陽子、中性子、そして核図表

核子と核図表

陽子と中性子はまとめて核子と呼ばれます。これらは基本粒子ではなく:それぞれが3つのクォークから成り、グルーオンによって結びつけられています。しかし、核エネルギースケールでは点状の物体として扱います。

あらゆる原子核は(Z, N)の組で識別されます。核図表はすべての既知の原子核をプロットします:縦軸にZ、横軸にN。安定核は安定の谷と呼ばれる狭い帯を形成します。

重要な特徴:軽い核(Z < 20)では、安定比はおよそN/Z ≈ 1です。重い核では、安定核は陽子よりも中性子をかなり多く持ちます。鉛208(Z=82、N=126)はN/Z = 1.54です。この余分な中性子数が、陽子間のクーロン反発を部分的に打ち消します。

安定の谷から外れた原子核は不安定です:放射性です。粒子や放射線を放出して安定方向に崩壊します。

核半径:経験的にR ≈ R₀ × A^(1/3)、ここでR₀ ≈ 1.2 fmです。これは核密度がAによらずほぼ一定で、約2.3 × 10¹⁷ kg/m³であることを意味します:指ぬき一杯の核物質はおよそ5億トンの重さになります。

原子核の殻模型

マジックナンバーと核殻

原子内の電子は量子化された殻を占めます:パウリの排他原理により、それらは離散的なエネルギー準位に押し込められます。核子も同じ原理に従います。核の殻模型(マリア・ゲッパート・メイヤーとJ.ハンス・D.イエンセンによって開発、1963年ノーベル賞)は、核子が核ポテンシャル中の離散的なエネルギー準位を占める様子を記述します。

結果:特定の「マジックナンバー」の陽子または中性子をもつ核は、例外的に安定です:

マジックナンバー:2、8、20、28、50、82、126

マジックナンバーの証拠:

- ヘリウム4(Z=2、N=2):二重マジック、極めて安定:アルファ粒子そのもの

- 酸素16(Z=8、N=8):二重マジック

- 鉛208(Z=82、N=126):二重マジック、最も重い安定核

- スズ(Z=50)は10個の安定同位体をもつ:他のどの元素より多い

- マジックナンバーの殻が閉じた後、核子あたりの結合エネルギーは急激に減少する

殻模型は核スピンとパリティも予測します。占有された各核子軌道は特定の角運動量量子数jをもちます。全核スピンIはすべての核子スピンと軌道角運動量のベクトル和です。各軌道についてパリティπ = (−1)^ℓ。偶偶核(偶数Z、偶数N)は常に基底状態でI=0かつ正のパリティをもちます。

なぜマジックナンバーは特別なのか?

鉛208はZ=82(マジック)とN=126(マジック)です。これは最も重い完全に安定な核です:地質学的時間スケールでこれより重く、すべての崩壊様式に対して安定なものは存在しません。

ヘリウム4は二重マジックです(Z=2、N=2)。アルファ崩壊では、原子核がヘリウム4の原子核を放出します。これは偶然ではありません。

原子核を結びつける力

なぜ原子核は爆発しないのか

ウラン238の原子核を考えてみましょう:92個の陽子が半径約7.4 fmの球に詰め込まれています。それらの間の静電反発は膨大です:数百MeVのオーダーです。それでも原子核は安定しています。

何かがその反発に打ち勝たねばなりません。それが強い核力です:四つの基本的な力の中で最強です。

強い力の性質:

- 到達距離:極めて短い:〜1〜2 fm内でのみ有効。2 fmを超えると本質的にゼロに落ちる(湯川ポテンシャル:V(r) ∝ e^(−r/r₀)/r、ここでr₀ ≈ 1.5 fm)。

- 強さ:核内距離で電磁気力の約100倍強い

- 電荷独立性:p-p、p-n、n-nのペアに同等に作用する(アイソスピン対称性)

- 飽和性:各核子は近接する核子とのみ強く相互作用する:他のすべての核子とではない。これが、Aによらず核密度がほぼ一定である理由です。

- 近距離では強い力が、遠距離ではクーロン力が勝る:核内では強い力が支配的。陽子を加えるにつれて、クーロン反発(長距離力)が強い力(飽和する)よりも速く成長する。最終的に:Z=83以上のあたりで:核は不安定になる。

クォークレベルでの強い力

クォークから核子へ、原子核へ

基本レベルでは、強い力は量子色力学(QCD)で記述されます。クォークは色荷(赤、緑、青)をもち、グルーオンを交換して相互作用します。

各陽子 = 2個のアップクォーク + 1個のダウンクォーク(uud)。各中性子 = 1個のアップ + 2個のダウンクォーク(udd)。

クォーク間の力は質量ゼロのグルーオンによって運ばれますが、光子(電磁気力を運ぶ)とは異なり、グルーオン自身も色荷をもつので:互いに相互作用します。これがQCDを高度に非線形にし、解析的に解くことを極めて困難にします。

閉じ込め:自由なクォークは観測されません。2つのクォークを引き離すのに必要なエネルギーは距離とともに線形に増加し(ゴムバンドのように)、分離が起こる前にエネルギーが新しいクォーク反クォーク対を作り出します。クォークは常にハドロン(陽子のようなバリオン、または中間子)の中に閉じ込められています。

