Protonen, neutronen en het nucleïdenlandschap

Het nucleon en de nucleïdenkaart

Protonen en neutronen worden samen nucleonen genoemd. Ze zijn niet fundamenteel: elk bestaat uit drie quarks die door gluonen bijeen worden gehouden. Maar op kernenergieschalen behandelen we ze als puntvormige objecten.

Elke mogelijke kern wordt geïdentificeerd door zijn (Z, N)-paar. De nucleïdenkaart toont alle bekende kernen: Z op de verticale as, N op de horizontale as. Stabiele kernen vormen een smalle band die de vallei van stabiliteit wordt genoemd.

Belangrijk kenmerk: Voor lichte kernen (Z < 20) is de stabiele verhouding ongeveer N/Z ≈ 1. Voor zware kernen hebben stabiele kernen aanzienlijk meer neutronen dan protonen. Lood-208 (Z=82, N=126) heeft N/Z = 1,54. Dit overschot aan neutronen werkt de Coulomb-afstoting tussen protonen gedeeltelijk tegen.

Kernen ver van de vallei van stabiliteit zijn instabiel: ze zijn radioactief. Ze vervallen in de richting van stabiliteit door deeltjes of straling uit te zenden.

Kernstraal: empirisch geldt R ≈ R₀ × A^(1/3), waarbij R₀ ≈ 1,2 fm. Hieruit volgt dat de kerndichtheid ongeveer constant is op zo'n 2,3 × 10¹⁷ kg/m³: een vingerhoed kernmaterie zou ongeveer 500 miljoen ton wegen.

Kernschillenmodel

Magische getallen en kernschillen

Elektronen in atomen bezetten gekwantiseerde schillen: het Pauli-uitsluitingsprincipe dwingt ze in afzonderlijke energieniveaus. Nucleonen gehoorzamen hetzelfde principe. Het kernschillenmodel (ontwikkeld door Maria Goeppert Mayer en J. Hans D. Jensen, Nobelprijs 1963) beschrijft hoe nucleonen discrete energieniveaus vullen in een kernpotentiaal.

Het resultaat: kernen met bepaalde 'magische getallen' aan protonen of neutronen zijn uitzonderlijk stabiel:

Magische getallen: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126

Bewijs voor magische getallen:

- Helium-4 (Z=2, N=2): dubbel magisch, buitengewoon stabiel: dit is het alfadeeltje

- Zuurstof-16 (Z=8, N=8): dubbel magisch

- Lood-208 (Z=82, N=126): dubbel magisch, zwaarste stabiele kern

- Tin (Z=50) heeft 10 stabiele isotopen: meer dan elk ander element

- Nadat schillen met magische getallen gesloten zijn, daalt de bindingsenergie per nucleon scherp

Het schillenmodel voorspelt ook kernspin en pariteit. Elke bezette nucleonorbital heeft een specifiek impulsmomentkwantumgetal j. De totale kernspin I is de vectorsom van alle nucleonspins en baanimpulsmomenten. Pariteit π = (−1)^ℓ voor elke orbital. Even-even kernen (even Z, even N) hebben in de grondtoestand altijd spin I=0 en positieve pariteit.

Waarom zijn magische getallen bijzonder?

Lood-208 heeft Z=82 (magisch) en N=126 (magisch). Het is de zwaarste volledig stabiele kern: niets zwaarders is over geologische tijdschalen stabiel tegen alle vervalmodi.

Helium-4 is dubbel magisch (Z=2, N=2). Bij alfaverval stoot de kern een helium-4-kern uit. Dit is geen toeval.

Kracht die kernen samenhoudt

Waarom de kern niet uit elkaar vliegt

Beschouw een uranium-238-kern: 92 protonen samengepakt in een bol met straal ~7,4 fm. De elektrostatische afstoting tussen hen is enorm: in de orde van honderden MeV. Toch is de kern stabiel.

Iets moet die afstoting overwinnen. Dat iets is de sterke kernkracht: de sterkste van de vier fundamentele krachten.

Eigenschappen van de sterke kernkracht:

- Bereik: extreem kort: alleen effectief binnen ~1–2 fm. Voorbij 2 fm valt deze in essentie naar nul (Yukawa-potentiaal: V(r) ∝ e^(−r/r₀)/r waarbij r₀ ≈ 1,5 fm).

- Magnitude: op kernafstanden ~100 keer sterker dan de elektromagnetische kracht

- Ladingsonafhankelijkheid: werkt gelijkwaardig tussen p-p, p-n en n-n paren (isospinsymmetrie)

- Verzadiging: elk nucleon werkt sterk in op slechts zijn directe buren: niet op alle andere nucleonen. Daarom is de kerndichtheid ongeveer constant ongeacht A.

- Korte afstand wint dichtbij, Coulomb wint ver weg: binnen de kern domineert de sterke kernkracht. Naarmate je protonen toevoegt, groeit de Coulomb-afstoting (die langeafstand is) sneller dan de sterke kernkracht (die verzadigt). Uiteindelijk: rond Z=83+: wordt de kern instabiel.

Sterke kernkracht op het quarkniveau

Van quarks naar nucleonen naar kernen

Op het fundamentele niveau wordt de sterke kernkracht beschreven door kwantumchromodynamica (QCD). Quarks dragen kleurlading (rood, groen, blauw) en wisselen gluonen uit om te interageren.

Elk proton = twee up-quarks + één down-quark (uud). Elk neutron = één up- + twee down-quarks (udd).

De kracht tussen quarks wordt gedragen door massaloze gluonen, maar in tegenstelling tot fotonen (die elektromagnetisme dragen) dragen gluonen zelf ook kleurlading: dus interageren ze met elkaar. Dit maakt QCD sterk niet-lineair en uiterst moeilijk analytisch op te lossen.

Opsluiting: Vrije quarks worden nooit waargenomen. De energie die nodig is om twee quarks te scheiden groeit lineair met de afstand (zoals een elastiekje), dus voordat scheiding optreedt, creëert de energie een nieuw quark-antiquarkpaar. Quarks zijn altijd opgesloten binnen hadronen (baryonen zoals protonen, of mesonen).

