质子、中子与核图谱

核子与核素图

质子和中子统称为核子。它们并非基本粒子：每个核子由三个夸克通过胶子结合而成。但在核能尺度上，我们将其视为点状物体。

每一个可能的原子核都由其 (Z, N) 对来标识。核素图绘制出所有已知的原子核：Z 为纵轴，N 为横轴。稳定核形成一条狭窄的带状区域，称为稳定谷。

关键特征：对于轻核（Z < 20），稳定的比值约为 N/Z ≈ 1。对于重核，稳定核的中子数明显多于质子数。铅-208（Z=82，N=126）的 N/Z = 1.54。这种过剩的中子数部分抵消了质子之间的库仑斥力。

远离稳定谷的原子核是不稳定的：它们具有放射性。它们通过发射粒子或辐射向稳定方向衰变。

核半径：经验上，R ≈ R₀ × A^(1/3)，其中 R₀ ≈ 1.2 fm。这意味着核密度大致恒定，约为 2.3 × 10¹⁷ kg/m³：一顶针的核物质重量约为 5 亿吨。

核壳层模型

幻数与核壳层

原子中的电子占据量子化的壳层：泡利不相容原理迫使它们处于不同的能级。核子遵循相同的原理。核壳层模型（由 Maria Goeppert Mayer 和 J. Hans D. Jensen 提出，1963 年诺贝尔奖）描述了核子在核势中填充离散能级的情况。

结果是：具有某些"幻数"质子或中子数的原子核异常稳定：

幻数：2、8、20、28、50、82、126

幻数的证据：

- 氦-4（Z=2，N=2）：双幻核，极其稳定：它就是阿尔法粒子

- 氧-16（Z=8，N=8）：双幻核

- 铅-208（Z=82，N=126）：双幻核，最重的稳定原子核

- 锡（Z=50）有 10 种稳定同位素：比任何其他元素都多

- 幻数壳层闭合后，每核子结合能急剧下降

壳层模型还预测核自旋和宇称。每个被占据的核子轨道都有特定的角动量量子数 j。总核自旋 I 是所有核子自旋和轨道角动量的矢量和。宇称 π = (−1)^ℓ 对应每个轨道。偶偶核（偶数 Z，偶数 N）的基态自旋始终为 I=0 且宇称为正。

为什么幻数特别？

铅-208 的 Z=82（幻数）和 N=126（幻数）。它是最重的完全稳定的原子核：在地质时间尺度上，没有更重的原子核能对所有衰变模式保持稳定。

氦-4 是双幻核（Z=2，N=2）。在阿尔法衰变中，原子核会射出一个氦-4 核。这并非巧合。

维系原子核的力

为什么原子核不会爆炸

考虑一个铀-238原子核:92个质子被压缩进半径约7.4 fm的球体内。它们之间的静电排斥极其巨大,达到数百MeV量级。然而原子核却是稳定的。

必定有某种东西克服了这种排斥。那就是强核力:四种基本力中最强的一种。

强力的特性:

- 作用范围:极短,仅在约1–2 fm内有效。超过2 fm,它基本降为零(汤川势:V(r) ∝ e^(−r/r₀)/r,其中r₀ ≈ 1.5 fm)。

- 强度:在核距离上,比电磁力强约100倍

- 电荷无关性:对p-p、p-n和n-n配对的作用相同(同位旋对称性)

- 饱和性:每个核子只与其紧邻的核子发生强相互作用,而非与所有其他核子作用。这正是核密度无论A为多少都大致恒定的原因。

- 近程占优,库仑远程占优:在原子核内部,强力占主导。随着质子增加,库仑排斥(长程作用)的增长比强力(已饱和)更快。最终:约在Z=83以上时,原子核变得不稳定。

夸克层面的强力

从夸克到核子再到原子核

在基本层面,强力由量子色动力学(QCD)描述。夸克带有色荷(红、绿、蓝),并通过交换胶子进行相互作用。

每个质子 = 两个上夸克 + 一个下夸克(uud)。每个中子 = 一个上夸克 + 两个下夸克(udd)。

夸克之间的力由无质量的胶子传递,但与光子(传递电磁力)不同,胶子自身也携带色荷:因此它们彼此之间也会相互作用。这使得QCD高度非线性,并极难通过解析方法求解。

禁闭:从未观测到自由夸克。分离两个夸克所需的能量随距离线性增长(就像橡皮筋),因此在分离发生之前,能量便已生成一对新的夸克-反夸克。夸克始终禁闭在强子内部(如质子等重子,或介子)。

作为残余力的核力:我们所称的核子间强核力,实际上是一种残余色力:即色中性物体之间残留的相互作用,类比于电中性分子之间的范德华力。这种残余力主要由π介子交换传递(π介子是最轻的介子,质量约135 MeV/c²)。π介子的质量决定了作用范围:ℏc/m_π c² ≈ 1.4 fm。