残留力としての核力:核子間の強い核力と呼ばれるものは、実際には残留色力です:色中性物体間の残った相互作用で、電気的に中性な分子間のファンデルワールス力に似ています。この残留力は主にパイ中間子交換(パイ中間子は最も軽い中間子、質量〜135 MeV/c²)によって媒介されます。パイ中間子の質量が到達距離を決めます:ℏc/m_π c² ≈ 1.4 fm。

飽和性と液滴模型のアナロジー

強い力は飽和します:各核子は近隣の核子とのみ相互作用し、核内の全核子と相互作用するわけではありません。これは、すべての粒子が他のすべての粒子と相互作用する重力や電磁気力とは大きく異なります。

飽和のため、核結合エネルギーは(すべての対が相互作用した場合のように)A(A-1)/2ではなく、おおよそAに比例して増加します(体積項)。

放射性崩壊の種類

なぜ原子核は崩壊するのか

不安定な原子核は、より低エネルギー状態に達するために崩壊します:核図表上の安定の谷に近づきます。放出されるエネルギー(Q値)は、親と生成物の質量差に等しく、E=mc²によって変換されます。

アルファ崩壊(α):原子核がヘリウム4の核(²⁴He:陽子2個、中性子2個)を放出します。結果:Zが2減少、Aが4減少。重い核(典型的にはZ > 82)で起こります。例:²³⁸U → ²³⁴Th + ⁴He、Q = 4.27 MeV。

ベータマイナス崩壊(β⁻):中性子が陽子に変換:n → p + e⁻ + ν̄_e(反ニュートリノ)。結果:Zが1増加、Aは不変。弱い力で媒介されます。N/Zが大きすぎる(中性子が多すぎる)ときに起こります。

ベータプラス崩壊(β⁺):陽子が中性子に変換:p → n + e⁺ + ν_e(陽電子 + ニュートリノ)。結果:Zが1減少、Aは不変。N/Zが小さすぎる(陽子が多すぎる)ときに起こります。Q > 2m_e c² = 1.022 MeVが必要です。

電子捕獲(EC):陽子が内殻電子を捕獲:p + e⁻ → n + ν_e。β⁺と同じ正味の結果ですが、陽電子は放出されません。Q < 1.022 MeVのとき、または核内での内殻電子密度が高い重い核ではβ⁺と競合します。

ガンマ崩壊(γ):アルファまたはベータ崩壊の後、娘核はしばしば励起状態にあります。ガンマ光子(高エネルギー電磁放射)を放出して脱励起します。ZとAは不変:エネルギーのみが変化します。これは原子のスペクトル線放射に類似していますが、MeVのエネルギーで起こります。

内部転換:ガンマ放出の代替手段。核の励起エネルギーが直接内殻電子に伝達され、その電子が放出されます。ガンマ放出と競合し、特に低エネルギー遷移と重い核で重要です。

量子トンネリングとアルファ崩壊

ガモフ因子:アルファ粒子はどう脱出するか

アルファ崩壊は量子力学的なパズルを提示します。原子核内では、アルファ粒子は引力的なポテンシャル井戸に座っています:強い力がそれを保持します。原子核のすぐ外側では、クーロン反発が引き継ぎ、ポテンシャル障壁を作ります。

古典的には、アルファ粒子は脱出できません:クーロン障壁(ウランでは〜30 MeVでピーク、一方アルファ粒子のQ値はわずか〜4 MeV)を越えるエネルギーが不足しています。それでもアルファ崩壊は起こります。

量子トンネリング:アルファ粒子は波動力学に従うため、その波動関数は障壁で急に止まりません。古典的に禁制された領域を指数関数的に減衰しながら通過します。反対側で粒子を見つけるゼロでない確率があります。

トンネル確率はガモフ因子Gによって特徴づけられます:

G = exp(−2γ)、ここでγ = (Z_d × Z_α × e²)/(ℏv_α) × [arccos(√(R/R_C)) − √(R/R_C × (1 − R/R_C))]

重要な依存性:より高エネルギーのアルファ粒子(より大きいQ値)ははるかに大きいトンネル確率をもつ → はるかに短い半減期。これがガイガー・ヌッタル則です:log(λ) ∝ −1/√Q、λは崩壊定数。

劇的な結果:Qを2倍にすると、半減期は何桁も変化します。ウラン238(Q=4.27 MeV)はt₁/₂ = 45億年。ポロニウム214(Q=7.83 MeV)はt₁/₂ = 164マイクロ秒。同じメカニズム、まったく異なる時間スケール:すべてガモフ因子で説明できます。

ガイガー・ヌッタル則

ウラン238のアルファ崩壊Q値:4.27 MeV、半減期:4.47 × 10⁹ 年。

ポロニウム212のアルファ崩壊Q値:8.95 MeV、半減期:0.3 × 10⁻⁶ 秒。

トリウム228のアルファ崩壊Q値:5.52 MeV、半減期:1.9 年。

ベータ崩壊と弱い力

原子核内の弱い力

ベータ崩壊はアルファ崩壊と根本的に異なります。事前形成されたクラスタや同じ意味でのトンネリングを伴いません。代わりにクォークのフレーバーが変わる過程で、弱い力を介します。

β⁻崩壊では:中性子内のダウンクォークがアップクォークに変換され、中性子が陽子になります。媒介者はWボソン(質量〜80 GeV/c²)です。Wボソンが非常に重いため、弱い力は極めて短い到達距離(〜10⁻¹⁸ m)をもち、本質的に遅いです。