De kernkracht als residueel: Wat we de sterke kernkracht tussen nucleonen noemen, is in werkelijkheid een residuele kleurkracht: de overgebleven interactie tussen kleurneutrale objecten, vergelijkbaar met vanderwaalskrachten tussen elektrisch neutrale moleculen. Deze residuele kracht wordt voornamelijk overgedragen via pionuitwisseling (pionen zijn de lichtste mesonen, massa ~135 MeV/c²). De massa van het pion bepaalt het bereik: ℏc/m_π c² ≈ 1,4 fm.

Verzadiging en de vloeistofdruppel-analogie

De sterke kernkracht verzadigt: elk nucleon werkt alleen in op zijn buren, niet op alle nucleonen in de kern. Dit verschilt sterk van zwaartekracht of elektromagnetisme, waarbij elk deeltje met elk ander deeltje interageert.

Vanwege verzadiging groeit de kernbindingsenergie ruwweg evenredig met A (volumeterm) in plaats van met A(A-1)/2 (wat het zou zijn als elk paar interageerde).

Soorten radioactief verval

Waarom kernen vervallen

Een instabiele kern vervalt om een lagere energietoestand te bereiken: dichter bij de vallei van stabiliteit op de nucleïdenkaart. De vrijgekomen energie (Q-waarde) is gelijk aan het massaverschil tussen ouder en producten, omgezet via E=mc².

Alfaverval (α): De kern stoot een helium-4-kern uit (²⁴He: 2 protonen, 2 neutronen). Resultaat: Z neemt af met 2, A neemt af met 4. Treedt op bij zware kernen (Z > 82 doorgaans). Voorbeeld: ²³⁸U → ²³⁴Th + ⁴He, Q = 4,27 MeV.

Bèta-min-verval (β⁻): Een neutron wordt omgezet in een proton: n → p + e⁻ + ν̄_e (antineutrino). Resultaat: Z neemt toe met 1, A blijft onveranderd. Bemiddeld door de zwakke kernkracht. Treedt op wanneer N/Z te hoog is (te veel neutronen).

Bèta-plus-verval (β⁺): Een proton wordt omgezet in een neutron: p → n + e⁺ + ν_e (positron + neutrino). Resultaat: Z neemt af met 1, A blijft onveranderd. Treedt op wanneer N/Z te laag is (te veel protonen). Vereist Q > 2m_e c² = 1,022 MeV.

Elektronenvangst (EC): Een proton vangt een binnenste-schil-elektron op: p + e⁻ → n + ν_e. Hetzelfde netto resultaat als β⁺ maar zonder uitgezonden positron. Concurreert met β⁺ wanneer Q < 1,022 MeV of voor zware kernen waar de elektronendichtheid van de binnenste schillen aan de kern hoog is.

Gammaverval (γ): Na alfa- of bètaverval is de dochterkern vaak in een aangeslagen toestand. Hij vervalt naar een lagere toestand door een gammafoton uit te zenden (hoogenergetische elektromagnetische straling). Z en A blijven onveranderd: alleen energie verandert. Dit is vergelijkbaar met atomaire lijnemissie maar bij MeV-energieën.

Inwendige conversie: Een alternatief voor gamma-emissie. De kernexcitatieenergie wordt direct overgedragen aan een binnenste-schil-elektron, dat wordt uitgestoten. Concurreert met gamma-emissie, vooral bij overgangen met lage energie en zware kernen.

Kwantumtunneling en alfaverval

De Gamow-factor: hoe alfadeeltjes ontsnappen

Alfaverval vormt een kwantummechanisch raadsel. Binnen de kern zit het alfadeeltje in een aantrekkelijke potentiaalput: de sterke kernkracht houdt het binnen. Net buiten de kern neemt Coulomb-afstoting het over, waardoor een potentiaalbarrière ontstaat.

Klassiek kan het alfadeeltje niet ontsnappen: het mist de energie om over de Coulomb-barrière te klimmen (die piekt bij ~30 MeV voor uranium, terwijl de Q-waarde van het alfadeeltje slechts ~4 MeV is). Toch gebeurt alfaverval.

Kwantumtunneling: Omdat het alfadeeltje golfmechanica gehoorzaamt, stopt zijn golffunctie niet abrupt bij de barrière. Hij vervalt exponentieel door het klassiek verboden gebied. Er bestaat een niet-nul kans om het deeltje aan de andere kant te vinden.

De tunnelingwaarschijnlijkheid wordt gekenmerkt door de Gamow-factor G:

G = exp(−2γ) waarbij γ = (Z_d × Z_α × e²)/(ℏv_α) × [arccos(√(R/R_C)) − √(R/R_C × (1 − R/R_C))]

De belangrijkste afhankelijkheid: alfadeeltjes met hogere energie (grotere Q-waarde) hebben veel grotere tunnelingwaarschijnlijkheden → veel kortere halveringstijden. Dit is de Geiger-Nuttall-wet: log(λ) ∝ −1/√Q, waarbij λ de vervalconstante is.

Dramatisch gevolg: Het veranderen van Q met een factor 2 verandert de halveringstijd met vele ordes van grootte. Uranium-238 (Q=4,27 MeV) heeft t₁/₂ = 4,5 miljard jaar. Polonium-214 (Q=7,83 MeV) heeft t₁/₂ = 164 microseconden. Hetzelfde mechanisme, enorm verschillende tijdschalen: volledig verklaard door de Gamow-factor.

Geiger-Nuttall-wet

Uranium-238 alfaverval Q-waarde: 4,27 MeV, halveringstijd: 4,47 × 10⁹ jaar.

Polonium-212 alfaverval Q-waarde: 8,95 MeV, halveringstijd: 0,3 × 10⁻⁶ seconden.

Thorium-228 alfaverval Q-waarde: 5,52 MeV, halveringstijd: 1,9 jaar.

Bètaverval en de zwakke kernkracht

De zwakke kernkracht in de kern

Bètaverval is fundamenteel anders dan alfaverval. Het betreft geen vooraf gevormde clusters of tunneling op dezelfde manier. In plaats daarvan verandert een quarkflavor via de zwakke kernkracht.

Bij β⁻-verval: een down-quark in een neutron wordt omgezet in een up-quark, waardoor het neutron in een proton verandert. De drager is het W⁻-boson (massa ~80 GeV/c²). Omdat het W-boson zo zwaar is, heeft de zwakke kernkracht een extreem kort bereik (~10⁻¹⁸ m) en is intrinsiek traag.