饱和性与液滴类比

强力具有饱和性：每个核子只与其相邻核子相互作用，而非与核内所有核子相互作用。这与引力或电磁力截然不同，后者中每个粒子都与其他每个粒子相互作用。

由于饱和性，核结合能大致与 A 成正比（体积项）增长，而非与 A(A-1)/2 成正比（如果每对核子都相互作用，则会是后者）。

放射性衰变的类型

核为何衰变

不稳定的核会衰变以达到更低的能量状态：更接近核素图上的稳定谷。释放的能量（Q 值）等于母核与产物之间的质量差，通过 E=mc² 转换。

α 衰变：核发射一个氦-4 核（²⁴He：2 个质子、2 个中子）。结果：Z 减少 2，A 减少 4。通常发生在重核中（Z > 82）。例如：²³⁸U → ²³⁴Th + ⁴He，Q = 4.27 MeV。

β⁻ 衰变：一个中子转化为一个质子：n → p + e⁻ + ν̄_e（反中微子）。结果：Z 增加 1，A 不变。由弱力介导。发生在 N/Z 比过高时（中子过多）。

β⁺ 衰变：一个质子转化为一个中子：p → n + e⁺ + ν_e（正电子 + 中微子）。结果：Z 减少 1，A 不变。发生在 N/Z 比过低时（质子过多）。要求 Q > 2m_e c² = 1.022 MeV。

电子俘获 (EC)：一个质子俘获一个内层电子：p + e⁻ → n + ν_e。净结果与 β⁺ 相同，但不发射正电子。当 Q < 1.022 MeV 时，或对于核处内层电子密度较高的重核，会与 β⁺ 衰变竞争。

γ 衰变：在 α 或 β 衰变之后，子核常处于激发态。它通过发射一个伽马光子（高能电磁辐射）退激发。Z 和 A 不变：仅能量改变。这类似于原子谱线发射，但能量在 MeV 量级。

内转换：γ 发射的替代过程。核激发能直接转移给一个内层电子，电子被弹出。与 γ 发射相互竞争，尤其在低能跃迁和重核中显著。

量子隧穿与α衰变

伽莫夫因子：α粒子如何逃逸

α衰变呈现一个量子力学难题。在原子核内部，α粒子位于一个吸引势阱中：强相互作用力将其束缚住。在原子核外部，库仑斥力占主导，形成一个势垒。

按经典物理，α粒子无法逃逸：它没有足够的能量越过库仑势垒（铀的势垒峰值约为30 MeV，而α粒子的Q值仅约4 MeV）。然而α衰变确实发生了。

量子隧穿：由于α粒子遵循波动力学，其波函数不会在势垒处突然停止。它在经典禁区内呈指数衰减。在势垒另一侧找到该粒子的概率不为零。

隧穿概率由伽莫夫因子G表征：

G = exp(−2γ) 其中 γ = (Z_d × Z_α × e²)/(ℏv_α) × [arccos(√(R/R_C)) − √(R/R_C × (1 − R/R_C))]

关键依赖关系：能量更高的α粒子（更大的Q值）具有大得多的隧穿概率 → 半衰期短得多。这就是盖革-努塔尔定律：log(λ) ∝ −1/√Q，其中λ为衰变常数。

戏剧性后果：将Q改变2倍会使半衰期改变许多数量级。铀-238（Q=4.27 MeV）的t₁/₂ = 45亿年。钋-214（Q=7.83 MeV）的t₁/₂ = 164微秒。同样的机制，时间尺度却天差地别：完全由伽莫夫因子来解释。

盖革-努塔尔定律

铀-238 α衰变Q值：4.27 MeV，半衰期：4.47 × 10⁹年。

钋-212 α衰变Q值：8.95 MeV，半衰期：0.3 × 10⁻⁶秒。

钍-228 α衰变Q值：5.52 MeV，半衰期：1.9年。

β衰变与弱力

原子核中的弱力

β衰变与α衰变在本质上不同。它不涉及预先形成的团簇,也不涉及相同意义上的隧穿。相反,夸克味通过弱力发生改变。

在β⁻衰变中:中子内的下夸克转变为上夸克,使中子变为质子。介导粒子是W⁻玻色子(质量约80 GeV/c²)。由于W玻色子质量极大,弱力的作用范围极短(约10⁻¹⁸ m),且本质上速度缓慢。

中微子:β衰变总会产生一个中微子(或反中微子)。沃尔夫冈·泡利于1930年预言了它的存在,以解释连续的β能谱:如果只发射一个电子,能量和动量守恒将要求每次衰变的电子能量都是固定的。观测到的连续能谱证明了存在第三种粒子(中微子),它带走了Q值的可变部分。

费米的β衰变理论:恩里科·费米1934年的理论将β衰变视为点相互作用(在核尺度下弱力的作用范围可忽略不计)。衰变率与Q值的五次方成正比:λ ∝ Q⁵。这意味着Q值的微小增加会显著加快β衰变:尽管不像α衰变那样剧烈。

