換為能量

作為比較:化學燃燒:

燃燒 1 個碳原子 (12 u):C + O₂ → CO₂,ΔH ≈ −393 kJ/mol = 每分子 −4.1 eV

質量虧損:4.1 eV / (931.5 × 10⁶ eV/u) = 每原子 4.4 × 10⁻⁹ u:完全無法測量

轉換的質量比例:~3.6 × 10⁻¹⁰ = 0.000000036%:比核分裂小 200,000 倍

能量密度比較:

- 汽油:~43 MJ/kg

- U-235 核分裂:~8.2 × 10¹³ J/kg = 82,000,000 MJ/kg

- D-T 核融合:~3.4 × 10¹⁴ J/kg = 340,000,000 MJ/kg

- 完全湮滅:9 × 10¹⁶ J/kg = 90,000,000,000 MJ/kg

計算質量虧損

一座核能發電廠以 1,000 MW 電力輸出運行,熱效率為 33%(壓水反應爐的典型值)。它運行了 1 年來提供這個電力。

1 年 = 3.156 × 10⁷ 秒

熱功率 = 1,000 MW / 0.33 = ~3,030 MW 熱功率

每年產生的能量 = 3,030 × 10⁶ W × 3.156 × 10⁷ s = 9.56 × 10¹⁶ J 熱能

提示:1 u = 931.5 MeV/c²,1 MeV = 1.602 × 10⁻¹³ J,1 u = 1.66054 × 10⁻²⁷ kg

放射性與劑量單位

完整的輻射單位參考

核工程師與健康物理學家使用一套特定的單位。理解每個單位測量什麼量,以及何時使用哪一個,是關鍵。

活度(輻射源強度):

- 貝克勒 (Bq):1 Bq = 每秒 1 次放射性衰變。SI 單位。

- 居里 (Ci):1 Ci = 3.7 × 10¹⁰ Bq。定義為 1 克 Ra-226 的活度。在美國核醫學中仍廣泛使用。1 mCi = 3.7 × 10⁷ Bq。

活度告訴你輻射源強度:每秒衰變多少次:但對生物效應一無所知。

曝露量(空氣中的游離):

- 侖琴 (R):在乾燥空氣中產生每公斤 2.58 × 10⁻⁴ 庫侖離子電荷的 X 射線或 γ 輻射量。現在大部分被 SI 單位取代,但仍在較舊的劑量學文獻中使用。

吸收劑量(沉積在組織中的能量):

- 戈雷 (Gy):1 Gy = 每公斤組織沉積 1 焦耳能量。SI 單位。

- 拉德 (rad):1 rad = 0.01 Gy = 10 mGy。較舊的單位(輻射吸收劑量)。

吸收劑量告訴你沉積的能量,但不同類型的輻射在相同的能量沉積下會造成不同的生物損傷。

有效劑量(生物效應):

- 西弗 (Sv):有效劑量 = 吸收劑量 × 輻射加權因子 (w_R)。SI 單位。

- 侖目 (rem):1 rem = 0.01 Sv = 10 mSv。(侖琴等效人)較舊的單位。

輻射加權因子 (w_R):

- γ 射線、X 射線、β:w_R = 1(1 Gy = 1 Sv)

- 中子(1 MeV):w_R = 20

- α 粒子:w_R = 20

- 所以 1 Gy 的 α 輻射 = 20 Sv 生物效應:每焦耳的損傷比 γ 多 20 倍

劑量率與累積劑量:

劑量率 (Sv/hr 或 mSv/hr) 是瞬時的能量沉積率。累積劑量 (Sv) 是隨時間累積的總和。

劑量率 × 時間 = 累積劑量。但生物效應同時取決於速率與總和:急性高劑量率會引起輻射病;同樣總劑量分散在數年內,效應較低。

參考劑量:

- 年度背景輻射(美國平均):~3.1 mSv/年

- 胸部 X 光:~0.1 mSv

- CT 掃描(腹部):~8 mSv

- 職業限制(美國核能工作者):50 mSv/年

- 急性輻射症閾值:~1 Sv 全身急性劑量

- LD50/30(無治療下 30 天內 50% 人口的致死劑量):~4-5 Sv 急性全身

應用輻射單位

一位核醫學病人接受 Tc-99m(鎝-99m)注射用於骨骼掃描。施予活度為 20 mCi。

Tc-99m 僅透過 γ 發射衰變 (E_γ = 140 keV),t₁/₂ = 6.0 小時。

施予活度的大約 30% 定位在骨骼;70% 由腎臟在 24 小時內清除。

病人從 20 mCi Tc-99m 骨骼掃描接收的有效劑量大約為 4.0 mSv(根據劑量學計算)。

核物理在世界中的應用

這些物理出現在哪裡

目前運轉的反應爐類型:

- 壓水反應爐 (PWR):全球核能容量的 ~70%。H₂O 減速劑與冷卻劑,155 巴壓力,315°C 冷卻劑溫度,3-5% 濃縮 UO₂ 燃料。

- 沸水反應爐 (BWR):H₂O 減速劑,在反應爐心以 75 巴沸騰,單迴路(冷卻劑 = 蒸汽直接驅動渦輪機)。較緊湊,稍微簡單。

- CANDU:D₂O 減速劑與冷卻劑,天然鈾燃料,可以線上換料。

- RBMK(車諾比類型):石墨減速劑,輕水冷卻劑。正空泡係數:當冷卻劑沸騰時,反應度增加(在低功率下不穩定)。現在正在退役。

- 快中子反應爐 (SFR 等):無減速劑。快中子。可以從 U-238 培育鈽(增殖反應爐),燒掉長壽期錒系廢棄物。鈉冷卻劑(高熱導率,無減速)。俄羅斯的 BN-800 處於商業運轉狀態。

醫學物理:

- PET 掃描:正電子發射體 (¹⁸F, t₁/₂ = 110 分鐘) 從 e⁺e⁻ 湮滅產生背對背的 511 keV γ 射線:以符合方式偵測,用於成像新陳代謝。

- 放射治療:線性加速器產生 6-18 MV X 射線。質子治療利用布拉格峰物理:質子在特定深度沉積最大劑量,避免損及周圍組織。

- 中子捕獲治療 (BNCT):熱中子被腫瘤細胞中的 ¹⁰B 捕獲 → ¹¹B* → ⁴He + ⁷Li + γ,劑量沉積在腫瘤細胞本身內。

核武器物理:

- 核分裂彈:超臨界質量在微秒內組裝完成。內爆設計(三位一體、胖子)或槍管式(小男孩)。當量以 kt-Mt TNT 等效計算。

- 熱核武器:核分裂初級壓縮並加熱核融合次級(D-T 或 Li-D 燃料)。當量可達 ~50 Mt(沙皇炸彈)。核分裂是觸發器;核融合提供大部分當量。

地球物理:

- 放射定年:¹⁴C (t₁/₂ = 5,730 年) 用於最近的有機物質;U-Pb 系統用於最多 45 億年的岩石;K-Ar 用於火成岩。所有都基於 N(t) = N₀e^(−λt)。

- 地球的熱量:~45 TW 的熱量從地球內部流出。約一半是原始的(來自形成);一半來自長壽期放射性核素 (²³⁸U, ²³²Th, ⁴⁰K) 的衰變:這顆行星還溫暖,是因為放射性衰變。

最終綜合

你現在已經涵蓋了:核結構與殼層模型、強核力與弱核力、量子力學中的 α/β/γ/EC 衰變、半衰期動力學與長期平衡、結合能與曲線、核分裂截面與連鎖反應、核融合電漿與勞森判據、E=mc² 計算,以及輻射單位。

你學到了什麼

核物理學 101:完成

你已經涵蓋了入門核工程物理的完整範圍:

核結構:核子、核素圖、殼層模型、幻數 (2, 8, 20, 28, 50, 82, 126)、核自旋與宇稱,以及核半徑按 R₀A^(1/3) 縮放。

強核力:短程湯川相互作用、飽和性、夸克層次的膠子交換、透過 π 介子交換的剩餘力,以及作為飽和性結果的液滴模型。

放射性衰變:α(量子穿隧、伽莫夫因子、蓋革-努塔爾)、β 負與正(弱核力、W 玻色子、夸克味改變)、電子捕獲、γ 去激發、內部轉換,以及完整的 U-238 → Pb-206 衰變鏈。

半衰期動力學:N(t) = N₀e^(−λt)、以 Bq 與 Ci 表示的活度、比活度、平均壽命、長期平衡,以及實際衰變計算。

結合能:質量虧損計算 (Δm × 931.5 MeV/u)、Bethe-Weizsäcker 公式項,以及 Fe-56 與 U-235 的範例。

結合能曲線:為什麼核融合對輕核釋放能量、為什麼核分裂對重核釋放能量、為什麼鐵是恆星核合成的終點,以及以 J/kg 表示的能量密度。

核分裂物理:複合核、核分裂產物的能量分佈、中子截面與靶恩、1/v 定律、共振捕獲、六因子公式、延遲中子,以及臨界性。

核融合物理:庫侖障壁、量子穿隧、馬克士威-波茲曼平均、D-T 與 D-D 與 p-B11 權衡、勞森判據、托卡馬克進展,以及 NIF 點火。

E=mc² 計算:完全質量轉換 (1 g = 90 TJ)、U-235 核分裂中的質量虧損 (0.186 u = 173 MeV),以及能量密度比較。

輻射單位:活度 (Bq, Ci)、吸收劑量 (Gy, rad)、有效劑量 (Sv, rem)、輻射加權因子,以及參考劑量。

最後反思

你剛剛涵蓋了支撐核能發電、核醫學、輻射安全、天體物理學,以及武器不擴散的物理。

這是核工程師設計反應爐、健康物理學家計算劑量限制,以及政策制定者就核能在去碳化中的角色做出決策的基礎。