Protoni, neutroni e il paesaggio nucleare

Il nucleone e la carta dei nuclidi

Protoni e neutroni si chiamano collettivamente nucleoni. Non sono fondamentali: ciascuno è composto da tre quark tenuti insieme da gluoni. Ma alle scale di energia nucleare, li trattiamo come oggetti puntiformi.

Ogni possibile nucleo è identificato dalla sua coppia (Z, N). La carta dei nuclidi traccia tutti i nuclei conosciuti: Z sull'asse verticale, N sull'asse orizzontale. I nuclei stabili formano una banda stretta chiamata valle di stabilità.

Caratteristica chiave: Per i nuclei leggeri (Z < 20), il rapporto stabile è approssimativamente N/Z ≈ 1. Per i nuclei pesanti, i nuclei stabili hanno significativamente più neutroni che protoni. Il piombo-208 (Z=82, N=126) ha N/Z = 1,54. Questo eccesso di neutroni controbilancia parzialmente la repulsione di Coulomb tra i protoni.

I nuclei lontani dalla valle di stabilità sono instabili: sono radioattivi. Decadono verso la stabilità emettendo particelle o radiazioni.

Raggio nucleare: empiricamente, R ≈ R₀ × A^(1/3), dove R₀ ≈ 1,2 fm. Questo implica che la densità nucleare è approssimativamente costante a circa 2,3 × 10¹⁷ kg/m³: un ditale di materia nucleare peserebbe circa 500 milioni di tonnellate.

Modello a shell nucleare

Numeri magici e shell nucleari

Gli elettroni negli atomi occupano shell quantizzate: il principio di esclusione di Pauli li costringe in livelli energetici distinti. I nucleoni obbediscono allo stesso principio. Il modello a shell nucleare (sviluppato da Maria Goeppert Mayer e J. Hans D. Jensen, Premio Nobel 1963) descrive i nucleoni che riempiono livelli energetici discreti in un potenziale nucleare.

Il risultato: i nuclei con certi 'numeri magici' di protoni o neutroni sono eccezionalmente stabili:

Numeri magici: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126

Prove dei numeri magici:

- Elio-4 (Z=2, N=2): doppiamente magico, straordinariamente stabile: è la particella alfa

- Ossigeno-16 (Z=8, N=8): doppiamente magico

- Piombo-208 (Z=82, N=126): doppiamente magico, il nucleo stabile più pesante

- Lo stagno (Z=50) ha 10 isotopi stabili: più di qualsiasi altro elemento

- Dopo che le shell dei numeri magici sono chiuse, l'energia di legame per nucleone scende bruscamente

Il modello a shell predice anche lo spin nucleare e la parità. Ogni orbitale nucleonico occupato ha un numero quantico di momento angolare j specifico. Lo spin nucleare totale I è la somma vettoriale di tutti gli spin nucleonici e dei momenti angolari orbitali. Parità π = (−1)^ℓ per ogni orbitale. I nuclei pari-pari (Z pari, N pari) hanno sempre spin di stato fondamentale I=0 e parità positiva.

Perché i numeri magici sono speciali?

Il piombo-208 ha Z=82 (magico) e N=126 (magico). È il nucleo completamente stabile più pesante: niente di più pesante è stabile contro tutti i modi di decadimento su scale temporali geologiche.

L'elio-4 è doppiamente magico (Z=2, N=2). Nel decadimento alfa, il nucleo espelle un nucleo di elio-4. Questo non è una coincidenza.

La forza che tiene insieme i nuclei

Perché il nucleo non esplode

Considera un nucleo di uranio-238: 92 protoni stipati in una sfera di raggio ~7,4 fm. La repulsione elettrostatica tra di loro è enorme: nell'ordine di centinaia di MeV. Eppure il nucleo è stabile.

Qualcosa deve superare quella repulsione. Quel qualcosa è la forza nucleare forte: la più forte delle quattro forze fondamentali.

Proprietà della forza forte:

- Portata: estremamente corta: efficace solo entro ~1–2 fm. Oltre 2 fm, scende essenzialmente a zero (potenziale di Yukawa: V(r) ∝ e^(−r/r₀)/r dove r₀ ≈ 1,5 fm).

- Magnitudine: a distanze nucleari, ~100 volte più forte della forza elettromagnetica

- Indipendenza dalla carica: agisce ugualmente tra coppie p-p, p-n e n-n (simmetria di isospin)

- Saturazione: ogni nucleone interagisce fortemente solo con i suoi vicini immediati: non con tutti gli altri nucleoni. Per questo la densità nucleare è approssimativamente costante indipendentemente da A.

- A corto raggio vince da vicino, Coulomb vince da lontano: dentro il nucleo, la forza forte domina. Aggiungendo protoni, la repulsione di Coulomb (che è a lungo raggio) cresce più rapidamente della forza forte (che satura). Alla fine: intorno a Z=83+: il nucleo diventa instabile.

La forza forte a livello dei quark

Dai quark ai nucleoni ai nuclei

A livello fondamentale, la forza forte è descritta dalla cromodinamica quantistica (QCD). I quark portano una carica di colore (rosso, verde, blu) e scambiano gluoni per interagire.

Ogni protone = due quark up + un quark down (uud). Ogni neutrone = un quark up + due quark down (udd).

La forza tra i quark è trasportata da gluoni privi di massa, ma a differenza dei fotoni (che trasportano l'elettromagnetismo), i gluoni portano anche essi stessi carica di colore: quindi interagiscono tra loro. Ciò rende la QCD altamente non lineare ed estremamente difficile da risolvere analiticamente.

Confinamento: I quark liberi non vengono mai osservati. L'energia richiesta per separare due quark cresce linearmente con la distanza (come un elastico), quindi prima che avvenga la separazione, l'energia crea una nuova coppia quark-antiquark. I quark sono sempre confinati dentro gli adroni (barioni come i protoni, o mesoni).

