İki Koşul, İki Katsayı
K+1 serbest katsayılı bir filtre, transfer fonksiyonu üzerinde tam olarak k+1 koşulu karşılayabilir. Hamming bunu en basit önemsiz olmayan durum ile göstermiştir: iki katsayı, iki koşul.
Koşullar
- f = 1/6'da: H(1/6) = 1 (bu frekans değişmez şekilde geçer)
- f = 1/3'te: H(1/3) = 0 (bu frekans tamamen durdurulur)
Filtre Formu
İki katsayı a ve b kullanan, x_n girişi ve bir gecikme ile filtre:
y_n = a · x_n + b · x_{n−1}
Özfonksiyonu Yerine Koyma
Giriş e^{i2πfn}, çıkış H(f) · e^{i2πfn}. Sağ taraf şunu verir:
H(f) · e^{i2πfn} = a · e^{i2πfn} + b · e^{i2πf(n−1)}
e^{i2πfn} ile bölün:
H(f) = a + b · e^{−i2πf}
Şimdi iki bilinmeyende iki denklem elde etmek için iki koşulu uygulayın.
Katsayıları Çözme
f = 1/6'yı H(f) = a + b·e^{−i2πf} içine yerine koyarsak:
1 = a + b·e^{−i2π/6} = a + b·(cos(−π/3) + i·sin(−π/3)) = a + b·(1/2 − i√3/2)
f = 1/3 yerine koyarsak:
0 = a + b·e^{−i2π/3} = a + b·(−1/2 − i√3/2)
Bu iki denklemden Hamming a = 1/2, b = 1/2'yi çözmüştür — 3-örnek ortalamasıyla aynı şey (orta pozisyonda çıkış ile).
Tam Filtre
Her iki koşulu karşılayan filtre şu forma sahiptir:
y_n = (x_{n−1} + x_n + x_{n+1}) / 2
n pozisyonundaki çıkış önceki, mevcut & sonraki girdi örneklerini kullanır.
Transfer fonksiyonu:
H(f) = (e^{i2πf} + 1 + e^{−i2πf}) / 2 = (2cos(2πf) + 1) / 2 = cos(2πf) + 1/2
Doğrulama:
- H(1/6) = cos(π/3) + 1/2 = 1/2 + 1/2 = 1 ✓
- H(1/3) = cos(2π/3) + 1/2 = −1/2 + 1/2 = 0 ✓
Diğer frekanslarda: H(0) = 1 + 1/2 = 3/2 (DC'yi kazançla geçirir), H(1/2) = −1 + 1/2 = −1/2.
İçgörü: dijital filtre yazılımda, bir analog RC filtresinin donanımda yaptığını yapar. Katsayı seçimi frekans tepkisini analitik olarak kontrol eder.
Çoklu Frekanslarda Transfer Fonksiyonu
Transfer fonksiyonu H(f) = cos(2πf) + 1/2 her frekansta, sadece iki tasarım noktasında değil uygulanır.
Gibbs'in Keşfi
Hamming, Michelson — Michelson-Morley ünlüsü — Fourier serisini 75 terime kadar hesaplamak için analog bir makine inşa eden insanı anlattı. Süreksiz bir fonksiyonun katsayılarından yeniden oluşturduğunda, makine sıçramaya yakın kalıcı bir overshoot gösterdi.
Michelson yerel matematikçilere sordu. Onlar ekipmana suçu attılar. Sadece Gibbs dinledi.
Gibbs fenomeni: N terime kesilen Fourier serisi bir adım süreksüzlüğü yaklaştırdığında, yaklaşım sıçrama yüksekliğinin yaklaşık %8,9 tarafından overshoot yapıyor — & bu overshoot N arttıkça azalmıyor. Daha fazla terim overshoot tepkisini daraltır ama asla ortadan kaldırmaz.
Matematiksel olarak: N-terim Fourier serisi süreksüzlük dışında her yerde nokta yönünde yakınsak olur. Süreksüzlükte, kısmi toplamlar sıçramanın orta noktasına yakınsar, ama sıçrama yakınındaki kısmi toplamın maksimumu 1,0'e yaklaşır (birim yüksekliğindeki adım için), 1,0 değil.
Filtreler için Neden Önemli
İdeal lowpass filtresi bir adım fonksiyonu transfer fonksiyonuna sahiptir: f < f_c için H(f) = 1, f > f_c için H(f) = 0. Geçişband & stopband arasındaki bu süreksüzlük, herhangi bir sonlu uzunluk filtresi (kesik Fourier serisi) frekans tepkisinde Gibbs dalgalanması sergiler anlamına gelir.
Sonuç: kesik Fourier serisi tasarımı yalnız başına, kaç katsayı kullanılırsa kullanılsın, hem iletişband hem de stopband'de ≈%9 dalgalanması olan filtreler üretir.
Gibbs Fenomeninin Etkileri
Hamming bu sonucu pencere fonksiyonlarını motive etmek için kullandı: ideal Fourier katsayılarını düzgün şekilde taper bir pencere ile çarpmak Gibbs overshootu önemli ölçüde azaltır.
Hamming penceresi: w_k = 0.54 + 0.46·cos(πk/N). Bu pencere Gibbs dalgalanmasını %0,2'den azına indirir.
Değişim: pencereleme geçişi yumuşatır ama geçiş bandını genişletir. Daha keskin cutoff her zaman daha fazla katsayı gerektirir.