Neutrino's: Bètaverval produceert altijd een neutrino (of antineutrino). Dit werd in 1930 voorspeld door Wolfgang Pauli om het continue bètaspectrum te verklaren: als alleen een elektron werd uitgezonden, zou behoud van energie en impuls een vaste elektronenenergie voor elk verval vereisen. Het waargenomen continue spectrum bewees dat een derde deeltje (het neutrino) variabele fracties van de Q-waarde wegdroeg.

Fermi's theorie van bètaverval: Enrico Fermi's theorie uit 1934 behandelt bètaverval als een puntinteractie (omdat het bereik van de zwakke kernkracht verwaarloosbaar is op kernschalen). De vervalsnelheid hangt af van de Q-waarde tot de vijfde macht: λ ∝ Q⁵. Dit betekent dat een kleine toename in Q bètaverval drastisch versnelt: hoewel niet zo dramatisch als bij alfaverval.

Details van gammaverval: Na alfa- of bètaverval verkeren dochterkernen doorgaans in aangeslagen toestanden (weergegeven als ᴬ_Z X*). De kern keert terug naar een lagere toestand door een gammafoton uit te zenden met energie = E_aangeslagen − E_grond. Overgangssnelheden hangen af van de multipolariteit van de overgang (E1, M1, E2, etc.): elektrische dipoolovergangen zijn het snelst (~10⁻¹⁴ s), terwijl overgangen met hoge multipolariteit traag kunnen zijn (waardoor isomeren ontstaan die minuten tot jaren overleven). Technetium-99m (gebruikt bij medische beeldvorming) is een kernisomeer met een halveringstijd van 6 uur, dat via isomere overgang (gamma-emissie) vervalt naar Tc-99.

Vervalketen van uranium-238

U-238 → Pb-206: 14 stappen over 4,5 miljard jaar

Zware kernen vervallen via een keten van opeenvolgende vervallen totdat ze een stabiele kern bereiken. De U-238-keten produceert 8 alfavervallen en 6 bètavervallen voordat hij stabiel Pb-206 bereikt:

¹. ²³⁸U → ²³⁴Th + α (t₁/₂ = 4,47 Gj)

². ²³⁴Th → ²³⁴Pa + β⁻ (t₁/₂ = 24,1 dagen)

³. ²³⁴Pa → ²³⁴U + β⁻ (t₁/₂ = 1,17 min)

⁴. ²³⁴U → ²³⁰Th + α (t₁/₂ = 245.500 jaar)

⁵. ²³⁰Th → ²²⁶Ra + α (t₁/₂ = 75.400 jaar)

⁶. ²²⁶Ra → ²²²Rn + α (t₁/₂ = 1.600 jaar)

⁷. ²²²Rn → ²¹⁸Po + α (t₁/₂ = 3,82 dagen)

⁸. ²¹⁸Po → ²¹⁴Pb + α (t₁/₂ = 3,05 min)

⁹. ²¹⁴Pb → ²¹⁴Bi + β⁻ (t₁/₂ = 26,8 min)

¹⁰. ²¹⁴Bi → ²¹⁴Po + β⁻ (t₁/₂ = 19,7 min)

¹¹. ²¹⁴Po → ²¹⁰Pb + α (t₁/₂ = 164 μs)

¹². ²¹⁰Pb → ²¹⁰Bi + β⁻ (t₁/₂ = 22,3 jaar)

¹³. ²¹⁰Bi → ²¹⁰Po + β⁻ (t₁/₂ = 5,01 dagen)

¹⁴. ²¹⁰Po → ²⁰⁶Pb + α (t₁/₂ = 138 dagen)

Eindproduct: ²⁰⁶Pb (stabiel)

Radon-222: Stappen 6–7 betreffen radon, een edelgas. Omdat het een gas is, kan het uit de bodem ontsnappen en zich ophopen in gebouwen. Radon is in de VS na roken de tweede oorzaak van longkanker: een direct gevolg van de natuurlijke vervalketen van uranium.

Seculier evenwicht: In een oude uraniumertsafzetting bereikt elke tussenstap seculier evenwicht met uranium-238. In evenwicht is de activiteit van elk vervalproduct gelijk aan de activiteit van U-238. Dit betekent dat hoewel de halveringstijden van tussenproducten variëren van microseconden tot duizenden jaren, hun activiteiten in evenwicht allemaal gelijk zijn.

Wiskunde van radioactief verval

N(t) = N₀ × e^(−λt)

Radioactief verval is een puur statistisch proces. Elke kern vervalt onafhankelijk, met een vaste waarschijnlijkheid per tijdseenheid λ (de vervalconstante). Dit leidt tot eersteordekinetiek:

N(t) = N₀ × e^(−λt)

waarbij N₀ het beginaantal kernen is en N(t) het aantal dat overblijft op tijd t.

Halveringstijd: De tijd waarin de helft van de kernen vervalt: t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0,693/λ

Activiteit: A = λN: het aantal vervallen per seconde. Eenheid: becquerel (Bq) = 1 verval/s. Oudere eenheid: curie (Ci) = 3,7 × 10¹⁰ Bq (gedefinieerd als de activiteit van 1 gram radium-226).

Specifieke activiteit: Activiteit per massa-eenheid. Voor een zuivere isotoop: SA = λ × N_A / M waarbij N_A het getal van Avogadro is en M de molaire massa. Korte halveringstijd → hoge specifieke activiteit. Po-210 heeft t₁/₂ = 138 dagen → SA ≈ 1,7 × 10¹⁴ Bq/g = 4.500 Ci/g. Uranium-238 heeft t₁/₂ = 4,47 Gj → SA ≈ 12.400 Bq/g.

Gemiddelde levensduur: τ = 1/λ = t₁/₂/ln(2) ≈ 1,44 × t₁/₂. Na één gemiddelde levensduur is het aantal afgenomen tot 1/e ≈ 36,8% van de beginwaarde.