ニュートリノ:ベータ崩壊は常にニュートリノ(または反ニュートリノ)を生成します。これは、連続的なベータスペクトルを説明するために、1930年にウォルフガング・パウリによって予測されました:電子だけが放出される場合、エネルギーと運動量の保存は各崩壊について固定された電子エネルギーを要求するでしょう。観測された連続スペクトルは、第三の粒子(ニュートリノ)がQ値の可変分を持ち去ることを証明しました。

フェルミのベータ崩壊理論:エンリコ・フェルミの1934年の理論は、ベータ崩壊を点相互作用として扱います(核スケールでは弱い力の到達距離は無視できる)。崩壊率はQ値の5乗に依存します:λ ∝ Q⁵。これは、Qが小さく増加するとベータ崩壊が劇的に加速することを意味します:ただしアルファ崩壊ほど劇的ではありません。

ガンマ崩壊の詳細:アルファまたはベータ崩壊の後、娘核は通常励起状態(ᴬ_Z X*と表記)にあります。原子核はエネルギー = E_excited − E_groundのガンマ光子を放出して脱励起します。遷移率は遷移の多重極性(E1、M1、E2など)に依存します:電気双極子遷移が最速(〜10⁻¹⁴ 秒)、一方高多重極性遷移は遅くなり得ます(分から年単位の寿命をもつ核異性体を形成)。テクネチウム99m(医用画像で使用)は6時間半減期の核異性体で、異性体遷移(ガンマ放出)によってTc-99に崩壊します。

ウラン238崩壊系列

U-238 → Pb-206:45億年にわたる14ステップ

重い核は安定核に達するまで連続的な崩壊の連鎖を経て崩壊します。U-238系列は、安定なPb-206に達するまでに8回のアルファ崩壊と6回のベータ崩壊を生み出します:

¹. ²³⁸U → ²³⁴Th + α (t₁/₂ = 4.47 Gy)

². ²³⁴Th → ²³⁴Pa + β⁻ (t₁/₂ = 24.1 日)

³. ²³⁴Pa → ²³⁴U + β⁻ (t₁/₂ = 1.17 分)

⁴. ²³⁴U → ²³⁰Th + α (t₁/₂ = 245,500 年)

⁵. ²³⁰Th → ²²⁶Ra + α (t₁/₂ = 75,400 年)

⁶. ²²⁶Ra → ²²²Rn + α (t₁/₂ = 1,600 年)

⁷. ²²²Rn → ²¹⁸Po + α (t₁/₂ = 3.82 日)

⁸. ²¹⁸Po → ²¹⁴Pb + α (t₁/₂ = 3.05 分)

⁹. ²¹⁴Pb → ²¹⁴Bi + β⁻ (t₁/₂ = 26.8 分)

¹⁰. ²¹⁴Bi → ²¹⁴Po + β⁻ (t₁/₂ = 19.7 分)

¹¹. ²¹⁴Po → ²¹⁰Pb + α (t₁/₂ = 164 μs)

¹². ²¹⁰Pb → ²¹⁰Bi + β⁻ (t₁/₂ = 22.3 年)

¹³. ²¹⁰Bi → ²¹⁰Po + β⁻ (t₁/₂ = 5.01 日)

¹⁴. ²¹⁰Po → ²⁰⁶Pb + α (t₁/₂ = 138 日)

最終生成物:²⁰⁶Pb(安定)

ラドン222:ステップ6〜7は希ガスのラドンを伴います。気体であるため、土壌から逃れて建物内に蓄積する可能性があります。ラドンは、米国で喫煙に次ぐ第2位の肺がんの原因です:ウランの自然な崩壊系列の直接の結果です。

永続平衡:古いウラン鉱床では、各中間体はウラン238と永続平衡に達します。平衡では、各崩壊生成物の放射能はU-238の放射能と等しくなります。これは、中間体の半減期がマイクロ秒から数千年にわたっていても、平衡ではすべての放射能が等しいことを意味します。

放射性崩壊の数学

N(t) = N₀ × e^(−λt)

放射性崩壊は純粋に統計的な過程です。各原子核は独立に崩壊し、単位時間あたりの確率λ(崩壊定数)が固定されています。これは一次速度論につながります:

N(t) = N₀ × e^(−λt)

ここでN₀は初期核数、N(t)は時間tでの残存核数です。

半減期:核の半数が崩壊する時間:t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0.693/λ

放射能:A = λN:1秒あたりの崩壊数。単位:ベクレル(Bq) = 1崩壊/秒。古い単位:キュリー(Ci) = 3.7 × 10¹⁰ Bq(ラジウム226を1グラムの放射能として定義)。

比放射能:単位質量あたりの放射能。純粋な同位体について:SA = λ × N_A / M、ここでN_Aはアボガドロ数、Mはモル質量です。短い半減期 → 高い比放射能。Po-210はt₁/₂ = 138日 → SA ≈ 1.7 × 10¹⁴ Bq/g = 4,500 Ci/g。ウラン238はt₁/₂ = 4.47 Gy → SA ≈ 12,400 Bq/g。

平均寿命:τ = 1/λ = t₁/₂/ln(2) ≈ 1.44 × t₁/₂。1平均寿命の後、数は初期値の1/e ≈ 36.8%に減少します。

n半減期後:N(n) = N₀/2ⁿ

永続平衡

速い娘核が遅い親核と平衡に達するとき

親核Pが娘核Dに崩壊する場合(D自身も崩壊する)を考えてください。親の半減期が娘の半減期よりはるかに長い場合(t_{P} >> t_{D})、娘は親と永続平衡に達します。