La forza nucleare come residuo: Quella che chiamiamo forza nucleare forte tra nucleoni è in realtà una forza di colore residua: l'interazione rimanente tra oggetti neutri di colore, analoga alle forze di van der Waals tra molecole elettricamente neutre. Questa forza residua è mediata principalmente dallo scambio di pioni (i pioni sono i mesoni più leggeri, massa ~135 MeV/c²). La massa del pione fissa la portata: ℏc/m_π c² ≈ 1,4 fm.

Saturazione e l'analogia della goccia liquida

La forza forte satura: ogni nucleone interagisce solo con i suoi vicini, non con tutti i nucleoni del nucleo. Questo è molto diverso dalla gravità o dall'elettromagnetismo, dove ogni particella interagisce con ogni altra particella.

A causa della saturazione, l'energia di legame nucleare cresce approssimativamente in proporzione ad A (termine di volume) piuttosto che ad A(A-1)/2 (che sarebbe se ogni coppia interagisse).

Tipi di decadimento radioattivo

Perché i nuclei decadono

Un nucleo instabile decade per raggiungere uno stato energetico inferiore: più vicino alla valle di stabilità sulla carta dei nuclidi. L'energia rilasciata (valore Q) è uguale alla differenza di massa tra il genitore e i prodotti, convertita tramite E=mc².

Decadimento alfa (α): Il nucleo emette un nucleo di elio-4 (²⁴He: 2 protoni, 2 neutroni). Risultato: Z diminuisce di 2, A diminuisce di 4. Si verifica nei nuclei pesanti (Z > 82 tipicamente). Esempio: ²³⁸U → ²³⁴Th + ⁴He, Q = 4,27 MeV.

Decadimento beta-meno (β⁻): Un neutrone si converte in un protone: n → p + e⁻ + ν̄_e (antineutrino). Risultato: Z aumenta di 1, A invariato. Mediato dalla forza debole. Si verifica quando N/Z è troppo alto (troppi neutroni).

Decadimento beta-più (β⁺): Un protone si converte in un neutrone: p → n + e⁺ + ν_e (positrone + neutrino). Risultato: Z diminuisce di 1, A invariato. Si verifica quando N/Z è troppo basso (troppi protoni). Richiede Q > 2m_e c² = 1,022 MeV.

Cattura elettronica (EC): Un protone cattura un elettrone della shell interna: p + e⁻ → n + ν_e. Stesso risultato netto di β⁺ ma nessun positrone emesso. Compete con β⁺ quando Q < 1,022 MeV o per nuclei pesanti dove la densità degli elettroni della shell interna al nucleo è alta.

Decadimento gamma (γ): Dopo il decadimento alfa o beta, il nucleo figlio è spesso in uno stato eccitato. Si diseccita emettendo un fotone gamma (radiazione elettromagnetica ad alta energia). Z e A invariati: solo l'energia cambia. Questo è analogo all'emissione di linee atomiche ma a energie MeV.

Conversione interna: Un'alternativa all'emissione gamma. L'energia di eccitazione nucleare viene trasferita direttamente a un elettrone della shell interna, che viene espulso. Compete con l'emissione gamma, specialmente per transizioni a bassa energia e nuclei pesanti.

Tunneling quantistico e decadimento alfa

Il fattore di Gamow: come fuggono le particelle alfa

Il decadimento alfa presenta un enigma quanto-meccanico. Dentro il nucleo, la particella alfa si trova in una buca di potenziale attrattiva: la forza forte la trattiene. Subito fuori dal nucleo, la repulsione di Coulomb prende il sopravvento, creando una barriera di potenziale.

Classicamente, la particella alfa non può fuggire: le manca l'energia per scavalcare la barriera di Coulomb (che raggiunge un picco di ~30 MeV per l'uranio, mentre il valore Q della particella alfa è solo ~4 MeV). Eppure il decadimento alfa avviene.

Tunneling quantistico: Poiché la particella alfa obbedisce alla meccanica ondulatoria, la sua funzione d'onda non si arresta bruscamente alla barriera. Decade esponenzialmente attraverso la regione classicamente proibita. C'è una probabilità non nulla di trovare la particella dall'altra parte.

La probabilità di tunneling è caratterizzata dal fattore di Gamow G:

G = exp(−2γ) dove γ = (Z_d × Z_α × e²)/(ℏv_α) × [arccos(√(R/R_C)) − √(R/R_C × (1 − R/R_C))]

La dipendenza chiave: le particelle alfa di energia più alta (valore Q maggiore) hanno probabilità di tunneling molto più grandi → emivite molto più brevi. Questa è la legge di Geiger-Nuttall: log(λ) ∝ −1/√Q, dove λ è la costante di decadimento.

Conseguenza drammatica: Cambiare Q di un fattore 2 cambia l'emivita di molti ordini di grandezza. L'uranio-238 (Q=4,27 MeV) ha t₁/₂ = 4,5 miliardi di anni. Il polonio-214 (Q=7,83 MeV) ha t₁/₂ = 164 microsecondi. Stesso meccanismo, scale temporali enormemente diverse: interamente spiegato dal fattore di Gamow.

Legge di Geiger-Nuttall

Valore Q del decadimento alfa dell'uranio-238: 4,27 MeV, emivita: 4,47 × 10⁹ anni.

Valore Q del decadimento alfa del polonio-212: 8,95 MeV, emivita: 0,3 × 10⁻⁶ secondi.

Valore Q del decadimento alfa del torio-228: 5,52 MeV, emivita: 1,9 anni.

Decadimento beta e la forza debole

La forza debole nel nucleo

Il decadimento beta è fondamentalmente diverso dal decadimento alfa. Non coinvolge cluster preformati o tunneling nello stesso senso. Invece, un sapore di quark cambia tramite la forza debole.

Nel decadimento β⁻: un quark down in un neutrone si converte in un quark up, trasformando il neutrone in un protone. Il mediatore è il bosone W⁻ (massa ~80 GeV/c²). Poiché il bosone W è così massiccio, la forza debole ha una portata estremamente corta (~10⁻¹⁸ m) ed è intrinsecamente lenta.