Na n halveringstijden: N(n) = N₀/2ⁿ

Seculier evenwicht

Wanneer snelle dochters evenwicht bereiken met trage ouders

Beschouw een ouderkern P die vervalt naar een dochterkern D (die zelf vervalt). Als de halveringstijd van de ouder veel langer is dan die van de dochter (t_{P} >> t_{D}), bereikt de dochter seculier evenwicht met de ouder.

In seculier evenwicht: λ_P × N_P = λ_D × N_D, of gelijkwaardig, A_P = A_D (de activiteiten zijn gelijk).

Fysische betekenis: De dochter wordt door de ouder geproduceerd met dezelfde snelheid waarmee hij vervalt. De dochterpopulatie is constant: de keten is in een stationaire toestand.

Tijd tot evenwicht: Ongeveer 7 × t₁/₂(dochter). Ra-226 (t₁/₂ = 1.600 jaar) bereikt na ~11.200 jaar seculier evenwicht met U-238 (t₁/₂ = 4,47 miljard jaar).

Praktisch gevolg: Bij uraniumwinning bevat erts alle dochterproducten in seculier evenwicht. Mijnwerkers en raffinaderijwerkers worden niet alleen blootgesteld aan U-238, maar aan zijn volledige evenwichtsvervalketen: inclusief alfa-emitterende radon-, polonium- en loodisotopen, allemaal op hetzelfde activiteitsniveau als U-238.

Resterende activiteit berekenen

Een onderzoeksreactor produceert jood-131 (t₁/₂ = 8,02 dagen) als splijtingsproduct. Onmiddellijk na uitschakeling bevat een monster 3,7 × 10¹⁰ Bq (1 Ci) aan I-131.

I-131 is medisch significant: het concentreert zich in de schildklier en wordt zowel therapeutisch gebruikt (bij behandeling van schildklierkanker) als beschouwd als stralingsgevaar bij kernongevallen (bij Tsjernobyl en Fukushima kwam aanzienlijke I-131 vrij).

Massadefect en E=mc²

Waar komt de bindingsenergie vandaan?

Een kern weegt minder dan de som van zijn vrije protonen en neutronen. Dit is het massadefect (Δm), en het is de oorsprong van kernbindingsenergie.

Formule: B = Δm × c² = [Z × m_p + N × m_n − m(kern)] × 931,5 MeV/u

Voorbeeld: ijzer-56 (²⁵⁶Fe, de meest sterk gebonden veelvoorkomende kern)

- Z = 26 protonen, N = 30 neutronen

- Massa van 26 vrije protonen: 26 × 1,007276 u = 26,189 u

- Massa van 30 vrije neutronen: 30 × 1,008665 u = 30,260 u

- Som van vrije nucleonen: 56,449 u

- Gemeten massa van ⁵⁶Fe-kern: 55,921 u

- Massadefect: Δm = 56,449 − 55,921 = 0,528 u

- Bindingsenergie: B = 0,528 u × 931,5 MeV/u = 492 MeV

- Bindingsenergie per nucleon: B/A = 492/56 = 8,79 MeV/nucleon

Voorbeeld: uranium-235

- Z = 92, N = 143, A = 235

- Som van vrije nucleonen: 92 × 1,007276 + 143 × 1,008665 = 236,908 u

- Gemeten atomaire massa van ²³⁵U: 235,044 u (trek 92 elektronmassa's af: 92 × 0,000549 u = 0,0505 u → kernmassa ≈ 234,994 u)

- Massadefect: Δm ≈ 236,908 − 234,994 ≈ 1,914 u

- Bindingsenergie: 1,914 × 931,5 ≈ 1.784 MeV totaal = 7,59 MeV/nucleon

Vergelijk: ⁵⁶Fe is sterker gebonden per nucleon dan ²³⁵U. Dit is de fysica achter waarom splijting van uranium energie vrijmaakt: de producten (middelzware kernen zoals barium en krypton) zijn sterker gebonden per nucleon dan uranium.

Curve van bindingsenergie

De belangrijkste grafiek in de kernfysica

De bindingsenergie per nucleon (B/A) uitgezet tegen het massagetal A onthult de gehele logica van kernenergie:

Belangrijkste kenmerken van de curve:

- Stijging van A=1 naar A~56: Naarmate kernen groeien van waterstof naar ijzer, neemt B/A toe. Het combineren van lichte kernen tot zwaardere maakt energie vrij (fusie).

- Top rond A=56-62: IJzer-56 (8,79 MeV/nucleon) en nikkel-62 (8,80 MeV/nucleon) bevinden zich op de top. Dit zijn de meest stabiele kernen: het 'as' van het universum uit stellaire nucleosynthese.

- Geleidelijke daling van A=56 naar A=238: Zware kernen zijn minder sterk gebonden per nucleon dan ijzer. Naarmate Coulomb-afstoting zich ophoopt met elk toegevoegd proton, daalt de bindingsenergie per nucleon. Het splitsen van zware kernen in middelzware kernen maakt energie vrij (splijting).

- Opmerkelijke uitschieters: Magische getallen creëren lokale toppen: helium-4 (7,07 MeV/nucleon) ligt opvallend boven de trend voor zijn massabereik.

Vrijgekomen energie bij splijting van U-235:

U-235 heeft B/A ≈ 7,59 MeV/nucleon. Typische splijtingsproducten (bijv. Ba-141 en Kr-92) hebben B/A ≈ 8,4 MeV/nucleon.

Vrijgekomen energie ≈ (8,4 − 7,59) × 235 ≈ 0,81 × 235 ≈ 190 MeV per splijting

(Plus ~10 MeV uit kinetische energie van prompte neutronen en gammastralen, totaal ~200 MeV per splijting)

Vrijgekomen energie bij D-T-fusie:

D (²H, B/A = 1,11 MeV) + T (³H, B/A = 2,83 MeV) → ⁴He (B/A = 7,07 MeV) + n

Q = [m(D) + m(T) − m(⁴He) − m(n)] × 931,5 MeV/u = 17,6 MeV per reactie

Per kilogram D-T-brandstof: ~3,4 × 10¹⁴ J = 340 TJ/kg: tegenover ~43 MJ/kg voor benzine (factor ~8 miljoen)

Waarom ijzer het eindpunt van stellaire nucleosynthese markeert

Sterren produceren energie door lichtere kernen samen te smelten tot zwaardere: waterstof tot helium, helium tot koolstof, enzovoort. Elke fusiestap maakt energie vrij omdat het product sterker gebonden is per nucleon dan de reactanten.