永続平衡では:λ_P × N_P = λ_D × N_D、または等価的に、A_P = A_D(放射能が等しい)。

物理的意味:娘核は親核によって、それが崩壊する速度と同じ速度で生成されます。娘核の集団は一定:連鎖は定常状態にあります。

平衡到達時間:およそ7 × t₁/₂(娘)。Ra-226(t₁/₂ = 1,600年)は約11,200年後にU-238(t₁/₂ = 45億年)と永続平衡に達します。

実用的な帰結:ウラン採掘では、鉱石はすべての娘核を永続平衡で含みます。鉱夫と粉砕工場の作業員は、U-238だけでなく、その全体の平衡崩壊系列に晒されます:アルファ放出ラドン、ポロニウム、鉛同位体を含み、すべてU-238と同じ放射能レベルです。

残存放射能の計算

研究用原子炉が核分裂生成物としてヨウ素131(t₁/₂ = 8.02日)を生成します。停止直後、サンプルにはI-131が3.7 × 10¹⁰ Bq(1 Ci)含まれています。

I-131は医学的に重要です:甲状腺に集積し、治療用(甲状腺がんの治療)と原子力事故からの放射線リスク(チェルノブイリと福島の放出はかなりのI-131を含んでいた)の両方で使用されます。

質量欠損とE=mc²

結合エネルギーはどこから来るのか?

原子核は自由な陽子と中性子の合計よりも軽い質量をもちます。これが質量欠損(Δm)で、核結合エネルギーの起源です。

式:B = Δm × c² = [Z × m_p + N × m_n − m(核)] × 931.5 MeV/u

例:鉄56(²⁵⁶Fe、最も結合の強い一般的な核)

- Z = 26陽子、N = 30中性子

- 26個の自由陽子の質量:26 × 1.007276 u = 26.189 u

- 30個の自由中性子の質量:30 × 1.008665 u = 30.260 u

- 自由核子の合計:56.449 u

- 測定された⁵⁶Fe核の質量:55.921 u

- 質量欠損:Δm = 56.449 − 55.921 = 0.528 u

- 結合エネルギー:B = 0.528 u × 931.5 MeV/u = 492 MeV

- 核子あたりの結合エネルギー:B/A = 492/56 = 8.79 MeV/核子

例:ウラン235

- Z = 92、N = 143、A = 235

- 自由核子の合計:92 × 1.007276 + 143 × 1.008665 = 236.908 u

- ²³⁵Uの測定原子質量:235.044 u(92の電子質量を引く:92 × 0.000549 u = 0.0505 u → 核質量 ≈ 234.994 u)

- 質量欠損:Δm ≈ 236.908 − 234.994 ≈ 1.914 u

- 結合エネルギー:1.914 × 931.5 ≈ 総計1,784 MeV = 7.59 MeV/核子

比較:⁵⁶Feは²³⁵Uよりも核子あたりの結合がより強い。これがウランの核分裂がエネルギーを放出する理由の物理です:生成物(バリウムやクリプトンなどの中質量核)はウランよりも核子あたりの結合がより強い。

結合エネルギー曲線

原子核物理学で最も重要なグラフ

核子あたりの結合エネルギー(B/A)を質量数Aに対してプロットすると、原子力エネルギーの全論理が明らかになります:

曲線の主要な特徴:

- A=1からA〜56への上昇:核が水素から鉄へと成長するにつれて、B/Aは増加します。軽い核を結合してより重い核にするとエネルギーが放出されます(核融合)。

- A=56-62近くのピーク:鉄56(8.79 MeV/核子)とニッケル62(8.80 MeV/核子)がピークに位置します。これらは最も安定な核です:恒星元素合成の宇宙の「灰」です。

- A=56からA=238への緩やかな下降:重い核は鉄よりも核子あたりの結合がより弱い。陽子を加えるごとにクーロン反発が蓄積するにつれて、核子あたりの結合エネルギーは減少します。重い核を中質量核に分割するとエネルギーが放出されます(核分裂)。

- 注目すべき凹凸:マジックナンバーが局所ピークを作る:ヘリウム4(7.07 MeV/核子)はその質量範囲の傾向の上に目立って位置しています。

U-235核分裂で放出されるエネルギー:

U-235はB/A ≈ 7.59 MeV/核子。典型的な核分裂生成物(例えばBa-141とKr-92)はB/A ≈ 8.4 MeV/核子。

放出エネルギー ≈ (8.4 − 7.59) × 235 ≈ 0.81 × 235 ≈ 核分裂あたり190 MeV

(さらに即発中性子の運動エネルギーとガンマ線から〜10 MeV、核分裂あたり総計〜200 MeV)

D-T核融合で放出されるエネルギー:

D (²H, B/A = 1.11 MeV) + T (³H, B/A = 2.83 MeV) → ⁴He (B/A = 7.07 MeV) + n

Q = [m(D) + m(T) − m(⁴He) − m(n)] × 931.5 MeV/u = 反応あたり17.6 MeV

D-T燃料1キログラムあたり:〜3.4 × 10¹⁴ J = 340 TJ/kg:対してガソリンは〜43 MJ/kg(約800万倍)