Neutrini: Il decadimento beta produce sempre un neutrino (o antineutrino). Ciò fu predetto da Wolfgang Pauli nel 1930 per spiegare lo spettro beta continuo: se solo un elettrone fosse emesso, la conservazione dell'energia e della quantità di moto richiederebbe un'energia elettronica fissa per ciascun decadimento. Lo spettro continuo osservato dimostrò che una terza particella (il neutrino) trasportava via frazioni variabili del valore Q.

Teoria di Fermi del decadimento beta: La teoria di Enrico Fermi del 1934 tratta il decadimento beta come un'interazione puntuale (la portata della forza debole è trascurabile alle scale nucleari). Il tasso di decadimento dipende dal valore Q alla quinta potenza: λ ∝ Q⁵. Ciò significa che un piccolo aumento di Q accelera drasticamente il decadimento beta: anche se non così drammaticamente come nel decadimento alfa.

Dettagli del decadimento gamma: Dopo il decadimento alfa o beta, i nuclei figli sono tipicamente in stati eccitati (mostrati come ᴬ_Z X*). Il nucleo si diseccita emettendo un fotone gamma con energia = E_eccitato − E_fondamentale. I tassi di transizione dipendono dalla multipolarità della transizione (E1, M1, E2, ecc.): le transizioni di dipolo elettrico sono le più rapide (~10⁻¹⁴ s), mentre le transizioni ad alta multipolarità possono essere lente (formando isomeri che vivono da minuti ad anni). Il tecnezio-99m (usato nell'imaging medico) è un isomero nucleare con un'emivita di 6 ore, che decade tramite transizione isomerica (emissione gamma) a Tc-99.

Catena di decadimento dell'uranio-238

U-238 → Pb-206: 14 passi in 4,5 miliardi di anni

I nuclei pesanti decadono attraverso una catena di decadimenti sequenziali finché non raggiungono un nucleo stabile. La catena U-238 produce 8 decadimenti alfa e 6 decadimenti beta prima di raggiungere il Pb-206 stabile:

¹. ²³⁸U → ²³⁴Th + α (t₁/₂ = 4,47 Gy)

². ²³⁴Th → ²³⁴Pa + β⁻ (t₁/₂ = 24,1 giorni)

³. ²³⁴Pa → ²³⁴U + β⁻ (t₁/₂ = 1,17 min)

⁴. ²³⁴U → ²³⁰Th + α (t₁/₂ = 245.500 anni)

⁵. ²³⁰Th → ²²⁶Ra + α (t₁/₂ = 75.400 anni)

⁶. ²²⁶Ra → ²²²Rn + α (t₁/₂ = 1.600 anni)

⁷. ²²²Rn → ²¹⁸Po + α (t₁/₂ = 3,82 giorni)

⁸. ²¹⁸Po → ²¹⁴Pb + α (t₁/₂ = 3,05 min)

⁹. ²¹⁴Pb → ²¹⁴Bi + β⁻ (t₁/₂ = 26,8 min)

¹⁰. ²¹⁴Bi → ²¹⁴Po + β⁻ (t₁/₂ = 19,7 min)

¹¹. ²¹⁴Po → ²¹⁰Pb + α (t₁/₂ = 164 μs)

¹². ²¹⁰Pb → ²¹⁰Bi + β⁻ (t₁/₂ = 22,3 anni)

¹³. ²¹⁰Bi → ²¹⁰Po + β⁻ (t₁/₂ = 5,01 giorni)

¹⁴. ²¹⁰Po → ²⁰⁶Pb + α (t₁/₂ = 138 giorni)

Prodotto finale: ²⁰⁶Pb (stabile)

Radon-222: I passi 6–7 coinvolgono il radon, un gas nobile. Essendo un gas, può fuoriuscire dal suolo e accumularsi negli edifici. Il radon è la seconda causa principale di cancro ai polmoni negli Stati Uniti dopo il fumo: una conseguenza diretta della catena di decadimento naturale dell'uranio.

Equilibrio secolare: In un vecchio deposito di minerale di uranio, ogni intermedio raggiunge l'equilibrio secolare con l'uranio-238. All'equilibrio, l'attività di ciascun prodotto di decadimento è uguale all'attività dell'U-238. Ciò significa che, anche se le emivite intermedie variano da microsecondi a migliaia di anni, le loro attività sono tutte uguali all'equilibrio.

Matematica del decadimento radioattivo

N(t) = N₀ × e^(−λt)

Il decadimento radioattivo è un processo puramente statistico. Ogni nucleo decade indipendentemente, con una probabilità fissa per unità di tempo λ (la costante di decadimento). Ciò porta a una cinetica del primo ordine:

N(t) = N₀ × e^(−λt)

dove N₀ è il numero iniziale di nuclei e N(t) è il numero rimanente al tempo t.

Emivita: Il tempo perché metà dei nuclei decada: t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0,693/λ

Attività: A = λN: il numero di decadimenti al secondo. Unità: becquerel (Bq) = 1 decadimento/s. Vecchia unità: curie (Ci) = 3,7 × 10¹⁰ Bq (definito come l'attività di 1 grammo di radio-226).

Attività specifica: Attività per unità di massa. Per un isotopo puro: SA = λ × N_A / M dove N_A è il numero di Avogadro ed M è la massa molare. Emivita corta → alta attività specifica. Po-210 ha t₁/₂ = 138 giorni → SA ≈ 1,7 × 10¹⁴ Bq/g = 4.500 Ci/g. L'uranio-238 ha t₁/₂ = 4,47 Gy → SA ≈ 12.400 Bq/g.

Vita media: τ = 1/λ = t₁/₂/ln(2) ≈ 1,44 × t₁/₂. Dopo una vita media, il numero è diminuito a 1/e ≈ 36,8% del suo valore iniziale.