Wanneer de kern van een zware ster ijzer bereikt, stopt de fusie.

Hoe splijting werkt

Kernsplijting: Het splitsen van de zware kern

Splijting treedt op wanneer een zware kern (doorgaans A > 230) een neutron absorbeert en zo vervormd raakt dat de sterke kernkracht hem niet meer bijeen kan houden tegen Coulomb-afstoting in.

Het splijtingsproces:

1. De kern absorbeert een neutron → wordt ²³⁶U* (aangeslagen samengestelde kern)

2. De kern oscilleert: de vloeistofdruppel vervormt

3. Als de excitatieenergie de splijtingsbarrière overschrijdt (~6 MeV voor U-235 + traag neutron), wordt de hals dunner en splijt de kern

4. Twee splijtingsfragmenten vliegen uit elkaar (Ba, Kr, Cs, I, etc.: doorgaans A ~ 90 en A ~ 140)

5. Prompte neutronen (gemiddeld 2-3) worden uitgezonden binnen 10⁻¹⁴ seconden

6. Fragmenten ondergaan bètavervalketens (ze hebben overschot aan neutronen) gedurende uren tot jaren

Energieverdeling bij één U-235-splijting (~200 MeV totaal):

- Kinetische energie van splijtingsfragmenten: ~168 MeV

- Kinetische energie van prompte neutronen: ~5 MeV

- Prompte gammastralen: ~7 MeV

- Vertraagde bèta's uit fragmenten: ~8 MeV

- Vertraagde gammastralen uit fragmenten: ~7 MeV

- Antineutrino-energie (ontsnapt): ~12 MeV (niet te benutten)

Benutbare energie in een reactor: ~188 MeV per splijting

Neutronendoorsneden

Doorsneden: hoe neutronen kernen zien

Een doorsnede (σ) meet de waarschijnlijkheid van een neutron-kerninteractie. Ondanks de naam is het geen geometrische oppervlakte: het is een effectieve oppervlakte die de kwantummechanische interactiewaarschijnlijkheid weergeeft.

Eenheid: barn (b) = 10⁻²⁴ cm² = 10⁻²⁸ m². (Oorsprong: tijdens het Manhattan-project ontdekten natuurkundigen uraniumkernen die onverwacht groot waren in doorsnede en zeiden dat de kern 'zo groot als een schuur' was, in het Engels 'barn'.)

Belangrijke doorsneden voor U-235:

- Splijting (σ_f): ~580 barn bij thermische energieën (0,025 eV)

- Totale absorptie: ~680 barn bij thermische energieën

- Snelle neutronensplijting: ~1-2 barn bij 1 MeV

De 1/v-wet: Voor thermische neutronen (lage energie) schalen interactiedoorsneden met 1/v (omgekeerde snelheid), of gelijkwaardig, met 1/√E. Tragere neutronen besteden meer tijd nabij een kern en hebben een hogere interactiewaarschijnlijkheid.

Resonantiegebied: Tussen thermische (~0,025 eV) en snelle (~1 MeV) energieën vertonen veel kernen dramatische pieken in doorsnede die resonanties worden genoemd: deze corresponderen met specifieke aangeslagen toestanden van de samengestelde kern. U-238 heeft enorme resonantievangstpieken in het bereik van 1-1000 eV, en daarom gebruiken thermische reactoren moderatoren om neutronen onder het resonantiegebied te brengen.

Gevolg voor reactorontwerp: Thermische neutronen (vertraagd door een moderator: water, zwaar water, grafiet) hebben een 300× hogere splijtingswaarschijnlijkheid in U-235 dan snelle neutronen. Daarom gebruiken de meeste reactoren moderatoren.

Kettingreacties en kriticiteit

De zelfonderhoudende kettingreactie

Elke U-235-splijting maakt gemiddeld 2,43 prompte neutronen vrij (aangeduid als ν). Voor een zelfonderhoudende kettingreactie moet precies één van die neutronen een nieuwe splijting veroorzaken.

Vermenigvuldigingsfactor k: De verhouding van neutronen in één generatie tot die in de vorige.

- k < 1: subkritisch: de reactie sterft uit

- k = 1: kritisch: stationair vermogen

- k > 1: superkritisch: de reactie groeit exponentieel

Zes-factorformule (voor thermische reactoren): k_eff = η × f × p × ε × P_NL(thermisch) × P_NL(snel)

- η (eta): neutronen geproduceerd per neutron geabsorbeerd in de brandstof

- f: thermische benuttingsfactor (fractie thermische neutronen die door de brandstof wordt geabsorbeerd)

- p: resonantieontsnappingswaarschijnlijkheid (fractie die resonantievangst vermijdt tijdens vertraging)

- ε (epsilon): snelle splijtingsfactor

- P_NL: niet-lekwaarschijnlijkheden

Vertraagde neutronen: Cruciaal voor reactorbesturing. Ongeveer 0,65% van de neutronen uit U-235-splijting zijn vertraagd: ze worden 0,05 tot 55 seconden na splijting uitgezonden. Zonder vertraagde neutronen zou de prompte periode van een reactor ~10⁻⁴ seconden zijn: te snel voor mechanische regelstaven. Met vertraagde neutronen is de effectieve prompte periode ~0,1 seconden: bestuurbaar.

Prompte kriticiteit: Als k > 1 op basis van prompte neutronen alleen (zonder vertraagde), gaat de reactor prompt kritisch. Dit is de toestand in een kernwapen. Reactoren zijn ontworpen om nooit prompte kriticiteit te bereiken.

Waarom thermische reactoren moderatoren nodig hebben

Natuurlijk uranium bevat 99,3% U-238 en slechts 0,7% U-235. U-238 heeft een enorme resonantieabsorptiedoorsnede voor neutronen in het bereik van 1 eV tot 10 keV maar splijt niet met thermische neutronen. U-235 heeft een splijtingsdoorsnede van 580 barn bij thermische energieën.

De meeste vermogensreactoren gebruiken 3-5% verrijkt uranium (3-5% U-235) met licht water als zowel moderator als koelmiddel.