なぜ鉄が恒星元素合成の終点となるのか

恒星は、より軽い核をより重い核に融合してエネルギーを生成します:水素をヘリウムに、ヘリウムを炭素に、というように。各融合ステップは、生成物が反応物よりも核子あたりの結合がより強いためにエネルギーを放出します。

大質量星のコアが鉄に達したとき、融合は停止します。

核分裂のしくみ

核分裂:重い核を分割する

核分裂は、重い核(典型的にA > 230)が中性子を吸収し、強い力がクーロン反発に対して核を保持できなくなるほど変形したときに起こります。

核分裂プロセス:

1. 核が中性子を吸収する → ²³⁶U*(励起した複合核)になる

2. 核が振動する:液滴が変形する

3. 励起エネルギーが核分裂障壁(U-235 + 低速中性子で〜6 MeV)を超えると、ネックが細くなり、核が分裂する

4. 2つの核分裂片が飛び散る(Ba、Kr、Cs、I、など:典型的にA 〜 90と A 〜 140)

5. 即発中性子(平均2-3個)が10⁻¹⁴ 秒以内に放出される

6. 核分裂片はベータ崩壊系列を経る(中性子過剰のため):時間から年単位で

1回のU-235核分裂事象からのエネルギー分布(総計〜200 MeV):

- 核分裂片の運動エネルギー:〜168 MeV

- 即発中性子の運動エネルギー:〜5 MeV

- 即発ガンマ線:〜7 MeV

- 核分裂片からの遅発ベータ:〜8 MeV

- 核分裂片からの遅発ガンマ:〜7 MeV

- 反ニュートリノエネルギー(逃げる):〜12 MeV(回収不能)

原子炉で回収可能なエネルギー:核分裂あたり〜188 MeV

中性子断面積

断面積:中性子から見た原子核

断面積(σ)は、中性子と核の相互作用の確率を測定します。名前にもかかわらず、それは幾何学的な面積ではありません:相互作用の量子力学的確率を捉える有効面積です。

単位:バーン(b) = 10⁻²⁴ cm² = 10⁻²⁸ m²。(由来:マンハッタン計画中、物理学者はウラン核が断面積で予想外に大きいことを発見し、核は「納屋(barn)ほどの大きさ」だと言った。)

U-235の主要断面積:

- 核分裂(σ_f):熱エネルギー(0.025 eV)で〜580バーン

- 全吸収:熱エネルギーで〜680バーン

- 高速中性子核分裂:1 MeVで〜1-2バーン

1/v法則:熱中性子(低エネルギー)について、相互作用断面積は1/v(逆速度)、または等価的に1/√Eに比例します。遅い中性子は核近傍で過ごす時間が長く、相互作用確率が高くなります。

共鳴領域:熱(〜0.025 eV)と高速(〜1 MeV)エネルギーの間で、多くの核は断面積に劇的なピークを示します:複合核の特定の励起状態に対応します。U-238は1-1000 eV範囲に巨大な共鳴捕獲ピークをもち、これが熱中性子炉が中性子を共鳴領域より下に減速するために減速材を使う理由です。

原子炉設計への影響:熱中性子(減速材で減速:水、重水、黒鉛)はU-235で高速中性子の300倍高い核分裂確率をもちます。これがほとんどの原子炉が減速材を使う理由です。

連鎖反応と臨界

自己持続連鎖反応

各U-235核分裂は平均2.43個の即発中性子を放出します(νで表される)。自己持続連鎖反応のためには、それらの中性子のうち正確に1つが別の核分裂を引き起こさねばなりません。

増倍因子k:1世代の中性子数と前世代の中性子数の比。

- k < 1:臨界以下:反応は消える

- k = 1:臨界:定常出力

- k > 1:臨界超過:反応は指数関数的に成長する

6因子公式(熱中性子炉用):k_eff = η × f × p × ε × P_NL(熱) × P_NL(高速)

- η(エータ):燃料に吸収された中性子あたり生成される中性子数

- f:熱利用率(燃料に吸収される熱中性子の割合)

- p:共鳴避免確率(減速中に共鳴捕獲を避ける割合)

- ε(イプシロン):高速核分裂因子

- P_NL:漏れない確率

遅発中性子:原子炉制御に重要。U-235核分裂からの中性子の約0.65%は遅発:核分裂後0.05〜55秒後に放出されます。遅発中性子がなければ、原子炉の即発周期は〜10⁻⁴ 秒:機械式制御棒には速すぎます。遅発中性子があれば、有効即発周期は〜0.1 秒:制御可能です。

即発臨界:即発中性子だけ(遅発を無視)に基づいてk > 1の場合、原子炉は即発臨界になります。これは核兵器の状態です。原子炉は即発臨界に決して到達しないように設計されています。

なぜ熱中性子炉は減速材を必要とするのか

天然ウランは99.3%のU-238とわずか0.7%のU-235を含みます。U-238は1 eVから10 keVの範囲の中性子に対して巨大な共鳴吸収断面積をもちますが、熱中性子では核分裂しません。U-235は熱エネルギーで580バーンの核分裂断面積をもちます。

ほとんどの動力炉は、軽水を減速材兼冷却材として、3-5%濃縮ウラン(3-5% U-235)を使用します。

核融合の物理

クーロン障壁を克服する

核融合は、強い力が引き継ぐのに十分な距離まで2つの核を近づけることを必要とします:〜1 fm内まで。しかし両方の核は正に帯電しているため、互いに静電的に反発します。