Dopo n emivite: N(n) = N₀/2ⁿ

Equilibrio secolare

Quando le figlie veloci raggiungono l'equilibrio con i genitori lenti

Considera un nucleo genitore P che decade in un nucleo figlio D (che a sua volta decade). Se l'emivita del genitore è molto più lunga di quella del figlio (t_{P} >> t_{D}), il figlio raggiunge l'equilibrio secolare con il genitore.

All'equilibrio secolare: λ_P × N_P = λ_D × N_D, o equivalentemente, A_P = A_D (le attività sono uguali).

Significato fisico: Il figlio è prodotto dal genitore allo stesso tasso a cui decade. La popolazione del figlio è costante: la catena è in stato stazionario.

Tempo per raggiungere l'equilibrio: Approssimativamente 7 × t₁/₂(figlio). Ra-226 (t₁/₂ = 1.600 anni) raggiunge l'equilibrio secolare con U-238 (t₁/₂ = 4,47 miliardi di anni) dopo ~11.200 anni.

Conseguenza pratica: Nell'estrazione dell'uranio, il minerale contiene tutti i figli in equilibrio secolare. I minatori e i lavoratori del mulino sono esposti non solo all'U-238, ma all'intera catena di decadimento in equilibrio: inclusi gli isotopi alfa-emettitori di radon, polonio e piombo, tutti allo stesso livello di attività dell'U-238.

Calcolo dell'attività residua

Un reattore di ricerca produce iodio-131 (t₁/₂ = 8,02 giorni) come prodotto di fissione. Immediatamente dopo lo spegnimento, un campione contiene 3,7 × 10¹⁰ Bq (1 Ci) di I-131.

L'I-131 è medicalmente significativo: si concentra nella tiroide ed è usato sia terapeuticamente (trattamento del cancro alla tiroide) sia rappresenta un pericolo da radiazione da incidenti nucleari (i rilasci di Chernobyl e Fukushima coinvolsero quantità significative di I-131).

Difetto di massa ed E=mc²

Da dove viene l'energia di legame?

Un nucleo pesa meno della somma dei suoi protoni e neutroni liberi. Questo è il difetto di massa (Δm), ed è l'origine dell'energia di legame nucleare.

Formula: B = Δm × c² = [Z × m_p + N × m_n − m(nucleo)] × 931,5 MeV/u

Esempio: Ferro-56 (²⁵⁶Fe, il nucleo comune più strettamente legato)

- Z = 26 protoni, N = 30 neutroni

- Massa di 26 protoni liberi: 26 × 1,007276 u = 26,189 u

- Massa di 30 neutroni liberi: 30 × 1,008665 u = 30,260 u

- Somma dei nucleoni liberi: 56,449 u

- Massa misurata del nucleo ⁵⁶Fe: 55,921 u

- Difetto di massa: Δm = 56,449 − 55,921 = 0,528 u

- Energia di legame: B = 0,528 u × 931,5 MeV/u = 492 MeV

- Energia di legame per nucleone: B/A = 492/56 = 8,79 MeV/nucleone

Esempio: Uranio-235

- Z = 92, N = 143, A = 235

- Somma dei nucleoni liberi: 92 × 1,007276 + 143 × 1,008665 = 236,908 u

- Massa atomica misurata di ²³⁵U: 235,044 u (sottrarre 92 masse elettroniche: 92 × 0,000549 u = 0,0505 u → massa nucleare ≈ 234,994 u)

- Difetto di massa: Δm ≈ 236,908 − 234,994 ≈ 1,914 u

- Energia di legame: 1,914 × 931,5 ≈ 1.784 MeV totali = 7,59 MeV/nucleone

Confronta: ⁵⁶Fe è più strettamente legato per nucleone di ²³⁵U. Questa è la fisica dietro il perché la fissione dell'uranio rilascia energia: i prodotti (nuclei di massa media come bario e krypton) sono più strettamente legati per nucleone dell'uranio.

La curva dell'energia di legame

Il grafico più importante della fisica nucleare

L'energia di legame per nucleone (B/A) tracciata in funzione del numero di massa A rivela tutta la logica dell'energia nucleare:

Caratteristiche chiave della curva:

- Salita da A=1 a A~56: Quando i nuclei crescono dall'idrogeno al ferro, B/A aumenta. Combinare nuclei leggeri in nuclei più pesanti rilascia energia (fusione).

- Picco vicino a A=56-62: Il ferro-56 (8,79 MeV/nucleone) e il nichel-62 (8,80 MeV/nucleone) si trovano al picco. Questi sono i nuclei più stabili: la 'cenere' dell'universo dalla nucleosintesi stellare.

- Declino graduale da A=56 a A=238: I nuclei pesanti sono meno strettamente legati per nucleone del ferro. Man mano che la repulsione di Coulomb si accumula con ogni protone aggiunto, l'energia di legame per nucleone diminuisce. Dividere nuclei pesanti in nuclei di massa media rilascia energia (fissione).

- Bump notevoli: I numeri magici creano picchi locali: l'elio-4 (7,07 MeV/nucleone) si trova in modo cospicuo sopra la tendenza per il suo intervallo di massa.

Energia rilasciata nella fissione di U-235:

U-235 ha B/A ≈ 7,59 MeV/nucleone. I prodotti di fissione tipici (es. Ba-141 e Kr-92) hanno B/A ≈ 8,4 MeV/nucleone.

Energia rilasciata ≈ (8,4 − 7,59) × 235 ≈ 0,81 × 235 ≈ 190 MeV per fissione

(Più ~10 MeV dall'energia cinetica dei neutroni pronti e dai raggi gamma, totale ~200 MeV per fissione)

Energia rilasciata nella fusione D-T:

D (²H, B/A = 1,11 MeV) + T (³H, B/A = 2,83 MeV) → ⁴He (B/A = 7,07 MeV) + n

Q = [m(D) + m(T) − m(⁴He) − m(n)] × 931,5 MeV/u = 17,6 MeV per reazione

Per chilogrammo di combustibile D-T: ~3,4 × 10¹⁴ J = 340 TJ/kg: contro ~43 MJ/kg per la benzina (fattore di ~8 milioni)

Perché il ferro segna l'endpoint della nucleosintesi stellare

Le stelle producono energia fondendo nuclei più leggeri in nuclei più pesanti: idrogeno in elio, elio in carbonio, e così via. Ogni passo di fusione rilascia energia perché il prodotto è più strettamente legato per nucleone dei reagenti.