γ衰变细节:在α或β衰变之后,子核通常处于激发态(标记为ᴬ_Z X*)。原子核通过发射一个能量等于E_激发 − E_基态的γ光子退激发。跃迁速率取决于跃迁的多极性(E1、M1、E2等):电偶极跃迁最快(约10⁻¹⁴秒),而高多极性跃迁可能很慢(形成寿命从分钟到数年的同核异能素)。锝-99m(用于医学成像)是一种核同核异能素,半衰期为6小时,通过同核异能跃迁(γ辐射)衰变为Tc-99。

铀-238衰变链

U-238 → Pb-206:历经45亿年的14个步骤

重核通过一系列连续衰变,直至到达稳定核为止。U-238链在到达稳定的Pb-206之前,产生8次α衰变和6次β衰变:

¹. ²³⁸U → ²³⁴Th + α(t₁/₂ = 4.47 Gy)

². ²³⁴Th → ²³⁴Pa + β⁻(t₁/₂ = 24.1 天)

³. ²³⁴Pa → ²³⁴U + β⁻(t₁/₂ = 1.17 分钟)

⁴. ²³⁴U → ²³⁰Th + α(t₁/₂ = 245,500 年)

⁵. ²³⁰Th → ²²⁶Ra + α(t₁/₂ = 75,400 年)

⁶. ²²⁶Ra → ²²²Rn + α(t₁/₂ = 1,600 年)

⁷. ²²²Rn → ²¹⁸Po + α(t₁/₂ = 3.82 天)

⁸. ²¹⁸Po → ²¹⁴Pb + α(t₁/₂ = 3.05 分钟)

⁹. ²¹⁴Pb → ²¹⁴Bi + β⁻(t₁/₂ = 26.8 分钟)

¹⁰. ²¹⁴Bi → ²¹⁴Po + β⁻(t₁/₂ = 19.7 分钟)

¹¹. ²¹⁴Po → ²¹⁰Pb + α (t₁/₂ = 164 μs)

¹². ²¹⁰Pb → ²¹⁰Bi + β⁻ (t₁/₂ = 22.3 年)

¹³. ²¹⁰Bi → ²¹⁰Po + β⁻ (t₁/₂ = 5.01 天)

¹⁴. ²¹⁰Po → ²⁰⁶Pb + α (t₁/₂ = 138 天)

最终产物：²⁰⁶Pb（稳定）

氡-222：第 6–7 步涉及氡，一种惰性气体。由于它是气体，可以从土壤中逸出并在建筑物内积聚。氡是美国仅次于吸烟的第二大肺癌诱因：这是铀自然衰变链的直接后果。

长期平衡：在古老的铀矿矿床中，每种中间产物都与铀-238 达到长期平衡。在平衡状态下，每种衰变产物的活度等于 U-238 的活度。这意味着尽管中间产物的半衰期从微秒到数千年不等，但它们在平衡时的活度都相等。

放射性衰变的数学

N(t) = N₀ × e^(−λt)

放射性衰变是一个纯粹的统计过程。每个原子核独立衰变，每单位时间具有固定的概率 λ（衰变常数）。这导致一阶动力学：

N(t) = N₀ × e^(−λt)

其中 N₀ 是初始原子核数量，N(t) 是时间 t 时剩余的数量。

半衰期：一半原子核衰变所需的时间：t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0.693/λ

活度：A = λN：每秒衰变次数。单位：贝可勒尔 (Bq) = 1 次衰变/秒。旧单位：居里 (Ci) = 3.7 × 10¹⁰ Bq（定义为 1 克镭-226 的活度）。

比活度：单位质量的活度。对于纯同位素：SA = λ × N_A / M，其中 N_A 是阿伏伽德罗常数，M 是摩尔质量。半衰期短 → 比活度高。Po-210 的 t₁/₂ = 138 天 → SA ≈ 1.7 × 10¹⁴ Bq/g = 4,500 Ci/g。铀-238 的 t₁/₂ = 4.47 Gy → SA ≈ 12,400 Bq/g。

平均寿命：τ = 1/λ = t₁/₂/ln(2) ≈ 1.44 × t₁/₂。经过一个平均寿命后，数量减少到初始值的 1/e ≈ 36.8%。

经过 n 个半衰期后：N(n) = N₀/2ⁿ

长期平衡

当快速衰变的子核与慢速衰变的母核达到平衡

考虑母核 P 衰变为子核 D（子核本身也会衰变）。如果母核的半衰期远长于子核的半衰期（t_{P} >> t_{D}），子核就会与母核达到长期平衡。

在长期平衡时：λ_P × N_P = λ_D × N_D，或等价地，A_P = A_D（活度相等）。

物理意义：子核由母核产生的速率与其衰变的速率相同。子核数量保持恒定：衰变链处于稳态。

达到平衡的时间：约为 7 × t₁/₂（子核）。Ra-226（t₁/₂ = 1,600 年）在约 11,200 年后与 U-238（t₁/₂ = 44.7 亿年）达到长期平衡。