クーロン障壁:電荷Z₁eとZ₂eをもつ2つの核について、核距離rでの静電位エネルギー:

V_C = k_e × Z₁ × Z₂ × e² / r

D-T核融合(Z₁=1、Z₂=1、r ≈ 1 fm)について:V_C ≈ 1.4 MeV

古典的には、少なくとも1.4 MeVの運動エネルギーをもつ核が必要です(温度〜10¹⁰ K)。しかしクーロン障壁を通る量子トンネリングがこの要件を緩和します:障壁よりかなり低いエネルギーでも、古典的な速度の〜10⁻¹⁰の割合で意味のあるトンネリングが起こります。

熱プラズマ:核融合炉では、核は単一エネルギーではありません。マクスウェル・ボルツマン分布に従います。反応率は断面積と速度の積のマクスウェル平均:<σv>です。この関数は反応によって異なる温度でピークになります。

最適温度:

- D-T (²H + ³H → ⁴He + n、Q = 17.6 MeV):〜70 keV(≈ 8億 K)で<σv>がピーク。実用的な点火閾値:〜10 keVのプラズマ温度(≈ 1億 K)

- D-D (²H + ²H → ³He + nまたは³H + p):〜500 keVでピーク:はるかに高い温度を必要とする

- D-³He (²H + ³He → ⁴He + p、Q = 18.3 MeV):〜200 keVでピーク:中性子なし、非常に魅力的だがより難しい

- p-¹¹B (陽子 + ホウ素11 → 3 ⁴He、Q = 8.7 MeV):中性子なし、〜10⁹ K必要:最も困難

なぜD-Tが最初か? D-Tは最も低い温度で最も高い<σv>をもちます:10 keVでD-Dの約100倍。それが、トリチウム増殖と中性子放射化管理の必要性にもかかわらず、現在のすべての核融合プログラム(ITER、NIF、TAEやコモンウェルス・フュージョンのような民間ベンチャー)がD-Tを使う理由です。

ローソン基準

核融合が消費するよりも多くのエネルギーを生産するとき

核融合プラズマが自己持続(点火)するためには、核融合によって生産されるエネルギーがプラズマからの損失エネルギーを超えなければなりません。これは1957年にジョン・ローソンによって導出されたローソン基準で定量化されます。

D-T核融合の点火には:n × τ_E > 10²⁰ m⁻³ s(T ≈ 20 keVで)が必要です

ここでnはプラズマ数密度、τ_Eはエネルギー閉じ込め時間(プラズマがエネルギーを保持する時間)です。

現代的な表現では三重積を使います:n × T × τ_E > 〜3 × 10²¹ m⁻³ · keV · s

トカマクの進歩(三重積):

- JET (1997): n×T×τ_E ≈ 10²¹ m⁻³·keV·s、Q ≈ 0.65(核融合エネルギー / 入力エネルギー)

- ITER (予測):Q ≈ 10(50 MWの入力から500 MWの核融合出力)

- DEMO (計画):Q > 25、正味の電力生産

慣性閉じ込め(NIF):磁気的にプラズマを閉じ込めるのではなく、NIFは192本のレーザービームでD-Tペレットを核融合条件に圧縮加熱します。ペレットは〜10⁻¹⁰ 秒で内向きに爆縮します:閉じ込め時間は爆縮時間です。NIFは2022年12月に点火(Q > 1)を達成し、史上初となりました。

エネルギーの課題:Q = 10でも、核融合発電所は核融合エネルギーを電気に変換し(熱効率〜40%)、プラズマ加熱のために電力を再循環しなければなりません。正味効率Q_wall ≈ Q × η − 1。経済的な電力生産には、Q > 〜25が必要です。

D-T対D-D対p-B11

3つの核融合反応を考えてください:

D-T:Q = 17.6 MeV、最適T ≈ 1億 K、エネルギーの高い中性子(14.1 MeV)を生成

D-D:Q ≈ 3.65 MeV(2チャネルの平均)、最適T ≈ 5億 K、中性子放出

p-B11:Q = 8.7 MeV、最適T ≈ 100億 K、完全に中性子なし(アルファ粒子のみ生成)

トリチウムは半減期12.3年で自然には存在しません:原子炉を取り囲むブランケット内のリチウムから増殖されなければなりません(⁶Li + n → ⁴He + T)。

数字でみるE=mc²

アインシュタインの方程式を具体的にする

E = mc²、ここでc = 2.998 × 10⁸ m/s、なのでc² = 8.988 × 10¹⁶ m²/s² = 8.988 × 10¹⁶ J/kg

完全な質量変換(仮想):

1グラムの物質が完全に変換されるとき:E = 0.001 kg × 8.988 × 10¹⁶ J/kg = 8.988 × 10¹³ J = 〜90 TJ

これは20キロトンの核兵器のエネルギーにおおよそ相当します(広島の爆弾は〜15 kt TNT ≈ 63 TJ)。

U-235核分裂での質量欠損:

U-235はBa-141 + Kr-92 + 3nを生成する核分裂をする(典型的な分裂)

前の質量:m(²³⁵U) + m(n) = 235.0439 u + 1.0087 u = 236.0526 u

後の質量:m(¹⁴¹Ba) + m(⁹²Kr) + 3 × m(n) = 140.9144 u + 91.9262 u + 3 × 1.0087 u = 235.8667 u