Quando il nucleo di una stella massiccia raggiunge il ferro, la fusione si ferma.

Come funziona la fissione

Fissione nucleare: dividere il nucleo pesante

La fissione si verifica quando un nucleo pesante (tipicamente A > 230) assorbe un neutrone e diventa così deformato che la forza forte non può più tenerlo insieme contro la repulsione di Coulomb.

Il processo di fissione:

1. Il nucleo assorbe un neutrone → diventa ²³⁶U* (nucleo composto eccitato)

2. Il nucleo oscilla: la goccia liquida si deforma

3. Se l'energia di eccitazione supera la barriera di fissione (~6 MeV per U-235 + neutrone lento), il collo si assottiglia e il nucleo si divide

4. Due frammenti di fissione volano via (Ba, Kr, Cs, I, ecc.: tipicamente A ~ 90 e A ~ 140)

5. I neutroni pronti (2-3 in media) vengono emessi entro 10⁻¹⁴ secondi

6. I frammenti subiscono catene di decadimento beta (sono ricchi di neutroni) per ore o anni

Distribuzione dell'energia da un evento di fissione di U-235 (~200 MeV totali):

- Energia cinetica dei frammenti di fissione: ~168 MeV

- Energia cinetica dei neutroni pronti: ~5 MeV

- Raggi gamma pronti: ~7 MeV

- Beta ritardati dai frammenti: ~8 MeV

- Gamma ritardati dai frammenti: ~7 MeV

- Energia degli antineutrini (sfugge): ~12 MeV (non recuperabile)

Energia recuperabile in un reattore: ~188 MeV per fissione

Sezioni d'urto neutroniche

Sezioni d'urto: come i neutroni vedono i nuclei

Una sezione d'urto (σ) misura la probabilità di un'interazione neutrone-nucleo. Nonostante il nome, non è un'area geometrica: è un'area effettiva che cattura la probabilità quanto-meccanica di interazione.

Unità: barn (b) = 10⁻²⁴ cm² = 10⁻²⁸ m². (Origine: durante il Progetto Manhattan, i fisici trovarono i nuclei di uranio inaspettatamente grandi in sezione d'urto e dissero che il nucleo era 'grande come un fienile' [barn].)

Sezioni d'urto chiave per U-235:

- Fissione (σ_f): ~580 barn alle energie termiche (0,025 eV)

- Assorbimento totale: ~680 barn alle energie termiche

- Fissione da neutroni veloci: ~1-2 barn a 1 MeV

La legge 1/v: Per i neutroni termici (bassa energia), le sezioni d'urto di interazione scalano come 1/v (inverso della velocità), o equivalentemente, 1/√E. I neutroni più lenti trascorrono più tempo vicino a un nucleo e hanno una probabilità di interazione più alta.

Regione di risonanza: Tra le energie termiche (~0,025 eV) e veloci (~1 MeV), molti nuclei mostrano picchi drammatici nella sezione d'urto chiamati risonanze: corrispondenti a stati eccitati specifici del nucleo composto. U-238 ha enormi picchi di cattura per risonanza nell'intervallo 1-1000 eV, motivo per cui i reattori termici utilizzano moderatori per portare i neutroni sotto la regione di risonanza.

Conseguenza per la progettazione del reattore: I neutroni termici (rallentati da un moderatore: acqua, acqua pesante, grafite) hanno una probabilità di fissione 300× più alta in U-235 rispetto ai neutroni veloci. Per questo la maggior parte dei reattori usa moderatori.

Reazioni a catena e criticità

La reazione a catena auto-sostenuta

Ogni fissione di U-235 rilascia in media 2,43 neutroni pronti (denotati ν). Per una reazione a catena auto-sostenuta, esattamente uno di quei neutroni deve causare un'altra fissione.

Fattore di moltiplicazione k: Il rapporto tra i neutroni in una generazione e quelli della precedente.

- k < 1: sottocritico: la reazione si estingue

- k = 1: critico: potenza stabile

- k > 1: supercritico: la reazione cresce esponenzialmente

Formula a sei fattori (per reattori termici): k_eff = η × f × p × ε × P_NL(termico) × P_NL(veloce)

- η (eta): neutroni prodotti per neutrone assorbito nel combustibile

- f: fattore di utilizzo termico (frazione di neutroni termici assorbiti dal combustibile)

- p: probabilità di fuga dalle risonanze (frazione che evita la cattura per risonanza durante il rallentamento)

- ε (epsilon): fattore di fissione veloce

- P_NL: probabilità di non-fuga

Neutroni ritardati: Critici per il controllo del reattore. Circa lo 0,65% dei neutroni dalla fissione di U-235 sono ritardati: emessi 0,05-55 secondi dopo la fissione. Senza neutroni ritardati, il periodo pronto del reattore sarebbe ~10⁻⁴ secondi: troppo veloce per le barre di controllo meccaniche. Con neutroni ritardati, il periodo pronto effettivo è ~0,1 secondi: controllabile.

Criticità pronta: Se k > 1 basato sui soli neutroni pronti (ignorando quelli ritardati), il reattore va in criticità pronta. Questa è la condizione in un'arma nucleare. I reattori sono progettati per non raggiungere mai la criticità pronta.

Perché i reattori termici hanno bisogno di moderatori

L'uranio naturale contiene il 99,3% di U-238 e solo lo 0,7% di U-235. U-238 ha un'enorme sezione d'urto di assorbimento per risonanza per i neutroni nell'intervallo 1 eV - 10 keV ma non si fissiona con neutroni termici. U-235 ha una sezione d'urto di fissione di 580 barn alle energie termiche.