Fysica van fusie

De Coulomb-barrière overwinnen

Fusie vereist dat twee kernen dicht genoeg bij elkaar worden gebracht zodat de sterke kernkracht het overneemt: binnen ~1 fm. Maar beide kernen zijn positief geladen, dus stoten ze elkaar elektrostatisch af.

De Coulomb-barrière: De elektrostatische potentiële energie op kernafstand r voor twee kernen met ladingen Z₁e en Z₂e:

V_C = k_e × Z₁ × Z₂ × e² / r

Voor D-T-fusie (Z₁=1, Z₂=1, r ≈ 1 fm): V_C ≈ 1,4 MeV

Klassiek heb je kernen nodig met minstens 1,4 MeV kinetische energie (temperatuur ~10¹⁰ K). Maar kwantumtunneling door de Coulomb-barrière vermindert deze eis: significante tunneling vindt plaats op ~10⁻¹⁰ van het klassieke tempo, zelfs bij energieën ver onder de barrière.

Thermisch plasma: In een fusiereactor zijn kernen niet mono-energetisch. Ze volgen een Maxwell-Boltzmann-verdeling. De reactiesnelheid is het Maxwelliaans-gemiddelde product van doorsnede en snelheid: <σv>. Deze functie piekt bij verschillende temperaturen voor verschillende reacties.

Optimale temperaturen:

- D-T (²H + ³H → ⁴He + n, Q = 17,6 MeV): piek <σv> bij ~70 keV (≈ 800 miljoen K). Praktische ontstekingsdrempel: ~10 keV plasmatemperatuur (≈ 100 miljoen K)

- D-D (²H + ²H → ³He + n of ³H + p): piek bij ~500 keV: vereist veel hogere temperatuur

- D-³He (²H + ³He → ⁴He + p, Q = 18,3 MeV): piek bij ~200 keV: aneutronisch, zeer aantrekkelijk maar moeilijker

- p-¹¹B (proton + boor-11 → 3 ⁴He, Q = 8,7 MeV): aneutronisch, ~10^9 K vereist: het moeilijkst

Waarom eerst D-T? D-T heeft de hoogste <σv> bij de laagste temperatuur: ongeveer 100× hoger dan D-D bij 10 keV. Daarom gebruiken alle huidige fusieprogramma's (ITER, NIF, particuliere ondernemingen zoals TAE, Commonwealth Fusion) D-T ondanks de noodzaak om tritium te kweken en neutronenactivering te beheersen.

Lawson-criterium

Wanneer fusie meer energie produceert dan ze verbruikt

Wil een fusieplasma zelfonderhoudend zijn (ontsteking), dan moet de door fusie geproduceerde energie de uit het plasma verloren energie overstijgen. Dit wordt gekwantificeerd door het Lawson-criterium, afgeleid door John Lawson in 1957.

Voor D-T-fusie vereist ontsteking: n × τ_E > 10²⁰ m⁻³ s (bij T ≈ 20 keV)

waarbij n de plasmaaantaldichtheid is en τ_E de energieopsluitingstijd (hoe lang het plasma zijn energie behoudt).

Moderne presentaties gebruiken het drievoudig product: n × T × τ_E > ~3 × 10²¹ m⁻³ · keV · s

Voortgang van tokamaks (drievoudig product):

- JET (1997): n×T×τ_E ≈ 10²¹ m⁻³·keV·s, Q ≈ 0,65 (fusie-energie / input-energie)

- ITER (geprojecteerd): Q ≈ 10 (500 MW fusie-output uit 50 MW input)

- DEMO (gepland): Q > 25, netto elektriciteitsproductie

Inertiële opsluiting (NIF): In plaats van het plasma magnetisch op te sluiten, gebruikt NIF 192 laserstralen om een D-T-pellet te comprimeren en te verhitten tot fusieomstandigheden. De pellet implodeert in ~10⁻¹⁰ seconden: de opsluitingstijd is de implosietijd. NIF behaalde ontsteking (Q > 1) in december 2022, voor het eerst in de geschiedenis.

De energie-uitdaging: Zelfs bij Q = 10 moet een fusiekrachtcentrale fusie-energie omzetten in elektriciteit (thermisch rendement ~40%) en vermogen recirculeren voor plasmaverhitting. Netto rendement Q_wand ≈ Q × η − 1. Voor economische stroomopwekking is Q > ~25 nodig.

D-T versus D-D versus p-B11

Beschouw drie fusiereacties:

D-T: Q = 17,6 MeV, optimale T ≈ 100 miljoen K, produceert energierijke neutronen (14,1 MeV)

D-D: Q ≈ 3,65 MeV (gemiddelde van twee kanalen), optimale T ≈ 500 miljoen K, neutronen worden uitgezonden

p-B11: Q = 8,7 MeV, optimale T ≈ 10 miljard K, volledig aneutronisch (alleen alfadeeltjes geproduceerd)

Tritium heeft een halveringstijd van 12,3 jaar en komt niet van nature voor: het moet worden gekweekt uit lithium in een mantel rond de reactor (⁶Li + n → ⁴He + T).

E=mc² in getallen

Einsteins vergelijking concreet maken

E = mc² waarbij c = 2,998 × 10⁸ m/s, dus c² = 8,988 × 10¹⁶ m²/s² = 8,988 × 10¹⁶ J/kg

Volledige massaomzetting (hypothetisch):

1 gram materie volledig omgezet: E = 0,001 kg × 8,988 × 10¹⁶ J/kg = 8,988 × 10¹³ J = ~90 TJ

Dat is ruwweg de energie van een kernwapen van 20 kiloton (de Hiroshima-bom was ~15 kt TNT ≈ 63 TJ).

Massadefect bij U-235-splijting:

U-235 splijt en produceert Ba-141 + Kr-92 + 3n (typische splitsing)

Massa vooraf: m(²³⁵U) + m(n) = 235,0439 u + 1,0087 u = 236,0526 u

Massa achteraf: m(¹⁴¹Ba) + m(⁹²Kr) + 3 × m(n) = 140,9144 u + 91,9262 u + 3 × 1,0087 u = 235,8667 u

Massadefect: Δm = 236,0526 − 235,8667 = 0,1859 u

Vrijgekomen energie: 0,1859 u × 931,5 MeV/u = 173 MeV

(De resterende ~27 MeV komt uit daaropvolgende bèta/gamma-vervallen van fragmenten, antineutrino's, etc.)