質量欠損:Δm = 236.0526 − 235.8667 = 0.1859 u

放出エネルギー:0.1859 u × 931.5 MeV/u = 173 MeV

(残りの〜27 MeVは、核分裂片のその後のベータ/ガンマ崩壊、反ニュートリノなどから来ます)

変換される質量の割合:0.1859 u / 236.0526 u = 0.079%:1%未満の質量がエネルギーに変換される

比較のために:化学燃焼:

1個の炭素原子(12 u)を燃やす:C + O₂ → CO₂、ΔH ≈ −393 kJ/mol = 分子あたり−4.1 eV

質量欠損:4.1 eV / (931.5 × 10⁶ eV/u) = 原子あたり4.4 × 10⁻⁹ u:完全に測定不可能

変換される質量の割合:〜3.6 × 10⁻¹⁰ = 0.000000036%:核分裂より20万倍小さい

エネルギー密度比較:

- ガソリン:〜43 MJ/kg

- U-235核分裂:〜8.2 × 10¹³ J/kg = 82,000,000 MJ/kg

- D-T核融合:〜3.4 × 10¹⁴ J/kg = 340,000,000 MJ/kg

- 完全な対消滅:9 × 10¹⁶ J/kg = 90,000,000,000 MJ/kg

質量欠損を計算する

原子力発電所が33%の熱効率(加圧水型炉の典型)で1,000 MWの電気出力で運転されています。1年間の運転を使ってこの電力を供給します。

1年 = 3.156 × 10⁷ 秒

熱出力 = 1,000 MW / 0.33 = 〜3,030 MW熱

年間生産エネルギー = 3,030 × 10⁶ W × 3.156 × 10⁷ s = 9.56 × 10¹⁶ J熱

ヒント:1 u = 931.5 MeV/c²、1 MeV = 1.602 × 10⁻¹³ J、1 u = 1.66054 × 10⁻²⁷ kg

放射能と線量の単位

完全な放射線単位リファレンス

原子力技術者と保健物理学者は特定の単位群を使います。各単位がどの量を測定するか、そしていつどの単位を使うかを理解することが必須です。

放射能(線源強度):

- ベクレル(Bq):1 Bq = 1秒あたり1放射性崩壊。SI単位。

- キュリー(Ci):1 Ci = 3.7 × 10¹⁰ Bq。1グラムのRa-226の放射能として定義。米国の核医学では今でも広く使われている。1 mCi = 3.7 × 10⁷ Bq。

放射能は線源強度を伝えます:1秒あたりの崩壊数:しかし生物学的影響については何も語りません。

被曝(空気中の電離):

- レントゲン(R):乾燥空気の1キログラムあたり2.58 × 10⁻⁴クーロンのイオン電荷を生成するX線またはガンマ線の量。今ではほとんどSI単位に置き換えられているが、古い線量測定文献では今でも使われている。

吸収線量(組織に堆積したエネルギー):

- グレイ(Gy):1 Gy = 組織1キログラムあたり1ジュールのエネルギー堆積。SI単位。

- ラド:1 rad = 0.01 Gy = 10 mGy。古い単位(放射線吸収線量)。

吸収線量は堆積したエネルギーを伝えますが、異なる種類の放射線は同じエネルギー堆積に対して異なる生物学的損傷を引き起こします。

実効線量(生物学的影響):

- シーベルト(Sv):実効線量 = 吸収線量 × 放射線荷重係数(w_R)。SI単位。

- レム:1 rem = 0.01 Sv = 10 mSv。(レントゲン等価マン)古い単位。

放射線荷重係数(w_R):

- ガンマ線、X線、ベータ:w_R = 1(1 Gy = 1 Sv)

- 中性子(1 MeV):w_R = 20

- アルファ粒子:w_R = 20

- なので1 Gyのアルファ放射線 = 20 Svの生物学的影響:ガンマよりジュールあたり20倍の損傷

線量率と積算線量:

線量率(Sv/時またはmSv/時)はエネルギー堆積の瞬時の率。積算線量(Sv)は時間にわたって蓄積された総量。

線量率 × 時間 = 積算線量。しかし生物学的効果は率と総量の両方に依存する:急性高線量率は放射線症を引き起こす;同じ総線量を年単位で広げると効果は低くなる。

参照線量:

- 年間バックグラウンド放射線(米国平均):〜3.1 mSv/年

- 胸部X線:〜0.1 mSv

- CTスキャン(腹部):〜8 mSv

- 職業限度(米国の原子力作業員):50 mSv/年

- 急性放射線症閾値:〜1 Sv全身急性線量

- LD50/30(治療なしで30日以内に集団の50%に致命的な線量):〜4-5 Sv急性全身

放射線単位の応用

核医学の患者が骨スキャンのためにTc-99m(テクネチウム99m)注射を受けます。投与放射能は20 mCiです。

Tc-99mはガンマ放出のみで崩壊します(E_γ = 140 keV)、t₁/₂ = 6.0時間。

投与された放射能のおよそ30%が骨に局在し、70%は24時間以内に腎臓によって除去されます。

20 mCi Tc-99m骨スキャンによる患者の実効線量はおよそ4.0 mSv(線量測定計算から)です。

世界の中の原子核物理学

この物理が現れる場所

現在運転中の原子炉の種類:

- 加圧水型炉(PWR):世界の原子力容量の〜70%。H₂Oを減速材兼冷却材、155バールの圧力、315°Cの冷却材温度、3-5%濃縮UO₂燃料。

- 沸騰水型炉(BWR):H₂O減速材、炉内で75バールで沸騰、単一ループ(冷却材 = 蒸気が直接タービンを駆動)。よりコンパクト、わずかにシンプル。

- CANDU:D₂O減速材兼冷却材、天然ウラン燃料、オンライン燃料交換可能。

- RBMK(チェルノブイリ型):黒鉛減速材、軽水冷却材。正のボイド係数:冷却材が沸騰すると反応度が増加する(低出力で不安定)。現在退役中。

- 高速炉(SFRなど):減速材なし。高速中性子。U-238からプルトニウムを増殖できる(増殖炉)、長寿命のアクチニド廃棄物を燃やせる。ナトリウム冷却材(高い熱伝導率、減速なし)。ロシアのBN-800が商業運転中。

医学物理学:

- PETスキャン:陽電子放出体(¹⁸F、t₁/₂ = 110分)がe⁺e⁻消滅から背中合わせの511 keVガンマ線を生成:同時計数で代謝を画像化する。

- 放射線治療:線形加速器が6-18 MV X線を生成。陽子線治療はブラッグピーク物理学を使用:陽子は特定の深さで最大線量を堆積し、周囲の組織を温存する。

- 中性子捕獲療法(BNCT):熱中性子が腫瘍細胞内の¹⁰Bに捕獲される → ¹¹B* → ⁴He + ⁷Li + ガンマ、腫瘍細胞自体に線量を堆積する。

核兵器物理学:

- 核分裂爆弾:超臨界質量がマイクロ秒単位で組み立てられる。爆縮設計(トリニティ、ファットマン)またはガン型(リトルボーイ)。収量はキロトン-メガトンTNT等価。

- 熱核兵器:核分裂のプライマリーが核融合のセカンダリー(D-TまたはLi-D燃料)を圧縮加熱する。収量は最大〜50 Mt(ツァーリ・ボンバ)まで。核分裂はトリガー;核融合がほとんどの収量を提供する。

地球物理学:

- 放射年代測定:¹⁴C(t₁/₂ = 5,730年)は最近の有機材料用;U-Pb系は最大45億年の岩石用;K-Arは火成岩用。すべてN(t) = N₀e^(−λt)に基づいている。

- 地球の熱:地球内部から〜45 TWの熱が流れる。約半分は原始的(形成からのもの);半分は長寿命放射性核種(²³⁸U、²³²Th、⁴⁰K)の崩壊から:惑星は今でも放射性崩壊のために暖かい。

最終総合

あなたは今、次のことをカバーしました:核構造と殻模型、強い力と弱い力、量子力学を使ったアルファ/ベータ/ガンマ/EC崩壊、半減期速度論と永続平衡、結合エネルギーと曲線、核分裂断面積と連鎖反応、核融合プラズマとローソン基準、E=mc²計算、放射線単位。

あなたが学んだこと

原子核物理学101:完了

あなたは導入的な原子力工学物理の全範囲をカバーしました:

核構造:核子、核図表、殻模型、マジックナンバー(2、8、20、28、50、82、126)、核スピンとパリティ、そしてR₀A^(1/3)としてスケールする核半径。

強い力:短距離湯川相互作用、飽和性、クォークレベルでのグルーオン交換、パイ中間子交換による残留力、そして飽和性の帰結としての液滴模型。

放射性崩壊:アルファ(量子トンネリング、ガモフ因子、ガイガー・ヌッタル)、ベータマイナスとプラス(弱い力、Wボソン、クォークフレーバー変化)、電子捕獲、ガンマ脱励起、内部転換、そして完全なU-238 → Pb-206系列。

半減期速度論:N(t) = N₀e^(−λt)、BqとCiでの放射能、比放射能、平均寿命、永続平衡、そして実際の崩壊計算。

結合エネルギー:質量欠損計算(Δm × 931.5 MeV/u)、ベーテ・ヴァイツゼッカー公式の項、Fe-56とU-235の例題。

結合エネルギー曲線:なぜ核融合が軽い核でエネルギーを放出するのか、なぜ核分裂が重い核でエネルギーを放出するのか、なぜ鉄が恒星元素合成の終点なのか、そしてJ/kgでのエネルギー密度。

核分裂物理学:複合核、核分裂生成物のエネルギー分布、中性子断面積とバーン、1/v法則、共鳴捕獲、6因子公式、遅発中性子、臨界。

核融合物理学:クーロン障壁、量子トンネリング、マクスウェル・ボルツマン平均、D-T対D-D対p-B11のトレードオフ、ローソン基準、トカマクの進歩、NIFの点火。

E=mc²計算:完全な質量変換(1 g = 90 TJ)、U-235核分裂での質量欠損(0.186 u = 173 MeV)、エネルギー密度比較。

放射線単位:放射能(Bq、Ci)、吸収線量(Gy、rad)、実効線量(Sv、rem)、放射線荷重係数、参照線量。

最終振り返り

あなたは原子力発電、核医学、放射線安全、宇宙物理学、兵器拡散防止の基礎となる物理を扱いました。

これは、原子力技術者が原子炉を設計し、保健物理学者が線量限度を計算し、政策立案者が脱炭素化における原子力エネルギーの役割について決定を下す基盤です。