La maggior parte dei reattori di potenza usa uranio arricchito al 3-5% (3-5% di U-235) con acqua leggera sia come moderatore che come refrigerante.

Fisica della fusione

Superare la barriera di Coulomb

La fusione richiede di portare due nuclei abbastanza vicini perché la forza forte prenda il sopravvento: entro ~1 fm. Ma entrambi i nuclei sono carichi positivamente, quindi si respingono elettrostaticamente.

La barriera di Coulomb: L'energia potenziale elettrostatica a distanza nucleare r per due nuclei con cariche Z₁e e Z₂e:

V_C = k_e × Z₁ × Z₂ × e² / r

Per la fusione D-T (Z₁=1, Z₂=1, r ≈ 1 fm): V_C ≈ 1,4 MeV

Classicamente, hai bisogno di nuclei con almeno 1,4 MeV di energia cinetica (temperatura ~10¹⁰ K). Ma il tunneling quantistico attraverso la barriera di Coulomb riduce questo requisito: un tunneling significativo si verifica a ~10⁻¹⁰ del tasso classico anche a energie ben al di sotto della barriera.

Plasma termico: In un reattore a fusione, i nuclei non sono monoenergetici. Seguono una distribuzione di Maxwell-Boltzmann. Il tasso di reazione è il prodotto mediato secondo Maxwell della sezione d'urto e della velocità: <σv>. Questa funzione raggiunge il picco a temperature diverse per reazioni diverse.

Temperature ottimali:

- D-T (²H + ³H → ⁴He + n, Q = 17,6 MeV): picco di <σv> a ~70 keV (≈ 800 milioni di K). Soglia di accensione pratica: ~10 keV temperatura del plasma (≈ 100 milioni di K)

- D-D (²H + ²H → ³He + n o ³H + p): picco a ~500 keV: richiede temperature molto più alte

- D-³He (²H + ³He → ⁴He + p, Q = 18,3 MeV): picco a ~200 keV: aneutronica, molto attraente ma più difficile

- p-¹¹B (protone + boro-11 → 3 ⁴He, Q = 8,7 MeV): aneutronica, ~10⁹ K richiesti: la più difficile

Perché D-T per primo? D-T ha il più alto <σv> alla temperatura più bassa: circa 100× più alto di D-D a 10 keV. Per questo tutti gli attuali programmi di fusione (ITER, NIF, iniziative private come TAE, Commonwealth Fusion) usano D-T nonostante la necessità di produrre trizio e gestire l'attivazione neutronica.

Criterio di Lawson

Quando la fusione produce più energia di quanta ne consumi

Perché un plasma di fusione sia auto-sostenuto (accensione), l'energia prodotta dalla fusione deve superare l'energia persa dal plasma. Questo è quantificato dal criterio di Lawson, derivato da John Lawson nel 1957.

Per la fusione D-T, l'accensione richiede: n × τ_E > 10²⁰ m⁻³ s (a T ≈ 20 keV)

dove n è la densità numerica del plasma e τ_E è il tempo di confinamento dell'energia (per quanto tempo il plasma trattiene la sua energia).

Le presentazioni moderne usano il prodotto triplo: n × T × τ_E > ~3 × 10²¹ m⁻³ · keV · s

Progresso del tokamak (prodotto triplo):

- JET (1997): n×T×τ_E ≈ 10²¹ m⁻³·keV·s, Q ≈ 0,65 (energia di fusione / energia in input)

- ITER (previsto): Q ≈ 10 (500 MW di output di fusione da 50 MW in input)

- DEMO (pianificato): Q > 25, produzione netta di elettricità

Confinamento inerziale (NIF): Piuttosto che confinare il plasma magneticamente, NIF usa 192 fasci laser per comprimere e riscaldare un pellet di D-T fino alle condizioni di fusione. Il pellet implode in ~10⁻¹⁰ secondi: il tempo di confinamento è il tempo di implosione. NIF ha raggiunto l'accensione (Q > 1) a dicembre 2022, la prima volta nella storia.

La sfida energetica: Anche a Q = 10, una centrale a fusione deve convertire l'energia di fusione in elettricità (efficienza termica ~40%) e ricircolare la potenza per il riscaldamento del plasma. Efficienza netta Q_wall ≈ Q × η − 1. Per la produzione economica di energia, è necessario Q > ~25.

D-T vs D-D vs p-B11

Considera tre reazioni di fusione:

D-T: Q = 17,6 MeV, T ottimale ≈ 100 milioni K, produce neutroni energetici (14,1 MeV)

D-D: Q ≈ 3,65 MeV (media di due canali), T ottimale ≈ 500 milioni K, neutroni emessi

p-B11: Q = 8,7 MeV, T ottimale ≈ 10 miliardi K, completamente aneutronica (solo particelle alfa prodotte)

Il trizio ha un'emivita di 12,3 anni e non si trova in natura: deve essere prodotto dal litio in un mantello che circonda il reattore (⁶Li + n → ⁴He + T).

E=mc² in numeri

Rendere concreta l'equazione di Einstein

E = mc² dove c = 2,998 × 10⁸ m/s, quindi c² = 8,988 × 10¹⁶ m²/s² = 8,988 × 10¹⁶ J/kg

Conversione completa di massa (ipotetica):

1 grammo di materia completamente convertito: E = 0,001 kg × 8,988 × 10¹⁶ J/kg = 8,988 × 10¹³ J = ~90 TJ

Questo è all'incirca l'energia di un'arma nucleare da 20 kilotoni (la bomba di Hiroshima era di ~15 kt TNT ≈ 63 TJ).

Difetto di massa nella fissione di U-235:

U-235 si fissiona producendo Ba-141 + Kr-92 + 3n (divisione tipica)

Massa prima: m(²³⁵U) + m(n) = 235,0439 u + 1,0087 u = 236,0526 u

Massa dopo: m(¹⁴¹Ba) + m(⁹²Kr) + 3 × m(n) = 140,9144 u + 91,9262 u + 3 × 1,0087 u = 235,8667 u

Difetto di massa: Δm = 236,0526 − 235,8667 = 0,1859 u

Energia rilasciata: 0,1859 u × 931,5 MeV/u = 173 MeV

(I restanti ~27 MeV provengono dai successivi decadimenti beta/gamma dei frammenti, antineutrini, ecc.)