Fractie omgezette massa: 0,1859 u / 236,0526 u = 0,079%: minder dan 0,1% van de massa wordt omgezet in energie

Ter vergelijking: chemische verbranding:

Verbranden van 1 koolstofatoom (12 u): C + O₂ → CO₂, ΔH ≈ −393 kJ/mol = −4,1 eV per molecuul

Massadefect: 4,1 eV / (931,5 × 10⁶ eV/u) = 4,4 × 10⁻⁹ u per atoom: volledig onmeetbaar

Fractie omgezette massa: ~3,6 × 10⁻¹⁰ = 0,000000036%: 200.000 keer kleiner dan splijting

Vergelijking van energiedichtheid:

- Benzine: ~43 MJ/kg

- U-235-splijting: ~8,2 × 10¹³ J/kg = 82.000.000 MJ/kg

- D-T-fusie: ~3,4 × 10¹⁴ J/kg = 340.000.000 MJ/kg

- Volledige annihilatie: 9 × 10¹⁶ J/kg = 90.000.000.000 MJ/kg

Bereken het massadefect

Een kerncentrale draait op een elektrisch vermogen van 1.000 MW met een thermisch rendement van 33% (typisch voor een drukwaterreactor). De centrale levert dit vermogen één jaar lang.

1 jaar = 3,156 × 10⁷ seconden

Thermisch vermogen = 1.000 MW / 0,33 = ~3.030 MW thermisch

Energie geproduceerd per jaar = 3.030 × 10⁶ W × 3,156 × 10⁷ s = 9,56 × 10¹⁶ J thermisch

Hint: 1 u = 931,5 MeV/c², 1 MeV = 1,602 × 10⁻¹³ J, 1 u = 1,66054 × 10⁻²⁷ kg

Eenheden van radioactiviteit en dosis

Een complete referentie voor stralingseenheden

Kerntechnici en stralingsfysici gebruiken een specifieke set eenheden. Begrijpen welke grootheid elke eenheid meet: en wanneer welke te gebruiken: is essentieel.

Activiteit (bronsterkte):

- Becquerel (Bq): 1 Bq = 1 radioactief verval per seconde. SI-eenheid.

- Curie (Ci): 1 Ci = 3,7 × 10¹⁰ Bq. Gedefinieerd als de activiteit van 1 gram Ra-226. Nog steeds breed gebruikt in de Amerikaanse nucleaire geneeskunde. 1 mCi = 3,7 × 10⁷ Bq.

Activiteit zegt je hoe sterk de bron is: hoeveel vervallen per seconde: maar zegt niets over biologisch effect.

Blootstelling (ionisatie in lucht):

- Roentgen (R): Hoeveelheid röntgen- of gammastraling die 2,58 × 10⁻⁴ coulomb ionlading per kilogram droge lucht produceert. Tegenwoordig grotendeels vervangen door SI-eenheden maar nog gebruikt in oudere dosimetrieliteratuur.

Geabsorbeerde dosis (energie afgezet in weefsel):

- Gray (Gy): 1 Gy = 1 joule energie afgezet per kilogram weefsel. SI-eenheid.

- Rad: 1 rad = 0,01 Gy = 10 mGy. Oudere eenheid (radiation absorbed dose).

Geabsorbeerde dosis zegt je hoeveel energie is afgezet, maar verschillende soorten straling veroorzaken verschillende biologische schade voor dezelfde energieafzetting.

Effectieve dosis (biologisch effect):

- Sievert (Sv): Effectieve dosis = geabsorbeerde dosis × stralingsweegfactor (w_R). SI-eenheid.

- Rem: 1 rem = 0,01 Sv = 10 mSv. (Roentgen equivalent man). Oudere eenheid.

Stralingsweegfactoren (w_R):

- Gammastralen, röntgenstralen, bèta: w_R = 1 (1 Gy = 1 Sv)

- Neutronen (1 MeV): w_R = 20

- Alfadeeltjes: w_R = 20

- Dus 1 Gy alfastraling = 20 Sv biologisch effect: 20× schadelijker per joule dan gamma

Dosistempo versus geïntegreerde dosis:

Dosistempo (Sv/uur of mSv/uur) is het instantane tempo van energieafzetting. Geïntegreerde dosis (Sv) is het totaal opgebouwd in de tijd.

Dosistempo × tijd = geïntegreerde dosis. Maar biologische effecten hangen zowel van het tempo als het totaal af: een acute hoge dosis veroorzaakt stralingsziekte; dezelfde totale dosis verspreid over jaren heeft een lager effect.

Referentiedoses:

- Jaarlijkse achtergrondstraling (gemiddelde VS): ~3,1 mSv/jaar

- Röntgenfoto van de borstkas: ~0,1 mSv

- CT-scan (buik): ~8 mSv

- Beroepslimiet (Amerikaanse nucleaire werknemers): 50 mSv/jaar

- Drempel voor acute stralingsziekte: ~1 Sv acute totale lichaamsdosis

- LD50/30 (dodelijke dosis voor 50% van de bevolking binnen 30 dagen zonder behandeling): ~4-5 Sv acute totale lichaamsdosis

Stralingseenheden toepassen

Een patiënt in de nucleaire geneeskunde krijgt een Tc-99m-injectie (technetium-99m) voor een botscan. De toegediende activiteit is 20 mCi.

Tc-99m vervalt alleen via gamma-emissie (E_γ = 140 keV), t₁/₂ = 6,0 uur.

Ongeveer 30% van de toegediende activiteit lokaliseert zich in het bot; 70% wordt binnen 24 uur door de nieren uitgescheiden.

De effectieve dosis voor de patiënt van een 20 mCi Tc-99m botscan is ongeveer 4,0 mSv (uit dosimetrieberekeningen).

Kernfysica in de wereld

Waar deze fysica opduikt

Reactortypes die vandaag in bedrijf zijn:

- Drukwaterreactor (PWR): ~70% van de wereldwijde nucleaire capaciteit. H₂O als moderator en koelmiddel, 155 bar druk, 315°C koelmiddeltemperatuur, 3-5% verrijkt UO₂ als brandstof.