实际后果：在铀矿开采中，矿石含有处于长期平衡的所有子核。矿工与选矿厂工人不仅暴露于 U-238，还暴露于其整条平衡衰变链：包括发射 α 粒子的氡、钋与铅同位素，活度水平与 U-238 相同。

计算剩余活度

一座研究堆产生碘-131（t₁/₂ = 8.02 天）作为裂变产物。停堆后立即取样，样品含有 3.7 × 10¹⁰ Bq（1 Ci）的 I-131。

I-131 在医学上具有重要意义：它会在甲状腺中富集，既用于治疗（治疗甲状腺癌），也是核事故中的辐射危害（切尔诺贝利与福岛事件均释放了大量 I-131）。

质量亏损与 E=mc²

结合能从何而来？

原子核的质量小于其自由质子与中子的质量之和。这就是质量亏损（Δm），也是核结合能的来源。

公式：B = Δm × c² = [Z × m_p + N × m_n − m(原子核)] × 931.5 MeV/u

示例：铁-56（²⁵⁶Fe，结合最紧密的常见原子核）

- Z = 26 个质子，N = 30 个中子

- 26 个自由质子的质量：26 × 1.007276 u = 26.189 u

- 30 个自由中子的质量：30 × 1.008665 u = 30.260 u

- 自由核子总和：56.449 u

- ⁵⁶Fe 原子核的实测质量：55.921 u

- 质量亏损：Δm = 56.449 − 55.921 = 0.528 u

- 结合能：B = 0.528 u × 931.5 MeV/u = 492 MeV

- 每核子结合能：B/A = 492/56 = 8.79 MeV/核子

示例：铀-235

- Z = 92，N = 143，A = 235

- 自由核子总和：92 × 1.007276 + 143 × 1.008665 = 236.908 u

- ²³⁵U 的实测原子质量：235.044 u（减去 92 个电子质量：92 × 0.000549 u = 0.0505 u → 核质量 ≈ 234.994 u）

- 质量亏损：Δm ≈ 236.908 − 234.994 ≈ 1.914 u

- 结合能：1.914 × 931.5 ≈ 总计 1,784 MeV = 7.59 MeV/核子

比较：⁵⁶Fe 每核子的结合能比 ²³⁵U 更紧密。这正是铀裂变释放能量背后的物理原理：裂变产物（如钡和氪等中等质量原子核）每核子的结合能比铀更紧密。

结合能曲线

核物理中最重要的图

每核子结合能 (B/A) 相对于质量数 A 的曲线揭示了核能的全部逻辑：

曲线的关键特征：

- 从 A=1 到 A~56 的上升段：当原子核从氢增长到铁时，B/A 随之增加。将轻核结合成较重核会释放能量（聚变）。

- A=56-62 附近的峰值：铁-56（8.79 MeV/核子）与镍-62（8.80 MeV/核子）位于峰顶。这些是最稳定的原子核：宇宙中恒星核合成留下的"灰烬"。

- 从 A=56 到 A=238 的渐降段：重核每核子的结合程度不如铁紧密。随着每增加一个质子，库仑斥力不断累积，每核子结合能逐渐下降。将重核分裂成中等质量的核会释放能量（裂变）。