Frazione di massa convertita: 0,1859 u / 236,0526 u = 0,079%: meno dello 0,1% della massa si converte in energia

Per confronto: combustione chimica:

Bruciare 1 atomo di carbonio (12 u): C + O₂ → CO₂, ΔH ≈ −393 kJ/mol = −4,1 eV per molecola

Difetto di massa: 4,1 eV / (931,5 × 10⁶ eV/u) = 4,4 × 10⁻⁹ u per atomo: completamente non misurabile

Frazione di massa convertita: ~3,6 × 10⁻¹⁰ = 0,000000036%: 200.000 volte più piccola della fissione

Confronto delle densità energetiche:

- Benzina: ~43 MJ/kg

- Fissione di U-235: ~8,2 × 10¹³ J/kg = 82.000.000 MJ/kg

- Fusione D-T: ~3,4 × 10¹⁴ J/kg = 340.000.000 MJ/kg

- Annichilazione completa: 9 × 10¹⁶ J/kg = 90.000.000.000 MJ/kg

Calcolare il difetto di massa

Una centrale nucleare opera a 1.000 MW di output elettrico con un'efficienza termica del 33% (tipica per un reattore ad acqua pressurizzata). Usa 1 anno di operazione per fornire questa potenza.

1 anno = 3,156 × 10⁷ secondi

Potenza termica = 1.000 MW / 0,33 = ~3.030 MW termici

Energia prodotta per anno = 3.030 × 10⁶ W × 3,156 × 10⁷ s = 9,56 × 10¹⁶ J termici

Suggerimento: 1 u = 931,5 MeV/c², 1 MeV = 1,602 × 10⁻¹³ J, 1 u = 1,66054 × 10⁻²⁷ kg

Unità di radioattività e dose

Un riferimento completo alle unità di radiazione

Gli ingegneri nucleari e i fisici sanitari usano un set specifico di unità. Capire quale grandezza misura ciascuna unità: e quando usare quale: è essenziale.

Attività (forza della sorgente):

- Becquerel (Bq): 1 Bq = 1 decadimento radioattivo al secondo. Unità SI.

- Curie (Ci): 1 Ci = 3,7 × 10¹⁰ Bq. Definito come l'attività di 1 grammo di Ra-226. Ancora ampiamente usato nella medicina nucleare statunitense. 1 mCi = 3,7 × 10⁷ Bq.

L'attività ti dice la forza della sorgente: quanti decadimenti al secondo: ma non dice nulla sull'effetto biologico.

Esposizione (ionizzazione nell'aria):

- Roentgen (R): Quantità di radiazione X o gamma che produce 2,58 × 10⁻⁴ coulomb di carica ionica per chilogrammo di aria secca. Ora largamente sostituito dalle unità SI ma ancora usato nella vecchia letteratura dosimetrica.

Dose assorbita (energia depositata nei tessuti):

- Gray (Gy): 1 Gy = 1 joule di energia depositata per chilogrammo di tessuto. Unità SI.

- Rad: 1 rad = 0,01 Gy = 10 mGy. Unità più vecchia (radiation absorbed dose).

La dose assorbita ti dice l'energia depositata, ma diversi tipi di radiazione causano diversi danni biologici per la stessa deposizione di energia.

Dose efficace (effetto biologico):

- Sievert (Sv): Dose efficace = dose assorbita × fattore di ponderazione della radiazione (w_R). Unità SI.

- Rem: 1 rem = 0,01 Sv = 10 mSv. (Roentgen equivalent man). Unità più vecchia.

Fattori di ponderazione della radiazione (w_R):

- Raggi gamma, raggi X, beta: w_R = 1 (1 Gy = 1 Sv)

- Neutroni (1 MeV): w_R = 20

- Particelle alfa: w_R = 20

- Quindi 1 Gy di radiazione alfa = 20 Sv di effetto biologico: 20× più dannoso per joule rispetto al gamma

Tasso di dose vs dose integrata:

Il tasso di dose (Sv/h o mSv/h) è il tasso istantaneo di deposizione di energia. La dose integrata (Sv) è il totale accumulato nel tempo.

Tasso di dose × tempo = dose integrata. Ma gli effetti biologici dipendono sia dal tasso che dal totale: una dose acuta ad alto tasso causa malattia da radiazione; la stessa dose totale distribuita su anni ha un effetto inferiore.

Dosi di riferimento:

- Radiazione di fondo annuale (media USA): ~3,1 mSv/anno

- Radiografia del torace: ~0,1 mSv

- Scansione TC (addominale): ~8 mSv

- Limite occupazionale (lavoratori nucleari USA): 50 mSv/anno

- Soglia della sindrome acuta da radiazione: ~1 Sv dose acuta a tutto il corpo

- LD50/30 (dose letale per il 50% della popolazione in 30 giorni senza trattamento): ~4-5 Sv acuta a tutto il corpo

Applicare le unità di radiazione

Un paziente di medicina nucleare riceve un'iniezione di Tc-99m (tecnezio-99m) per una scansione ossea. L'attività somministrata è di 20 mCi.

Tc-99m decade solo per emissione gamma (E_γ = 140 keV), t₁/₂ = 6,0 ore.

Approssimativamente il 30% dell'attività somministrata si localizza nelle ossa; il 70% viene eliminato dai reni entro 24 ore.

La dose efficace al paziente da una scansione ossea con 20 mCi di Tc-99m è approssimativamente 4,0 mSv (dai calcoli dosimetrici).

Fisica nucleare nel mondo

Dove appare questa fisica

Tipi di reattori in funzione oggi:

- Reattore ad acqua pressurizzata (PWR): ~70% della capacità nucleare globale. H₂O moderatore e refrigerante, pressione 155 bar, temperatura del refrigerante 315°C, combustibile UO₂ arricchito al 3-5%.