- Kookwaterreactor (BWR): H₂O als moderator, kookt in de kern bij 75 bar, één enkele lus (koelmiddel = stoom drijft direct de turbine aan). Compacter, iets eenvoudiger.

- CANDU: D₂O als moderator en koelmiddel, brandstof van natuurlijk uranium, kan online worden bijgevuld.

- RBMK (Tsjernobyl-type): grafietmoderator, lichtwaterkoelmiddel. Positieve void-coëfficiënt: wanneer het koelmiddel kookt, neemt de reactiviteit toe (instabiel bij laag vermogen). Wordt nu uit bedrijf genomen.

- Snelle reactoren (SFR, etc.): Geen moderator. Snelle neutronen. Kunnen plutonium kweken uit U-238 (kweekreactoren), langlevend actinide-afval verbranden. Natriumkoelmiddel (hoge thermische geleidbaarheid, geen moderatie). Het Russische BN-800 is in commercieel bedrijf.

Medische fysica:

- PET-scan: positronen-emitters (¹⁸F, t₁/₂ = 110 min) produceren tegengesteld gerichte 511 keV-gammastralen uit e⁺e⁻-annihilatie: gedetecteerd in coïncidentie om metabolisme in beeld te brengen.

- Stralingstherapie: lineaire versnellers produceren 6-18 MV röntgenstralen. Protontherapie gebruikt Bragg-piek-fysica: protonen zetten maximale dosis af op een specifieke diepte, en sparen omliggend weefsel.

- Boorneutronvangsttherapie (BNCT): thermische neutronen worden gevangen door ¹⁰B in tumorcellen → ¹¹B* → ⁴He + ⁷Li + gamma, waardoor dosis wordt afgezet binnen de tumorcel zelf.

Fysica van kernwapens:

- Splijtingsbom: superkritische massa wordt in microseconden samengesteld. Implosieontwerp (Trinity, Fat Man) of kanontype (Little Boy). Opbrengst in kt-Mt TNT-equivalent.

- Thermonucleair wapen: een splijtingsprimaire comprimeert en verhit een fusiesecundaire (D-T- of Li-D-brandstof). Opbrengsten tot ~50 Mt (Tsar Bomba). De splijting is de trigger; fusie levert het grootste deel van de opbrengst.

Geofysica:

- Radiometrische datering: ¹⁴C (t₁/₂ = 5.730 jaar) voor recent organisch materiaal; U-Pb-systemen voor gesteenten tot 4,5 miljard jaar; K-Ar voor stollingsgesteenten. Allemaal gebaseerd op N(t) = N₀e^(−λt).

- Aardse warmte: ~45 TW warmte stroomt vanuit het binnenste van de Aarde. Ongeveer de helft is oerwarmte (uit de vorming); de helft komt uit verval van langlevende radionucliden (²³⁸U, ²³²Th, ⁴⁰K): de planeet is nog warm vanwege radioactief verval.

Eindsynthese

Je hebt nu het volgende behandeld: kernstructuur en schillenmodel, de sterke en zwakke kernkracht, alfa/bèta/gamma/EC-verval met kwantummechanica, kinetiek van halveringstijd en seculier evenwicht, bindingsenergie en de curve, splijtingsdoorsneden en kettingreacties, fusieplasma's en het Lawson-criterium, E=mc²-berekeningen, en stralingseenheden.

Wat je hebt geleerd

Kernfysica 101: voltooid

Je hebt het volledige bereik van inleidende kerntechnische fysica behandeld:

Kernstructuur: Nucleonen, de nucleïdenkaart, het schillenmodel, magische getallen (2, 8, 20, 28, 50, 82, 126), kernspin en pariteit, en kernstraal die schaalt als R₀A^(1/3).

De sterke kernkracht: Yukawa-interactie met kort bereik, verzadiging, gluonuitwisseling op het quarkniveau, residuele kracht via pionuitwisseling, en het vloeistofdruppelmodel als gevolg van verzadiging.

Radioactief verval: alfa (kwantumtunneling, Gamow-factor, Geiger-Nuttall), bèta-min en bèta-plus (zwakke kernkracht, W-boson, verandering van quarkflavor), elektronenvangst, gamma-de-excitatie, inwendige conversie, en de complete keten U-238 → Pb-206.

Halveringstijdkinetiek: N(t) = N₀e^(−λt), activiteit in Bq en Ci, specifieke activiteit, gemiddelde levensduur, seculier evenwicht en echte vervalberekeningen.

Bindingsenergie: massadefectberekening (Δm × 931,5 MeV/u), de termen van de Bethe-Weizsäcker-formule en uitgewerkte voorbeelden voor Fe-56 en U-235.

De bindingsenergiecurve: waarom fusie energie vrijmaakt voor lichte kernen, waarom splijting energie vrijmaakt voor zware kernen, waarom ijzer het eindpunt is van stellaire nucleosynthese, en energiedichtheden in J/kg.

Splijtingsfysica: De samengestelde kern, energieverdeling van splijtingsproducten, neutronendoorsneden en de barn, de 1/v-wet, resonantievangst, de zes-factorformule, vertraagde neutronen, en kriticiteit.

Fusiefysica: de Coulomb-barrière, kwantumtunneling, Maxwell-Boltzmann-gemiddelden, afwegingen tussen D-T, D-D en p-B11, het Lawson-criterium, voortgang van tokamaks, en NIF-ontsteking.

E=mc²-berekeningen: volledige massaomzetting (1 g = 90 TJ), massadefect bij U-235-splijting (0,186 u = 173 MeV), en vergelijkingen van energiedichtheid.

Stralingseenheden: activiteit (Bq, Ci), geabsorbeerde dosis (Gy, rad), effectieve dosis (Sv, rem), stralingsweegfactoren en referentiedoses.

Eindreflectie

Je hebt zojuist de fysica behandeld die ten grondslag ligt aan kernenergieopwekking, nucleaire geneeskunde, stralingsveiligheid, astrofysica en non-proliferatie van wapens.

Dit is de basis vanwaaruit kerntechnici reactoren ontwerpen, stralingsfysici dosislimieten berekenen en beleidsmakers beslissingen nemen over de rol van kernenergie in decarbonisatie.