- 显著的隆起：幻数会形成局部峰值：氦-4（7.07 MeV/核子）在其质量范围内明显高于整体趋势。

U-235 裂变释放的能量：

U-235 的 B/A ≈ 7.59 MeV/核子。典型裂变产物（例如 Ba-141 与 Kr-92）的 B/A ≈ 8.4 MeV/核子。

释放的能量 ≈ (8.4 − 7.59) × 235 ≈ 0.81 × 235 ≈ 每次裂变 190 MeV

（加上瞬发中子动能与伽马射线的 ~10 MeV，每次裂变总计 ~200 MeV）

D-T 聚变释放的能量：

D (²H, B/A = 1.11 MeV) + T (³H, B/A = 2.83 MeV) → ⁴He (B/A = 7.07 MeV) + n

Q = [m(D) + m(T) − m(⁴He) − m(n)] × 931.5 MeV/u = 每次反应 17.6 MeV

每千克 D-T 燃料：~3.4 × 10¹⁴ J = 340 TJ/kg：相比之下汽油约为 43 MJ/kg（约 800 万倍）

为何铁标志着恒星核合成的终点

恒星通过将较轻的核聚变为较重的核来产生能量：氢聚变为氦，氦聚变为碳，依此类推。每一步聚变都会释放能量，因为产物每核子的结合程度比反应物更紧密。

当大质量恒星的核心达到铁时，聚变就停止了。

裂变如何发生

核裂变：分裂重原子核

当一个重原子核（通常 A > 230）吸收一个中子，并发生严重形变，以至于强力不再能够抵抗库仑斥力将其束缚在一起时，就会发生裂变。

裂变过程：

1. 原子核吸收一个中子 → 变为 ²³⁶U*（受激复合核）

2. 原子核振荡：液滴发生形变

3. 如果激发能超过裂变势垒（U-235 + 慢中子约为 6 MeV），颈部变细，原子核分裂

4. 两个裂变碎片飞散开（Ba、Kr、Cs、I 等：通常 A ~ 90 和 A ~ 140）

5. 瞬发中子（平均 2-3 个）在 10⁻¹⁴ 秒内被发射出来

6. 碎片经历β衰变链（它们富含中子），持续数小时到数年

一次 U-235 裂变事件的能量分布（总计约 200 MeV）：

- 裂变碎片的动能：约 168 MeV

- 瞬发中子动能：约 5 MeV

- 瞬发伽马射线：约 7 MeV

- 碎片的缓发β衰变：约 8 MeV

- 来自碎片的延迟伽马射线：约 7 MeV

- 反中微子能量（逃逸）：约 12 MeV（不可回收）

反应堆中可回收的能量：每次裂变约 188 MeV

中子截面

截面：中子如何"看见"原子核

截面（σ）测量中子与原子核相互作用的概率。尽管名为截面，它并非几何面积：它是一个有效面积，捕捉相互作用的量子力学概率。

单位：靶恩（b）= 10⁻²⁴ cm² = 10⁻²⁸ m²。（来源：曼哈顿计划期间，物理学家发现铀核的截面大得出乎意料，说原子核'像谷仓一样大'。）

U-235 的关键截面：

- 裂变（σ_f）：在热能（0.025 eV）下约 580 靶恩

- 总吸收：在热能下约 680 靶恩

- 快中子裂变：在 1 MeV 时约 1-2 靶恩

1/v 定律：对于热中子（低能量），相互作用截面按 1/v（速度倒数）缩放，或等价地按 1/√E 缩放。较慢的中子在原子核附近停留的时间更长，相互作用概率更高。

共振区域：在热能（约 0.025 eV）与快中子（约 1 MeV）之间，许多原子核在截面中显示出剧烈的峰值，称为共振：对应于复合核的特定激发态。U-238 在 1-1000 eV 范围内具有巨大的共振俘获峰，这就是热中子反应堆使用慢化剂将中子能量降至共振区域以下的原因。

对反应堆设计的影响：热中子（被慢化剂减速：水、重水、石墨）在 U-235 中的裂变概率比快中子高 300 倍。这就是大多数反应堆使用慢化剂的原因。

链式反应与临界状态

自持链式反应

每次 U-235 裂变平均释放 2.43 个瞬发中子（记为 ν）。要维持自持链式反应，这些中子中必须正好有一个引发另一次裂变。

增殖因子 k：一代中子数与上一代中子数的比值。

- k < 1：次临界：反应逐渐衰减

- k = 1：临界：稳定功率

- k > 1：超临界：反应呈指数增长

六因子公式（适用于热中子反应堆）：k_eff = η × f × p × ε × P_NL(thermal) × P_NL(fast)

- η（eta）：燃料中每吸收一个中子所产生的中子数

- f：热中子利用因子（被燃料吸收的热中子比例）

- p：共振逃脱概率（在慢化过程中避免共振俘获的比例）

- ε（epsilon）：快裂变因子

- P_NL：不泄漏概率

缓发中子：对反应堆控制至关重要。U-235 裂变产生的中子中约有 0.65% 是缓发中子：在裂变后 0.05 到 55 秒之间发射。若没有缓发中子，反应堆的瞬发周期约为 10⁻⁴ 秒：对机械控制棒而言过快。有了缓发中子，有效瞬发周期约为 0.1 秒：可控范围内。

瞬发临界：如果仅基于瞬发中子（忽略缓发中子）就有 k > 1，反应堆便进入瞬发临界状态。这正是核武器的工作条件。反应堆的设计绝不允许达到瞬发临界。

为什么热中子反应堆需要慢化剂

天然铀含有 99.3% 的 U-238，仅含 0.7% 的 U-235。U-238 在 1 eV 到 10 keV 能量范围内对中子有巨大的共振吸收截面，但不会被热中子裂变。U-235 在热能下的裂变截面为 580 barn。

大多数动力反应堆使用 3-5% 浓缩铀（3-5% 的 U-235），并以轻水同时作为慢化剂和冷却剂。

聚变物理

克服库仑势垒

聚变需要将两个原子核拉近到足以让强相互作用力接管的距离：约 1 fm 以内。但两个原子核都带正电荷，因此它们之间存在静电排斥。

库仑势垒：两个电荷为 Z₁e 与 Z₂e 的原子核在核距离 r 处的静电势能：

V_C = k_e × Z₁ × Z₂ × e² / r

对于 D-T 聚变（Z₁=1，Z₂=1，r ≈ 1 fm）：V_C ≈ 1.4 MeV

按经典理论，原子核至少需要 1.4 MeV 的动能（温度约 10¹⁰ K）。但通过库仑势垒的量子隧穿降低了这一要求：即使在远低于势垒的能量下，仍有约 10⁻¹⁰ 经典速率的显著隧穿发生。