- Reattore ad acqua bollente (BWR): H₂O moderatore, bolle in-core a 75 bar, ciclo singolo (refrigerante = vapore che alimenta direttamente la turbina). Più compatto, leggermente più semplice.

- CANDU: D₂O moderatore e refrigerante, combustibile a uranio naturale, può essere ricaricato online.

- RBMK (tipo Chernobyl): Moderatore di grafite, refrigerante ad acqua leggera. Coefficiente di vuoto positivo: quando il refrigerante bolle, la reattività aumenta (instabile a bassa potenza). Ora in fase di ritiro.

- Reattori veloci (SFR, ecc.): Nessun moderatore. Neutroni veloci. Possono produrre plutonio da U-238 (reattori autofertilizzanti), bruciare scorie attinidi a lunga vita. Refrigerante al sodio (alta conducibilità termica, nessuna moderazione). Il BN-800 russo è in operazione commerciale.

Fisica medica:

- Scansione PET: Emettitori di positroni (¹⁸F, t₁/₂ = 110 min) producono coppie di gamma da 511 keV back-to-back dall'annichilazione e⁺e⁻: rilevati in coincidenza per immagini del metabolismo.

- Radioterapia: Acceleratori lineari producono raggi X da 6-18 MV. La terapia con protoni usa la fisica del picco di Bragg: i protoni depositano la dose massima a una specifica profondità, risparmiando i tessuti circostanti.

- Terapia per cattura neutronica (BNCT): Neutroni termici catturati da ¹⁰B nelle cellule tumorali → ¹¹B* → ⁴He + ⁷Li + gamma, depositando la dose nella cellula tumorale stessa.

Fisica delle armi nucleari:

- Bomba a fissione: Massa supercritica assemblata in microsecondi. Design a implosione (Trinity, Fat Man) o tipo cannone (Little Boy). Resa in equivalenti TNT kt-Mt.

- Arma termonucleare: Il primario di fissione comprime e riscalda un secondario di fusione (combustibile D-T o Li-D). Rese fino a ~50 Mt (Tsar Bomba). La fissione è l'innesco; la fusione fornisce la maggior parte della resa.

Geofisica:

- Datazione radiometrica: ¹⁴C (t₁/₂ = 5.730 anni) per materiale organico recente; sistemi U-Pb per rocce fino a 4,5 miliardi di anni; K-Ar per rocce ignee. Tutti basati su N(t) = N₀e^(−λt).

- Calore della Terra: ~45 TW di calore fluiscono dall'interno della Terra. Circa la metà è primordiale (dalla formazione); la metà proviene dal decadimento di radionuclidi a lunga vita (²³⁸U, ²³²Th, ⁴⁰K): il pianeta è ancora caldo grazie al decadimento radioattivo.

Sintesi finale

Hai ora coperto: struttura nucleare e modello a shell, le forze forte e debole, decadimento alfa/beta/gamma/EC con meccanica quantistica, cinetica dell'emivita ed equilibrio secolare, energia di legame e la curva, sezioni d'urto di fissione e reazioni a catena, plasmi di fusione e criterio di Lawson, calcoli E=mc² e unità di radiazione.

Cosa hai imparato

Fisica Nucleare 101: Completata

Hai coperto la portata completa della fisica introduttiva di ingegneria nucleare:

Struttura nucleare: Nucleoni, la carta dei nuclidi, il modello a shell, i numeri magici (2, 8, 20, 28, 50, 82, 126), spin nucleare e parità, e il raggio nucleare che scala come R₀A^(1/3).

La forza forte: Interazione di Yukawa a corto raggio, saturazione, scambio di gluoni a livello dei quark, forza residua tramite scambio di pioni, e il modello a goccia liquida come conseguenza della saturazione.

Decadimento radioattivo: Alfa (tunneling quantistico, fattore di Gamow, Geiger-Nuttall), beta meno e più (forza debole, bosone W, cambio di sapore dei quark), cattura elettronica, diseccitazione gamma, conversione interna, e la catena completa U-238 → Pb-206.

Cinetica dell'emivita: N(t) = N₀e^(−λt), attività in Bq e Ci, attività specifica, vita media, equilibrio secolare e calcoli reali di decadimento.

Energia di legame: Calcolo del difetto di massa (Δm × 931,5 MeV/u), i termini della formula di Bethe-Weizsäcker, ed esempi elaborati per Fe-56 e U-235.

La curva dell'energia di legame: Perché la fusione rilascia energia per i nuclei leggeri, perché la fissione rilascia energia per i nuclei pesanti, perché il ferro è il punto finale della nucleosintesi stellare, e densità energetiche in J/kg.

Fisica della fissione: Il nucleo composto, la distribuzione energetica dei prodotti di fissione, le sezioni d'urto neutroniche e il barn, la legge 1/v, la cattura per risonanza, la formula a sei fattori, i neutroni ritardati e la criticità.

Fisica della fusione: La barriera di Coulomb, il tunneling quantistico, le medie di Maxwell-Boltzmann, i compromessi D-T vs D-D vs p-B11, il criterio di Lawson, il progresso del tokamak e l'accensione del NIF.

Calcoli E=mc²: Conversione completa di massa (1 g = 90 TJ), difetto di massa nella fissione di U-235 (0,186 u = 173 MeV), e confronti di densità energetiche.

Unità di radiazione: Attività (Bq, Ci), dose assorbita (Gy, rad), dose efficace (Sv, rem), fattori di ponderazione della radiazione e dosi di riferimento.

Riflessione finale

Hai appena coperto la fisica che sta alla base della generazione di energia nucleare, della medicina nucleare, della sicurezza dalle radiazioni, dell'astrofisica e della non proliferazione delle armi.

Questo è il fondamento da cui gli ingegneri nucleari progettano reattori, i fisici sanitari calcolano i limiti di dose, e i decisori politici prendono decisioni sul ruolo dell'energia nucleare nella decarbonizzazione.