热等离子体：在聚变反应堆中，原子核并非单能态。它们遵循 麦克斯韦-玻尔兹曼分布。反应速率是截面与速度乘积的麦克斯韦平均值：<σv>。该函数在不同反应中于不同温度处达到峰值。

最佳温度：

- D-T（²H + ³H → ⁴He + n，Q = 17.6 MeV）：<σv> 峰值在约 70 keV（≈ 8 亿 K）。实际点火阈值：约 10 keV 等离子体温度（≈ 1 亿 K）

- D-D（²H + ²H → ³He + n 或 ³H + p）：峰值在约 500 keV：所需温度高得多

- D-³He（²H + ³He → ⁴He + p，Q = 18.3 MeV）：峰值在约 200 keV：无中子反应，非常具有吸引力但难度更大

- p-¹¹B（质子 + 硼-11 → 3 ⁴He，Q = 8.7 MeV）：无中子反应，需约 10^9 K：难度最大

为何首选 D-T？ D-T 在最低温度下具有最高的 <σv>：在 10 keV 时约比 D-D 高 100 倍。这就是为什么所有当前的聚变项目（ITER、NIF，以及 TAE、Commonwealth Fusion 等私营企业）都采用 D-T，尽管需要增殖氚并管理中子活化。

劳森判据

聚变何时产生比消耗更多的能量

要使聚变等离子体自持（点火），聚变产生的能量必须超过等离子体损失的能量。这由 劳森判据 量化，由 John Lawson 于 1957 年导出。

对于 D-T 聚变，点火要求：n × τ_E > 10²⁰ m⁻³ s（在 T ≈ 20 keV 时）

其中 n 是等离子体数密度,τ_E 是能量约束时间(等离子体保持其能量的时长)。

现代表述使用三重积:n × T × τ_E > ~3 × 10²¹ m⁻³ · keV · s

托卡马克进展(三重积):

- JET (1997):n×T×τ_E ≈ 10²¹ m⁻³·keV·s,Q ≈ 0.65(聚变能 / 输入能)

- ITER(预期):Q ≈ 10(由 50 MW 输入产生 500 MW 聚变输出)

- DEMO(规划中):Q > 25,实现净电力生产

惯性约束(NIF):NIF 不采用磁约束等离子体,而是使用 192 束激光将 D-T 燃料丸压缩并加热至聚变条件。燃料丸在约 10⁻¹⁰ 秒内内爆:约束时间即内爆时间。NIF 于 2022 年 12 月实现点火(Q > 1),为历史首次。

能量挑战:即使 Q = 10,聚变电站也必须将聚变能转换为电能(热效率约 40%),并循环供能用于等离子体加热。净效率 Q_wall ≈ Q × η − 1。要实现经济发电,需 Q > ~25。

D-T 与 D-D 与 p-B11 对比

考虑三种聚变反应:

D-T:Q = 17.6 MeV,最佳温度 T ≈ 1 亿 K,产生高能中子(14.1 MeV)

D-D:Q ≈ 3.65 MeV(两个反应通道的平均值),最佳温度 T ≈ 5 亿 K,有中子放出

p-B11:Q = 8.7 MeV,最佳温度 T ≈ 100 亿 K,完全无中子(仅产生 α 粒子)

氚的半衰期为 12.3 年,自然界中不存在:必须在反应堆周围的包层中由锂增殖产生(⁶Li + n → ⁴He + T)。

数字中的 E=mc²

让爱因斯坦方程具体化

E = mc²，其中 c = 2.998 × 10⁸ m/s，因此 c² = 8.988 × 10¹⁶ m²/s² = 8.988 × 10¹⁶ J/kg

完全质量转换（假设）：

1 克物质完全转换：E = 0.001 kg × 8.988 × 10¹⁶ J/kg = 8.988 × 10¹³ J = ~90 TJ

这大约相当于 2 万吨级核武器的能量（广岛原子弹约为 15 kt TNT ≈ 63 TJ）。

U-235 裂变中的质量亏损：

U-235 裂变产生 Ba-141 + Kr-92 + 3n（典型分裂）

反应前质量：m(²³⁵U) + m(n) = 235.0439 u + 1.0087 u = 236.0526 u

反应后质量：m(¹⁴¹Ba) + m(⁹²Kr) + 3 × m(n) = 140.9144 u + 91.9262 u + 3 × 1.0087 u = 235.8667 u

质量亏损：Δm = 236.0526 − 235.8667 = 0.1859 u

释放的能量：0.1859 u × 931.5 MeV/u = 173 MeV

（剩余约 27 MeV 来自裂变碎片随后的 β/γ 衰变、反中微子等。）

质量转换比例：0.1859 u / 236.0526 u = 0.079%：不到 0.1% 的质量转换为能量

作为对比：化学燃烧：

燃烧 1 个碳原子（12 u）：C + O₂ → CO₂，ΔH ≈ −393 kJ/mol = 每个分子 −4.1 eV

质量亏损：4.1 eV / (931.5 × 10⁶ eV/u) = 每个原子 4.4 × 10⁻⁹ u：完全无法测量

质量转换比例：~3.6 × 10⁻¹⁰ = 0.000000036%：比裂变小 20 万倍

能量密度对比：

- 汽油：~43 MJ/kg

- U-235 裂变：~8.2 × 10¹³ J/kg = 82,000,000 MJ/kg

- D-T 聚变：~3.4 × 10¹⁴ J/kg = 340,000,000 MJ/kg

- 完全湮灭：9 × 10¹⁶ J/kg = 90,000,000,000 MJ/kg

计算质量亏损

一座核电站以 1,000 MW 的电功率输出运行，热效率为 33%（压水堆的典型值）。它运行一年来输送这份电力。

1 年 = 3.156 × 10⁷ 秒

热功率 = 1,000 MW / 0.33 = ~3,030 MW 热功率

每年产生的能量 = 3,030 × 10⁶ W × 3.156 × 10⁷ s = 9.56 × 10¹⁶ J 热能

提示：1 u = 931.5 MeV/c²，1 MeV = 1.602 × 10⁻¹³ J，1 u = 1.66054 × 10⁻²⁷ kg

放射性与剂量的单位

完整的辐射单位参考

核工程师与健康物理学家使用一套特定的单位。理解每个单位测量的是哪个量：以及何时使用哪一个：至关重要。

活度（源强度）：

- 贝克勒尔 (Bq)：1 Bq = 每秒 1 次放射性衰变。国际单位制单位。

- 居里 (Ci)：1 Ci = 3.7 × 10¹⁰ Bq。定义为 1 克 Ra-226 的活度。在美国核医学中仍广泛使用。1 mCi = 3.7 × 10⁷ Bq。

活度告诉你源强度：每秒发生多少次衰变；但不说明生物效应。

照射量（空气中的电离）：

- 伦琴 (R)：X 射线或伽马辐射在每千克干燥空气中产生 2.58 × 10⁻⁴ 库仑离子电荷的量。现在大部分已被国际单位制单位取代，但在较早的剂量学文献中仍在使用。

吸收剂量（沉积在组织中的能量）：

- 戈瑞 (Gy)：1 Gy = 每千克组织沉积 1 焦耳能量。国际单位制单位。

- 拉德 (Rad)：1 rad = 0.01 Gy = 10 mGy。较旧的单位（辐射吸收剂量）。

吸收剂量告诉你沉积的能量，但不同类型的辐射在相同能量沉积下会造成不同的生物损伤。

有效剂量（生物效应）：

- 希沃特 (Sv)：有效剂量 = 吸收剂量 × 辐射权重因子 (w_R)。国际单位制单位。

- 雷姆 (Rem)：1 rem = 0.01 Sv = 10 mSv。（伦琴当量人）。较旧的单位。

辐射权重因子 (w_R)：

- 伽马射线、X 射线、贝塔粒子：w_R = 1（1 Gy = 1 Sv）

- 中子（1 MeV）：w_R = 20

- 阿尔法粒子：w_R = 20

- 因此 1 Gy 的阿尔法辐射 = 20 Sv 生物效应：每焦耳的破坏性比伽马射线高 20 倍

剂量率与累积剂量：

剂量率（Sv/小时或 mSv/小时）是能量沉积的瞬时速率。累积剂量 (Sv) 是随时间累积的总量。

剂量率 × 时间 = 累积剂量。但生物效应取决于剂量率和总量两者:急性高剂量率会导致辐射病;同样的总剂量分散在多年内则效应较低。

参考剂量:

- 年度本底辐射(美国平均):约 3.1 mSv/年

- 胸部 X 光:约 0.1 mSv

- CT 扫描(腹部):约 8 mSv

- 职业限值(美国核工作者):50 mSv/年

- 急性辐射病阈值:约 1 Sv 全身急性剂量

- LD50/30(未经治疗时 30 天内致 50% 人群死亡的剂量):约 4-5 Sv 急性全身剂量

应用辐射单位

一位核医学患者接受 Tc-99m(锝-99m)注射以进行骨扫描。施用活度为 20 mCi。

Tc-99m 仅通过伽马发射衰变(E_γ = 140 keV),t₁/₂ = 6.0 小时。

约 30% 的施用活度定位于骨骼;70% 在 24 小时内由肾脏清除。

20 mCi Tc-99m 骨扫描对患者的有效剂量约为 4.0 mSv(根据剂量学计算)。

核物理在现实世界中的应用

这些物理学知识的应用领域

目前运行中的反应堆类型：

- 压水堆 (PWR)：占全球核电容量约70%。H₂O 作慢化剂和冷却剂，155 bar 压力，315°C 冷却剂温度，3-5% 浓缩 UO₂ 燃料。

- 沸水堆 (BWR)：H₂O 作慢化剂，在堆芯内于 75 bar 下沸腾，单回路（冷却剂=蒸汽直接驱动汽轮机）。更紧凑，略为简单。

- CANDU：D₂O 作慢化剂和冷却剂，使用天然铀燃料，可在线换料。

- RBMK（切尔诺贝利型）：石墨慢化剂，轻水冷却剂。具有正空泡系数：冷却剂沸腾时反应性增加（低功率下不稳定）。现已逐步退役。

- 快堆 (SFR 等)：无慢化剂。快中子。可从 U-238 增殖钚（增殖反应堆），焚烧长寿命锕系废物。钠冷却（高热导率，无慢化作用）。俄罗斯 BN-800 已投入商业运行。

医学物理：

- PET 扫描：正电子发射体（¹⁸F，t₁/₂ = 110 分钟）通过 e⁺e⁻ 湮灭产生背靠背的 511 keV 伽马射线：通过符合探测来成像代谢过程。

- 放射治疗：直线加速器产生 6-18 MV 的 X 射线。质子治疗利用布拉格峰物理：质子在特定深度沉积最大剂量，从而保护周围组织。

- 中子俘获治疗 (BNCT)：肿瘤细胞中的 ¹⁰B 俘获热中子 → ¹¹B* → ⁴He + ⁷Li + 伽马，将剂量沉积在肿瘤细胞内。

核武器物理：

- 裂变弹：在微秒内组装超临界质量。内爆设计（三位一体、胖子）或枪式设计（小男孩）。当量以 kt-Mt TNT 等效计算。

- 热核武器：裂变初级压缩并加热聚变次级（D-T 或 Li-D 燃料）。当量可达约 50 Mt（沙皇炸弹）。裂变是触发器；聚变提供大部分当量。

地球物理学：

- 放射性测年：¹⁴C（t₁/₂ = 5,730 年）用于近期有机材料；U-Pb 系统用于最长 45 亿年的岩石；K-Ar 用于火成岩。全部基于 N(t) = N₀e^(−λt)。

- 地球热量：约 45 TW 的热量从地球内部流出。其中约一半是原始热量（来自地球形成）；另一半来自长寿命放射性核素（²³⁸U、²³²Th、⁴⁰K）的衰变：地球仍然温暖正是因为放射性衰变。

最终综合

你现在已经学习了：核结构与壳层模型、强相互作用与弱相互作用、α/β/γ/电子俘获衰变及其量子力学原理、半衰期动力学与长期平衡、结合能及其曲线、裂变截面与链式反应、聚变等离子体与劳森判据、E=mc² 计算，以及辐射单位。

你已学到的内容

核物理 101：完成

你已经涵盖了核工程物理入门的全部范围：

核结构：核子、核素图、壳层模型、幻数 (2, 8, 20, 28, 50, 82, 126)、核自旋与宇称，以及核半径按 R₀A^(1/3) 标度。

强相互作用：短程汤川相互作用、饱和性、夸克层面的胶子交换、通过 π 介子交换的剩余力，以及作为饱和性结果的液滴模型。

放射性衰变：α 衰变（量子隧穿、伽莫夫因子、盖革-努塔尔定律）、β⁻ 与 β⁺ 衰变（弱相互作用、W 玻色子、夸克味变化）、电子俘获、γ 退激发、内转换，以及完整的 U-238 → Pb-206 衰变链。

半衰期动力学：N(t) = N₀e^(−λt)、以贝可勒尔 (Bq) 和居里 (Ci) 为单位的放射性活度、比活度、平均寿命、长期平衡，以及真实的衰变计算。

结合能：质量亏损计算 (Δm × 931.5 MeV/u)、贝特-魏茨泽克公式各项，以及 Fe-56 与 U-235 的范例计算。

结合能曲线：为什么聚变对轻核释放能量、为什么裂变对重核释放能量、为什么铁是恒星核合成的终点，以及以 J/kg 为单位的能量密度。

裂变物理：复合核、裂变产物的能量分布、中子截面与靶恩 (barn)、1/v 定律、共振俘获、六因子公式、缓发中子，以及临界性。

聚变物理：库仑势垒、量子隧穿、麦克斯韦-玻尔兹曼平均、D-T 对 D-D 对 p-B11 的权衡、劳森判据、托卡马克进展，以及 NIF 点火。

E=mc² 计算：完全质量转换 (1 g = 90 TJ)、U-235 裂变中的质量亏损 (0.186 u = 173 MeV)，以及能量密度比较。

辐射单位：活度（Bq、Ci）、吸收剂量（Gy、rad）、有效剂量（Sv、rem）、辐射权重因子及参考剂量。

最终反思

你刚刚学习了支撑核能发电、核医学、辐射安全、天体物理学及武器防扩散的物理学知识。

这是核工程师设计反应堆、健康物理学家计算剂量限值、决策者就核能在脱碳中的作用做出决定的基础。